3.7、3.8、3.9 质点角动量和角动量定理、质点系角动量定理

第一节 O 角动量与力矩 Angularmomentumand 一均匀圆盘绕过质心的轴转动 怎样描述其上某一质点的运动 问题 质点作圆周运动 可用角位置 角速度描述 A B两点岂不是无差异 用什么来描述转动问题呢 第一节 角动量与力矩 Angularmomentumand 例如天文上行星围绕太阳转 单位时间内扫过的面积 称为角动量 正比于 任一对作用力和反作用力 内力 对同点 同轴 的力矩之和为零 o i j 例如天文上行星围绕太阳转 单位时间内扫过的面积是一个与有关的问题 这个量称为角动量 一 何谓角动量 角动量的提出 是与转动相联系的 注意 1 为表示是对哪个参考点的角动量 通常将角动量L画在参考点上 注意 1 为表示是对哪个参考点的角动量 通常将角动量L画在参考点上 3 角动量是矢量 其大小 方向由 决定 方向如图 例如 质点作圆周运动 二 力矩 中学时学过的力矩概念 注意 2 方向 3 单位 米牛顿 1 大小 注意 4 力的方向沿矢径的方向 三 角动量定理 1 角动量定理的微分形式 对一个质点 1 式对t求导 此称质点的角动量定理 对多个质点而言 以两个质点为例 如图设有质点m1 m2 分别受外力 外力矩 内力 内力矩 对质点 1 对质点 2 两式相加 令 质点所受的合外力矩 质点系的总角动量 则 推广到n个质点的质点系 2 角动量定理的积分形式 对 5 式积分 设 在合外力矩M的作用下 时间内 系统的角动量从 四 角动量守恒定律 对一个质点系而言 若 则 在由A B的过程中 子弹 木块系统机械能守恒 例2 16在光滑的水平桌面上 放有质量为M的木块 木块与一弹簧相连 弹簧的另一端固定在O点 弹簧的劲度系数为k 设有一质量为m的子弹以初速垂直于OA射向M并嵌在木块内 如图2 31所示 弹簧原长 子弹击中木块后 木块M运动到B点时刻 弹簧长度变为l 此时OB垂直于OA 求在B点时 木块的运动速度 解击中瞬间 在水平面内 子弹与木块组成的系统沿方向动量守恒 即有 在由A B的过程中木块在水平面内只受指向O点的弹性有心力 故木块对O点的角动量守恒 设与OB方向成 角 则有 由 式联立求得的大小为 由 式求得与OB的夹角为 随堂小议 结束选择 1 2 3 4 两人同时到达 用力上爬者先到 握绳不动者先到 以上结果都不对 请点击你要选择的项目 两人质量相等 O 一人握绳不动 一人用力上爬 可能出现的情况是 终点线 终点线 滑轮质量 既忽略 轮绳摩擦 又忽略 小议链接1 结束选择 1 2 3 4 两人同时到达 用力上爬者先到 握绳不动者先到 以上结果都不对 小议链接2 结束选择 1 2 3 4 两人同时到达 用力上爬者先到 握绳不动者先到 以上结果都不对 小议链接3 结束选择 1 2 3 4 两人同时到达 用力上爬者先到 握绳不动者先到 以上结果都不对 小议链接4 结束选择 1 2 3 4 两人同时到达 用力上爬者先到 握绳不动者先到 以上结果都不对 小议分析 绳子 猴子 法码构成的系统 运动过程中 系统受猴子重力 法码重力 悬挂滑轮的支持力F 以滑轮中心O为转动中心 由于猴子重力 法码重力 所以任意时刻两重力对O点的合力矩为0 又由于力F对O点无矩 所以系统所受合外力矩为0 对于m1 m2滑轮构成的系统 受到两个重力 悬挂滑轮的支持力的作用 支持力对O点无矩 由于两个重力相等 所以任意时刻两重力对O点的合力矩为0 所以系统所受合外力矩为0 角动量守恒 例2 17一质点m被一长为l的轻线悬于天花板上的B点 质点m在水平面内作匀角速 的圆周运动 设圆轨道半径为 试计算 1 质点m对圆心O和悬点B的角动量和 2 作用在质点m上的重力mg和张力T对圆心O和悬点B的力矩和 3 试讨论m对O点或B点的角动量是否守恒 如图2 32所示 解 1 在图 a 中由圆心O点向质量m引矢量 则 其方向垂直于轨道平面沿OB方向向上 因为 mv 故 即圆锥摆对圆心O点的角动量是个沿OB向上的大小和方向都不变的恒矢量 在图 b 中 由悬点B向在某位置P处的质点m引矢径 则 2 如图 c 质点m所在位置对于圆心O 张力T的力矩为 因在竖直方向有Tcos mg 所以 即的方向垂直于与mv所组成的平面 显然 质点m在不同的位置处 例如在p 点处 其矢径和动量mv 各不相同 因此 其矢积也不相同 即的方向是不断地变化着的 这时的大小为 其方向垂直于纸面向外 大小为 此时重力对圆心O的力矩为 由上面计算可以得出 作用在质点m上的张力T 重力mg对圆心O的合力矩为 其方向垂直于纸面向里 因mg始终垂直于轨道平面 所以 mg 故的大小为 同样 如图 c 质点所在位置 对于悬点B 张力T因与始终共线 故T对B点的力矩为零 而重力mg对B点的力矩为 其方向始终垂直于与重力作用线mg所组成的平面 由于的方向在不断地变化 所以的方向也在不断地变化 如图 c 所在位置 的方向垂直于纸面向里 3 由 2 中的讨论可知 重力mg和张力T对O点的合力矩为零 实际上mg与T的合力构成了m作圆周运动的向心力 为有心力 其对O点合力矩必定为零 所以质点m对O点的角动量守恒 这与 1 中讨论一致 同样 由 2 中讨论知 因mg对B点的力矩方向始终变化 即对B点的力矩不为零 故质点m对B点的角动量不守恒 这与前面结果也是一致的 例1 计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角动量 已知 解 以原子核为参考点 此值为狄拉克h M 例题2 一质量为m的质点以速度从参考点平抛出去 用角动量定理求质点所受的重力对参考点的力矩 解 O a b c 因 t很小 t时间内扫过的面积 行星质量为m O a b c t时间内扫过的面积 证毕 所以 例4 质量为m的小球A 以速度沿质量为M的 半径为R的地球表面水平切向向右飞出 如图 地轴OO 与平行 小球A的轨道与轴OO 相交于