4工程数学级数

1 第四章级数 1复数项级数 2 1 复数列的极限设 an n 1 2 为一复数列 其中an an ibn 又设a a ib为一确定的复数 如果任意给定e 0 相应地能找到一个正数N e 使 an a N时成立 则a称为复数列 an 当n 时的极限 记作 此时也称复数列 an 收敛于a 3 定理一复数列 an n 1 2 收敛于a的充要条件是 证 如果 则对于任意给定的e 0 就能找到一个正数N 当n N时 4 反之 如果 5 2 级数概念设 an an ibn n 1 2 为一复数列 表达式 称为无穷级数 其最前面n项的和sn a1 a2 an称为级数的部分和 如果部分和数列 sn 收敛 6 定理二级数收敛的充要条件是级数和都收敛 证 因sn a1 a2 an a1 a2 an i b1 b2 bn sn itn 其中sn a1 a2 an tn b1 b2 bn分别为和的部分和 由定理一 sn 有极限存在的充要条件是 sn 和 tn 的极限存在 即级数和都收敛 7 定理二将复数项级数的收敛问题转化为实数项级数的收敛问题 8 定理三 证 9 10 11 12 2幂级数 13 1 幂级数的概念设 fn z n 1 2 为一复变函数序列 其中各项在区域D内有定义 表达式 称为复变函数项级数 最前面n项的和sn z f1 z f2 z fn z 称为这级数的部分和 14 存在 则称复变函数项级数 4 2 1 在z0收敛 而s z0 称为它的和 如果级数在D内处处收敛 则它的和一定是z的一个函数s z s z f1 z f2 z fn z s z 称为级数的和函数 如果对于D内的某一点z0 极限 15 这种级数称为幂级数 如果令z a z 则 4 2 2 成为 这是 4 2 3 的形式 为了方便 今后常就 4 2 3 讨论 当fn z cn 1 z a n 1或fn z cn 1zn 1时 就得到函数项级数的特殊情形 16 定理一 阿贝尔Abel定理 z0 x y O 17 证 18 19 20 2 收敛圆和收敛半径利用阿贝尔定理 可以定出幂级数的收敛范围 对一个幂级数来说 它的收敛情况不外乎三种 i 对所有的正实数都是收敛的 这时 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛 ii 对所有的正实数除z 0外都是发散的 这时 级数在复平面内除原点外处处发散 iii 既存在使级数收敛的正实数 也存在使级数发散的正实数 设z a 正实数 时 级数收敛 z b 正实数 时 级数发散 21 显然a b 将收敛域染成红色 发散域为蓝色 O a b Ca Cb x y 22 当a由小逐渐变大时 Ca必定逐渐接近一个以原点为中心 R为半径的圆周CR 在CR的内部都是红色 外部都是蓝色 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆 在收敛圆的外部 级数发散 收敛圆的内部 级数绝对收敛 收敛圆的半径R称为收敛半径 所以幂级数 4 2 3 的收敛范围是以原点为中心的圆域 对幂级数 4 2 2 来说 收敛范围是以z a为中心的圆域 在收敛圆上是否收敛 则不一定 23 例1求幂级数 的收敛范围与和函数 解 级数实际上是等比级数 部分和为 24 25 3 收敛半径的求法 26 4 幂级数的运算和性质像实变幂级数一样 复变幂级数也能进行有理运算 设 在以原点为中心 r1 r2中较小的一个为半径的圆内 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加 相减 相乘 所得到的幂级数的和函数分别就是f z 与g z 的和 差与积 27 28 更为重要的是代换 复合 运算 这个代换运算 在把函数展开成幂级数时 有着广泛的应用 29 30 O x y a b 当 z a b a R时级数收敛 31 32 3 f z 在收敛圆内可以逐项积分 即 33 3泰勒级数 34 设函数f z 在区域D内解析 而 z z0 r为D内以z0为中心的任何一个圆周 它与它的内部全含于D 把它记作K 又设z为K内任一点 z0 K z r z 35 按柯西积分公式 有 其中K取正方向 且有 36 代入 4 3 1 得 由解析函数高阶导数公式 3 6 1 上式可写成 37 在K内成立 即f z 可在K内用幂级数表达 q与积分变量z无关 且0 q 1 38 K含于D f z 在D内解析 在K上连续 在K上有界 因此在K上存在正实数M使 f z M 39 因此 下面的公式在K内成立 称为f z 在z0的泰勒展开式 它右端的级数称为f z 在z0处的泰勒级数 圆周K的半径可以任意增大 只要K在D内 所以 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d 则 4 3 4 在圆域 z z0 d内成立 但这时对f z 在z0的泰勒级数来说 它的收敛半径R至少等于d 因为凡满足 z z0 d的z必能使 4 3 4 成立 即R d 40 定理 泰勒展开定理 设f z 在区域D内解析 z0为D内的一点 d为z0到D的边界上各点的最短距离 则当 z z0 d时 41 如果f z 在z0解析 则使f z 在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径R等于从z0到f z 的距z0最近一个奇点a的距离 即R a z0 这是因为f z 在收敛圆内解析 故奇点a不可能在收敛圆内 又因为奇点a不可能在收敛圆外 不然收敛半径还可以扩大 因此奇点a只能在收敛圆周上 O x y z0 a 42 任何解析函数民开成泰勒级数的结果就是就是泰勒级数因而是唯一的 这是因为 假设f z 在z0用另外的方法展开为泰勒级数 f z a0 a1 z z0 a2 z z0 2 an z z0 n 则f z0 a0 而f z a1 2a2 z z0 于是f z0 a1 同理可得 43 利用泰勒展开式 我们可以直接通过计算系数 把f z 在z0展开成幂级数 这被称作直接展开法 例如 求ez在z 0处的泰勒展开式 由于 ez n ez ez n z 0 1 n 0 1 2 故有 因为ez在复平面内处处解析 上式在复平面内处处成立 收敛半径为 44 同样 可求得sinz与cosz在z 0的泰勒展开式 因为sinz与cosz在复平面上处处解析 所以这些等式也在复平面内处处成立 45 2 常见函数的泰勒展开式 46 47 除直接法外 也可以借助一些已知函数的展开式 利用幂级数的运算性质和分析性质 定理四 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式 此方法称为间接展开法 例如sinz在z 0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出 48 49 例2求对数函数的主值ln 1 z 在z 0处的幂级数展开式 解 ln 1 z 在从 1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的 1是它的奇点 所以可在 z 1展开为z的幂级数 1 O R 1 x y 50 51 52 4洛朗级数 53 一个以z0为中心的圆域内解析的函数f z 可以在该圆域内展开成z z0的幂级数 如果f z 在z0处不解析 则在z0的邻域内就不能用z z0的幂级数来表示 但是这种情况在实际问题中却经常遇到 因此 在本节中将讨论在以z0为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法 54 讨论下列形式的级数 可将其分为两部分考虑 55 只有在正幂项和负幂项都收剑才认为 4 4 1 式收敛于它们的和 正幂项是一幂级数 设它的收敛半径为R2 对负幂项 如果令z z z0 1 就得到 这是z的幂级数 设收敛半径为R 令R1 1 R 则当 z z0 R1时 z R 4 4 4 收敛即 4 4 3 收敛 因此 只有在R1 z z0 R2的圆环域 级数 4 4 1 才收敛 56 z0 R1 R2 57 例如级数 58 幂级数在收敛圆内的许多性质 级数 4 4 1 在收敛圆环域内也具有 例如 可以证明 级数 4 4 1 在收敛域内其和函数是解析的 而且可以逐项求积和逐项求导 现在反问 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数 先看下例 59 60 其次 在圆环域 0 z 1 1内也可以展开为级数 61 1 O x y 62 定理设f z 在圆环域R1 z z0 R2内解析 则 C为在圆环域内绕z0的任何一条闭曲线 63 证 设z为圆环域内的任一点 在圆环域内作以z0为中心的正向圆周K1与K2 K2的半径R大于K1的半径r 且使z在K1与K2之间 R1 R2 z z0 64 由柯西积分公式得 65 66 67 因此有 68 69 级数 4 4 5 的系数由不同的式子 4 4 5 与 4 4 7 表出 如果在圆环域内取绕z0的任何一条正向简单闭曲线C 则根据闭路变形原理 这两个式子可用一个式子来表示 70 C z0 R1 R2 71 4 4 5 称为函数f z 在以z0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗 Laurent 展开式 它右端的级数称为f z 在此圆环域内的洛朗级数 级数中正整次幂和负整次幂分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分 72 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正 负幂项的级数是唯一的 这个级数就是f z 的洛朗级数 事实上 假定f z 在圆环域R1 z z0 R2内用某种方法展成了由正负幂项组成的级数 73 以 z z0 p 1去乘上式两边 这里p为任一整数 并沿C沿分 得 这就是 4 4 8 74 用 4 4 8 计算cn要求环积分 过于麻烦 因此一般不用 一般是根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性 可以用别的方法 特别是代数运算