向量及其线性运算

空间解析几何 傅里叶级数 多元函数微分学 多元函数积分学 高等数学 下 翟文娟行政楼B212 平面解析几何 点有序数对 a b 平面曲线 第八章空间解析几何与向量代数 空间解析几何 第一节向量及其线性运算 向量概念 向量的线性运算 空间直角坐标系 利用坐标作向量的线性运算 向量的模方向角投影 1 向量概念 数量 用实数表示 向量 既有大小又有方向的量 2 向量表示 一 向量 vector 概念 自由向量 不考虑起点位置的向量 负向量 4 相关概念 两向量共线两向量平行 共面若k 3 个向量经平移可移到同一平面上 则称此k个向量共面 特殊地 若 1 加法定义 二 向量的线性运算 一 向量的加减法 三角形法则平行四边形法则 2 向量加法的运算规律 1 交换律 2 结合律 例如 考虑多个向量相加的情况 三角不等式 3 向量的减法 2 数乘的运算规律 1 结合律 2 分配律 二 数与向量的乘法 简称数乘运算 实质 伸缩 结论 规定当 则 例1在平行四边形ABCD中 设AB AD 试用表示向量MA MB MC和MD 三 空间直角坐标系 以分别表示沿x y z轴正向的单位向量 称为基本单位向量 三个坐标轴的正方向符合右手规则 轴 轴 轴 由三条坐标轴的任意两条确定的平面 称为坐标面 分别叫xoy面 yoz面 zox面 它们将空间分成八个卦限 1 坐标面 2 空间向量 点 的坐标表示 R Q P 坐标分解式 特殊点的表示 坐标轴上的点 坐标面上的点 点M 2 3 1 分别关于坐标原点 xOy面 y轴的对称点是 A 2 3 1 B 2 3 1 C 2 3 1 D 2 3 1 四 利用坐标作向量的线性运算 坐标分解式 由 按坐标表示式即为 当分母有一个为零理解为分子也为零 也即向量与对应的坐标成比例 解 设 为直线上的点 例3 已知两点 以及实数 在直线AB上求点M 使 同理 得 特别当时 M点坐标 五 向量的模 方向角 投影 1 向量的模与两点间的距离公式 则有 由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 对两点 与 例4证明以M1 4 3 1 M2 7 1 2 M3 5 2 3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 解 由 M2M3 M3M1 所以 M1M2M3是等腰三角形 例5在z轴上求与两点A 4 1 7 和B 3 5 2 等距离的点 解 设该点为M 0 0 z 由题设 MA MB 即 解得 所求点为M 0 0 设有两非零向量 任取空间一点O 称 AOB 0 为向量 的夹角 类似可定义向量与轴 轴与轴的夹角 与三坐标轴的夹角 为其方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 2 方向角与方向余弦 方向余弦的性质 解 已知 角依次为 求点A的坐标 则 因点A在第一卦限 故 于是 故点A的坐标为 向径OA与x轴y轴的夹 例8设点A位于第一卦限 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直平面 即为点A在轴u上 的投影 空间一向量在轴上的投影 轴u称为投影轴 已知向量的起点A和终点B 在轴u上的投影分别为 那么轴u上的有向线段 的值 称为向量在轴u上的 投影 3 向量在轴上的投影 Projection 在轴u上的 向量 轴与向量的夹角的余弦 向量 在轴u上的 投影 记为 投影性质1 投影等于向量的模乘以 投影有正 负之分 模只为正值 可推广到有限多个 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量 在该轴上的投影之和 投影性质2 投影性质3 解 求向量 例 x轴上的 投影及在y轴上的分向量 在x轴上的投影为 在y轴上的分向量为 六 小结 向量的概念 向量的线性运算 注意 与数量的区别与记法 平行四边形法则 三角形法则 注意数乘后的方向 空间直角坐标系 空间两点间距离公式 注意它与平面直角坐标系的区别 点 坐标轴 坐标面 卦限 向量在轴上的投影与投影性质 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 向量的模与方向角 注意分向量与坐标的区别 利用坐标作向量的线性运算 思考题1 解 对