高三数学 第四篇 第六节不等关系课件 理 北师大版

第六节不等关系 Tn 1 r n n 1 比较两个实数大小的法则设a b R 则 1 a 2 a 3 a 2 不等式的基本性质 1 a 2 a b b b a b 0 b a b 0 b a b 0 b b a c a c 3 a b 4 a b c 0 a b c 0 5 a b c d 6 a b 0 c d 0 7 a b 0 n N且n 1 8 a b 0 n N且n 1 3 不等式的一些常用性质 1 倒数性质 a c b c ac bc ac bc a c b d ac bd an bn a b ab 0 a 0 b a b 0 0 c d 0 a x b或a x b 0 2 有关分数的性质若a b 0 m 0 则 真分数的性质 假分数的性质 1 若a2 b2 则下列不等式成立的是 A a bB C a b D 以上均不对 解析 a2 b2 a 2 b 2 a b 答案 C2 设a b 0 则下列不等式中不成立的是 解析 方法一 排除法 若a b 0 则0 故A正确 而 a b 0 即 a b 故C正确 同样成立 故D也正确 只有B不正确 方法二 a b 0 a b 0 0 故B错 答案 B 3 如果a b c满足a b c 且ac 0 那么下列选项中不一定成立的是 A ac bcB c b a 0C cb2 ab2D ac a c 0 解析 a c ac 0 a 0 c 0 又a b c 0 ac bc c b a 0 A B正确 a c ac 0 a c ac 0 D正确 而b2有可能为0 故cb2 ab2不一定成立 故选C 答案 C 4 若loga a2 1 loga2a 0 则a的取值范围是 解析 a2 1 2a 且loga a2 1 loga2a 0 a 1 又 loga2a 0 2a 1即a a的取值范围是 a 1 答案 a 1 5 给出下列命题 若a b 则 若a b 且k N 则ak bk 若ac2 bc2 则a b 若c a b 0 则其中假命题是 只需填写序号 解析 当a 0 b时 故命题 是假命题 当a b不都是正数时 命题 是假命题 当ac2 bc2时 可知c2 0 a b 即命题 是真命题 对于命题 c a c a 0 从而 0 又a b 0 故命题 也是真命题 此题应填 答案 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车 计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元 90万元的A型汽车和B型汽车 根据需要 A型汽车至少买5辆 B型汽车至少买6辆 写出满足上述所有不等关系的不等式 思路点拨 把握关键点 不超过1000万元 且A B两种车型分别至少5辆 6辆 则不等关系不难表示 要注意取值范围 自主探究 设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆 y辆 方法点评 1 将实际的不等关系写成对应的不等式时 应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换 这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系 常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表 2 注意区分 不等关系 和 不等式 的异同 不等关系强调的是关系 可用 表示 不等式则是表现不等关系的式子 对于实际问题中的不等关系可以从 不超过 至少 至多 等关键词上去把握 并考虑到实际意义 1 某企业准备投资不超过1200万元兴办一所民办完全中学 每个初中班的硬件建设需要28万元 每个高中班的硬件建设需要58万元 因生源和环境等条件限制 办学规模以20至30个班为宜 初中至少12个班 高中至少8个班 写出满足上述所有不等关系的不等式 解析 设该学校招收x个初中班 y个高中班 则 1 设x y 0 试比较 x2 y2 x y 与 x2 y2 x y 的大小 2 已知a b c 正实数 且a2 b2 c2 当n N n 2时比较cn与an bn的大小 思路点拨 1 作差 通过分解因式判断差的符号 2 本题需比较的式子是幂的形式 因此考虑用作商比较 自主探究 方法一 x2 y2 x y x2 y2 x y x y x2 y2 x y 2 2xy x y x y 0 xy 0 x y 0 2xy x y 0 x2 y2 x y x2 y2 x y 方法二 x y 0 x y 0 x2 y2 x y 0 xy 0 x2 y2 x y 0 x2 y2 x y 0 0 1 x2 y2 x y x2 y2 x y 2 a b c 正实数 an bn cn 0 而 n n a2 b2 c2 则 2 2 1 0 1 0 1 n N n 2 方法点评 比较实数或代数式的大小的方法主要是作差法和作商法 1 作差法 的一般步聚是 1 作差 2 变形 3 判断符号 4 得出结论 用 作差法 比较两个实数大小的关键是判断差的正负 常采用配方 因式分解 有理化等方法 常用的结论有x2 0 x2 0 x 0 x 0等 当两个式子都为正时 有时也可以先平方再作差 2 作商法的一般步聚是 1 作商 2 变形 3 判断商与1的大小 4 得出结论 特别提醒 当商与1的大小确定后必须对商式的分母的正负做出判断方可得出结论 如 1 a 0时 b a a 0时 b a 2 设f x 1 logx3 g x 2logx2 x 0且x 1 试比较f x 与g x 的大小 解析 比较两对数的大小 应联想对数的性质及对数函数的单调性 f x g x 1 logx3 2logx2 logx3x logx4 logxx 1 当logxx 0时 即 时也就是x 或0 x 1时 f x g x 2 当logxx 0时 即x 1 也就是x 时 f x g x 3 当logxx 0时 即 也就是1 x 时 f x g x 综上 x 或0 x 1时 f x g x x 时 f x g x 1 x 时 f x g x 对于实数a b c有下列命题 若a b 则ac bc 若ac2 bc2 则a b 若a b 0 则a2 ab b2 若c a b 0 则 若a b 则a 0 b 0 其中真命题的个数是 A 2B 3C 4D 5 思路点拨 判断命题的真假 要紧扣不等式的性质 特别注意条件与结论间的联系 自主探究 中 c的符号不确定 故ac bc大小也不能确定 故为假 中 由ac2 bc2知c 0 又c2 0 则a b 故为真 中 由可得ab b2 由 可得a2 ab a2 ab b2为真 中 由a b 得 a b c a c b 而c a b 0 0 c a c b 0 又a b 0 为真 中 由a b a b 0 又a b 0 ab 0 而a b a 0 b 0为真 答案 C 方法点评 1 准确记忆各性质成立的条件 是正确应用性质的前提 2 在不等式的判断中 特殊值法也是非常有效的方法 3 适当增加不等式条件使下列命题成立 1 若a b 则ac bc 2 若ac2 bc2 则a2 b2 3 若a b 则lg a 1 lg b 1 4 若a b c d 则 5 若a b 则 解析 1 原命题改为 若a b且c 0 则ac bc 即增加条件 c 0 2 由ac2 bc2可得a b 但只有b 0时 才有a2 b2 即增加条件 b 0 3 由a b可得a 1 b 1 但作为真数 应有b 1 0 故应加条件 b 1 4 成立的条件有多种 如a b 0 c d 0 因此可增加条件 b 0 d 0 还可增加条件为 a 0 c 0 d 0 5 成立的条件是a b ab 0或a 0 b 0 故增加条件为 ab 0 1 2009年安徽高考 a c b d 是 a b且c d 的 A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析 a c b d a b且c d 充分性不成立 a b且c d a c b d 必要性成立 故选A 答案 A 2 2009年全国 高考 设a lge b lge 2 c lg 则 A a b cB a c bC c a bD c b a 解析 1 e 3 则1 e e2 10 0 lge 1 则lg lge lge 即c a 又0 lge 1 lge 2 lge 即b a 同时c b lge lge 2 lge 1 2lge lge lg 0 c b 故选B 答案 B 3 2009年江西高考 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的 直径 封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的 周率 图中四个平面区域 阴影部分 的周率从左到右依次记为T1 T2 T3 T4则下列关系中正确的为 A T1 T4 T3B T3 T1 T2C T4 T2 T3D T3 T4 T1 解析 第1个区域 先补成一个长方形 设长为a 宽为b 则周率为第2个区域 设大圆半径为2 则周率为 第3个区域 将原图补成一个正三角形 设边长为a 则周率为 3 第4个区域 设此区域的外接圆半径为R 则其中大的正 ABC的边长为R 周率为 故选C 答案 C4 2009年宁夏海南高考 如图 O为数轴的原点 A B M为数轴上三点 C为线段OM上的动点 设x表示C与原点的距离 y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和 1 将y表示为x的函数 2 要使y的值不超过70 x应该在什么范围内取值 解析 1 y 4 x 10 6 x 20 0 x 30 2 依题意 x满足解不等式组 其解集为 9 23 所以x 9 23 1 不等式的概念和性质是本章内容的基础 是证明不等式和解不等式的主要依据 复习时应给予高度重视 对每一条性质 要弄清条件和结论 注意条件加强和放宽后 条件和结论之间发生的变化 2 比较两个实数的大小 要依据不等式的加法和乘法法则 以及不等式的