高三数学 第四篇 第九节简单线性规划课件 理 北师大版

第九节简单线性规划 1 二元一次不等式 组 表示的平面区域 1 在平面直角坐标系中 直线Ax By C 0将平面内的所有点分成三类 一类在直线Ax By C 0上 另两类分居直线Ax By C 0的两侧 其中一侧半平面的点的坐标满足Ax By C 0 另一侧的半平面的点的坐标满足 2 二元一次不等式Ax By C 0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0某一侧的且不含边界 直线作图时边界直线画成 当我们在坐标系中画不等式Ax By C 0所表示的平面区域时 此区域应包括边界直线 此时边界直线画成 Ax By C 0 平面区域 虚线 实线 3 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面点集的 因而是各个不等式所表示平面区域的 2 线性规划的有关概念 交集 公共部分 不等式组 一次 解析式 一次 解 x y 集合 最大值 最小值 最大值 最小值 可行解与最优解有何关系 最优解是否唯一 提示 最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 有时唯一 有时有多个 1 不等式x2 y2 0所表示的平面区域 阴影部分 是 解析 方法一 不等式x2 y2 0 x y x y 0方法二 特殊点验证法 将 1 0 1 0 代入不等式x2 y2 0 不等式成立 故选C 答案 C 2 目标函数z 3x y 将其看成直线方程时 z的意义是 A 该直线的截距B 该直线的纵截距C 该直线的纵截距的相反数D 该直线的横截距 解析 令x 0得z y z的意义是该直线在y轴上截距的相反数 答案 C 3 由不等式组所表示的平面区域的面积是 A 2B 1C D 4 解析 如图所示阴影面积S 2 1 1 答案 B 4 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成 请木工需付工资每人50元 请瓦工需付工资每人40元 现有工人工资预算2000元 设木工x人 瓦工y人 请工人的约束条件是 5 已知点P x y 满足条件 则x2 y2的最小值为 最大值为 解析 如图可知 P x y 满足的点属于阴影部分 ABC 而x2 y2的最大值为 OC 2 最小值为 OA 2 答案 210 如图 ABC中 A 0 1 B 2 2 C 2 6 写出 ABC区域所表示的二元一次不等式组 思路点拨 通过三点可求出三条直线的方程 而后利用特殊点验证 因三条直线均不过原点 故可由原点 0 0 验证即可 自主探究 由已知得直线AB BC CA的方程分别为 直线AB x 2y 2 0 直线BC x y 4 0 直线CA 5x 2y 2 0 原点 0 0 不在各直线上 将原点坐标代入到各直线方程左端 结合式子的符号可得不等式组为 方法点评 二元一次不等式 组 表示平面区域的判断方法1 直线定界 特殊点定域注意不等式中不等号有无等号 无等号时直线画成虚线 有等号时直线画成实线 若直线不过原点 特殊点常选取原点 2 同号上 异号下即当B Ax By C 0时 区域为直线Ax By C 0的上方 当B Ax By C 0时 区域为直线Ax By C 0的下方 1 2008年山东高考 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M 使函数y ax a 0 a 1 的图象过区域M的a的取值范围是 解析 平面区域M如图中阴影部分所示 求得A 2 10 C 3 8 B 1 9 由图可知 若y ax图象过平面区域M 则必有a 1且过点C时 a最小 过B时 a最大 故过C时 a3 8 a 2 过B时 a1 9 a 9 故a的取值范围是 2 9 答案 C 2008年广东高考 若变量x y满足 则z 3x 2y的最大值是 A 90B 80C 70D 40 自主探究 线性不等式组表示的区域如图中阴影部分所示 可知z 3x 2y在A点处取最大值 由解得A 10 20 zmax 70 故选C 答案 C 方法点评 1 求目标函数的最值 必须先准确地作出线性可行域 再作出目标函数对应的直线 据题意确定取得最优解的点 进而求出目标函数的最值 2 最优解的确定方法线性目标函数z ax by取最大值时的最优解与b的正负有关 当b 0时 最优解是将直线ax by 0在可行域内向上方平移到端点 一般是两直线交点 的位置得到的 当b 0时 则是向下方平移 2 2008年全国 设变量x y满足约束条件 则z x 3y的最小值为 A 2B 4C 6D 8 解析 作出可行域 令z 0 则l0 x 3y 0 平移l0在点M 2 2 处z取到最小 最小值为 8 答案 D 某公司仓库A存有货物12吨 仓库B存有货物8吨 现按7吨 8吨和5吨把货物分别调运给甲 乙 丙三个商店 从仓库A运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为8元 6元 9元 从仓库B运货物到商店甲 乙 丙 每吨货物的运费分别为3元 4元 5元 问应如何安排调运方案 才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 思路点拨 由于题目中量比较多 所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件 设出仓库A运给甲 乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数 列出可行域 即可求解 设仓库A运给甲 乙商店的货物分别为x吨 y吨 则仓库A运给丙商店的货物为 12 x y 吨 从而仓库B运给甲 乙 丙商店的货物分别为 7 x 吨 8 y 吨 5 12 x y x y 7 吨 于是总运费为 自主探究 将已知数据列成下表 每吨运费 z 8x 6y 9 12 x y 3 7 x 4 8 y 5 x y 7 x 2y 126 目标函数为z x 2y 126 作出上述不等式组表示的平面区域 即可行域 如图中阴影部分所示 作出直线l x 2y 0 把直线l平行移动 显然当直线l移动到过点 0 8 时 在可行域内 z x 2y 126取得最小值zmin 0 2 8 126 110 即x 0 y 8时总运费最少 安排的调运方案如下 仓库A运给甲 乙 丙商店的货物分别为0吨 8吨 4吨 仓库B运给甲 乙 丙商店的货物分别为7吨 0吨 1吨 此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少 方法点评 解决线性规划实际应用题的一般步骤 1 认真审题分析 设出未知数 写出线性约束条件和目标函数 2 作出可行域 3 作出目标函数值为零时对应的直线l 4 在可行域内平行移动直线l 从图中能判定问题有唯一最优解 或是有无穷最优解或无最优解 5 求出最优解 从而得到目标函数的最值 特别提醒 解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的 所以作图应尽可能精确 图上操作尽可能规范 假若图上的最优点并不明显时 不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然后逐一检验 以 验明正身 另外对最优整数解问题 可使用 局部微调法 此方法的优点是思路清晰 操作简单 便于掌握 用 局部微调法 求整点最优解的关键是 微调 其步骤可用以下十二字概括 微调整 求交点 取范围 找整解 3 某投资人打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项目可能的最大盈利率分别为100 和50 可能的最大亏损率分别为30 和10 投资人计划投资金额不超过10万元 要求确保可能的资金亏损不超过1 8万元 问投资人对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的盈利最大 解析 设投资人分别用x万元 y万元投资甲 乙两个项目 由题意知 目标函数z x 0 5y 上述不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 作直线l0 x 0 5y 0 并作平行于直线l0的一组直线x 0 5y z z R 与可行域相交 其中有一条直线经过可行域上的M点 且与直线x 0 5y 0的距离最大 这里M点是直线x y 10和0 3x 0 1y 1 8的交点 解得x 4 y 6 此时z 4 0 5 6 7 万元 当x 4 y 6时 z取得最大值 答案 投资人用4万元投资甲项目 6万元投资乙项目 才能在确保亏损不超过1 8万元的前提下 使可能的盈利最大 1 2009年宁夏 海南高考 设x y满足A 有最小值2 最大值3B 有最小值2 无最大值C 有最大值3 无最小值D 既无最小值 也无最大值 解析 首先绘制不等式组表示的平面区域 图略 当直线x y z过直线2x y 4 0与直线x 2y 2 0的交点 2 0 时 目标函数z x y取得最小值2 无最大值 答案为B 答案 B 2 2009年安徽高考 若不等式组所表示的平面区域被直线y kx 分为面积相等的两部分 则k的值是 解析 由题目所给的不等式组可知 其表示的平面区域如右图所示 这里直线y kx 只需要经过线段AB的中点D即可 此时D点的坐标为 代入即可解得k的值为 答案 A 3 2009年山东高考 设x y满足约束条件若目标函数z ax by a 0 b 0 的最大值为12 则 的最小值为 解析 点 x y 所满足的可行域如图中阴影部分所示 根据目标函数所表示的直线的斜率是负值 可知目标函数只有在点A处取得最大值 故实数a b满足4a 6b 12 即2a 3b 6 故当且仅当a b时取等号 答案 A 4 2009年天津高考 设变量x y满足约束条件则目标函数z 2x 3y的最小值为 A 6B 7C 8D 23 解析 z 2x 3y y 求截距的最小值 画出可行域 图略 可知把直线y x平移到经过点 2 1 时 z取得最小值 zmin 2 2 3 1 7 故选B 答案 B 5 2009年湖北高考 在 家电下乡 活动中 某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇 现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用400元 可装洗衣机20台 每辆乙型货车运输费用300元 可装洗衣机10台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 A 2000元B 2200元C 2400元D 2800元 解析 设需用甲型货车x辆 乙型货车y辆 由题目条件可得约束条件为目标函数z 400 x 300y 画图可知 当平移直线400 x 300y 0至经过点 4 2 时 z取得最小值2200 故选B 答案 B 1 作二元一次不等式表示的平面区域一般是 线定界 点定域 注意不等式中不等号有无等号 无等号时画虚线 有等号时画实线 点通常选择原点 2 判断二元一次不等式Ax By C 0 0时 区域为直线Ax By C 0的上方 当B Ax By C 0 最优解是将直线ax by 0向上平移到端点 最优解 的位置得到的 若b 0 则是向下平移 4 解线性规划问题的思维精髓是 数形结合 其关键步骤是在图上完成的 所以作图应尽可能精确 图上操作尽可能规范 假若图上的最优点并不明显易辨时 不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来 然