（浙江专用）高考数学第七章不等式3第3讲二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题教学案.docx

第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域AxByC0(0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(5)在目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z2xy1的最大值、最小值分别是_，_解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，1)，B(2，1)，C，画直线l0：y2x，平移l0过点B时，zmax4，平移l0过点A时，zmin2.答案：422(必修5P91练习T2改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)解析：用表格列出各数据AB总数产品吨数xy资金200x300y1 400场地200x100y900所以不难看出，x0，y0，200x300y1 400，200x100y900.答案：易错纠偏(1)不会用代点法判断平面区域；(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；(3)不理解目标函数的几何意义；(4)对“最优解有无数个”理解有误1点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是_解析：因为直线2x3y60的上方区域可以用不等式2x3y60表示，所以由点(2，t)在直线2x3y60的上方得43t60，解得t.答案：2已知变量x，y满足约束条件则zxy的最大值为_解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线xy0，平移直线经过点A(1，0)时，目标函数zxy取得最大值，最大值为1.答案：13已知x，y满足条件则z的最大值为_解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M(3，1)连线斜率最大，观察知点A，使kMA最大，zmaxkMA3.答案：34已知x，y满足若使得zaxy取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为_解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线zaxy和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，所以akAB1，所以a1.答案：1二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C. D.(2)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_【解析】(1)不等式组所表示平面区域如图所示(阴影部分)解得A(1，1)，易得B(0，4)，C，|BC|4.故SABC1.(2)不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)解得A；解得B(1，0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中的a的取值范围是0a1或a.【答案】(1)C(2)(0，1，)二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；(2)当不等式中带等号时，边界应画为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点 不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是()解析：选C.(x2y1)(xy3)0，即或与选项C符合故选C.求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，属必考内容，题型多为选择题和填空题，难度适中，属中档题主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值(范围)；(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求非线性目标函数的最值(范围)角度一求线性目标函数的最值(范围) (2019高考浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z3x2y的最大值是()A1 B1C10 D12【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z3x2y过点(2，2)时，z取得最大值，zmax6410.故选C.【答案】C角度二已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围) (2020嘉兴市高考模拟)已知实数x，y满足，若axy的最大值为10，则实数a()A4 B3C2 D1【解析】画出满足条件的平面区域，如图所示(阴影部分)：由，解得A(3，4)，令zaxy，因为z的最大值为10，所以直线在y轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)，所以zaxy与可行域有交点，当a0时，直线经过A时z取得最大值即axy10，将A(3，4)代入得，3a410，解得a2，当a0时，直线经过A时z取得最大值，即axy10，将A(3，4)代入得，3a410，解得a2，与a0矛盾，综上a2.【答案】C角度三求非线性目标函数的最值(范围) 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B.C. D.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B.【答案】B(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤画出约束条件对应的可行域；将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值常见的目标函数有：()截距型：形如zaxby；()距离型：形如z；()斜率型：形如z.(2)含参数的线性规划问题参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域里，寻求最优解提醒求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错如x2y2是距离的平方，易忽视平方而求错 1(2020温州七校联考)实数x，y满足，使zaxy取得最大值的最优解有2个，则z1axy1的最小值为()A0 B2C1 D1解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示，因为zaxy取得最大值的最优解有2个，所以a1，a1，所以当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，所以axy1的最小值是0，故选A.2(2020温州市高考模拟)若实数x，y满足，则y的最大值为_，的取值范围是_解析：作出不等式组，对应的平面区域如图(阴影部分)：可知A的纵坐标取得最大值2.设z，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，1)的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为，最小为，即z，则z的取值范围是.答案：23(2020绍兴一中高三期中)设x，y满足约束条件，若目标函数zabxy(a0，b0)的最大值为35，则ab的最小值为_解析：满足约束条件的区域是一个四边形，如图所示四个顶点分别是(0，0)，(0，1)，(2，3)，由图易得目标函数在(2，3)取最大值35，即352ab3，所以ab16，所以ab28，当ab4时等号成立，所以ab的最小值为8.答案：8线性规划的实际应用 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元【解析】由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z2 100x900y，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由xN，yN，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax2 10060900100216 000(元)【答案】216 000利用线性规划解决实际问题的步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表格或图形；(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数；(3)作图：准确作图，平移找点(最优解)；(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)；(5)检验：根据结果，检验反馈 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元B36 000元C36 800元 D38 400元解析：选C.设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则约束条件为目标函数为z1 600x2 400y.画出可行域(图中所示阴影中的整点部分)，可知目标函数过点N(5，12)时，有最小值zmin36 800(元)基础题组练1二元一次不等式组所表示的平面区域的面积为()A18B24C36 D12解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，四边形ABCD是平行四边形，由图中数据可知其面积S(42)636.2设变量x，y满足约束条件则目标函数zxy的最大值为()A. B1C. D3解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由zxy得yxz，作出直线yx，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax033，选项D符合3(2020浙江名校联盟联考)已知实数x，y满足，则2xy()A有最小值，无最大值 B有最大值，无最小值C有最小值，也有最大值 D无最小值，也无最大值解析：选A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示设2xyz，则y2xz，z表示直线在y轴上的截距的相反数平移直线y2xz，可得当直线过点A时z取得最小值，z没有最大值故选A.4(2020台州高三质检)已知不等式组表示的平面区域的面积为2，则的最小值为()A. B.C2 D4解析：选B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分)，由区域面积为2，可得m0.而1，表示可行域内任意一点与点(1，1)连线的斜率，所以的最小值为，所以的最小值为.5(2020金华十校联考)设变量x，y满足约束条件且不等式x2y14恒成立，则实数a的取值范围是()A8，10 B8，9C6，9 D6，10解析：选A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a8，否则可行域无意义由图可知x2y在点(6，a6)处取得最大值2a6，由2a614得，a10，故选A.6(2020温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是()A. B.C. D.解析：选A.易知a0，那么目标函数可化为yxz.要使目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个，则kAC1，则a1，故，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点M(1，0)的连线的斜率，可知kMC，故选A.7若x，y满足约束条件则zxy的最小值是_解析：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A(1，1)，B，C(0，4)经过点A时，目标函数z达到最小值所以zmin110.答案：08(2020杭州中学高三期中)已知点A(3，)，O为坐标原点，点P(x，y)满足，则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为_，在方向上投影的最大值为_解析：由已知得到平面区域如图，P所在区域即为阴影部分，由得到C(2，0)，B(1，)，所以其面积为2.令在方向上投影为zxy，所以yx2z，过点B时z最大，所以，在方向上投影的最大值为.答案：9给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示作出zxy的基本直线l0：xy0.经平移可知目标函数zxy在点A(0，1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值，而集合T表示zxy取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T中的点共确定6条不同的直线答案：610(2020温州市高考实战模拟)若变量x，y满足约束条件，则z2x的最大值为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示又z2x2xy，令uxy，则直线uxy在点(4，0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax24016.答案：1611(2020杭州市高三模拟)若实数x，y满足.求：(1)x的取值范围；(2)|x|y|的取值范围解：(1)由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，0x1.(2)当x0，y0时，z|x|y|xy过(1，)时有最大值为，过O(0，0)时有最小值0；当x0，y0时，z|x|y|xy过(1，1)时有最大值为2，过O(0，0)时有最小值0.所以|x|y|的取值范围是0，212若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)平移初始直线xy0，过A(3，4)时z取最小值2，过C(1，0)时z取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为2.(2)直线ax2yz仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a0)至少有两个公共点，则实数a的取值范围是()A. B(1，5)C. D(1，5解析：选C.如图所示(阴影部分)，若使以(4，1)为圆心的圆与平面区域M至少有两个交点，结合图形，当圆与直线xy20相切时，恰有一个公共点，此时a，当圆的半径增大到恰好过点C(2，2)时，圆与平面区域M至少有两个公共点，此时a5，故实数a的取值范围是a5.3(2020丽水模拟)已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是_解析：作出可行域，如图所示(阴影部分)，则目标函数zx2y在点(1，0)处取得最大值1，在点(1，1)处取得最小值3，所以a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同的实数解令f(x)x2kx1，则k2.