高考数学复习三角函数、平面向量第二讲三角恒等变换与解三角形教案理.docx

第二讲三角恒等变换与解三角形年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018卷利用正、余弦定理解三角形T17命题分析三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大学科素养三角变换及解三角形在学生能力考查中主要考查逻辑推理及数学运算两大素养，通过三角恒等变换及正、余弦定理来求解相关问题.卷二倍角公式应用及余弦定理解三角形T6卷三角变换求值T4解三角形T92017卷三角变换与正弦定理解三角形T17卷三角变换与余弦定理解三角形T17卷利用余弦定理解三角形及面积问题T172016卷三角恒等变换求值问题T9卷三角恒等变换求值问题T5解三角形(正、余弦定理)T8三角恒等变换授课提示：对应学生用书第22页悟通方法结论三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦全练快速解答1(2018合肥模拟)sin 18sin 78cos 162cos 78()A B C. D.解析：sin 18sin 78cos 162cos 78sin 18sin 78cos 18cos 78cos(7818)cos 60，故选D.答案：D2(2018高考全国卷)若sin ，则cos 2()A. B. CD解析：sin ，cos 212sin2122.故选B.答案：B3(2018沈阳模拟)已知tan 2，则sin2的值为()A. B. C.D.解析：原式sin2，将tan 2代入，得原式，故选C.答案：C4(2017高考全国卷)已知(0，)，tan 2，则cos()_.解析：(0，)，tan 2，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin ().答案：三角函数式的化简方法及基本思路(1)化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换，辅助角公式等(2)化简基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”，关于sin cos 的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第22页悟通方法结论正、余弦定理、三角形面积公式(1)2R(R为ABC外接圆的半径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABCabsin Cacsin Bbcsin A.(1)(2017高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A.B.C.D.解析：因为sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0，因为sin C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因为A(0，)，所以A，由正弦定理得sin C，又0C1，ACAB，当ABC的周长最短时，BC的长是_解析：设ACb，ABc，BCa，ABC的周长为l，由bc，得labca2c.又cos 60，即aba2b2c2，得aa22c2，即c.la2ca33，当且仅当a1时，ABC的周长最短，此时a1，即BC的长是1.答案：1解三角形的综合问题授课提示：对应学生用书第23页悟通方法结论三角形中的常用结论(1)ABC，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(A，B，C)(2017高考全国卷)(12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)；(2)若，求b.学审题条件信息想到方法注意什么信息：两角和与半角的三角等式关系三角形内角和定理及倍角公式(1)三角形中的三角恒等关系式化简时，三角形内角和定理及倍角公式的正确使用(2)转化与化归思想、整体代入思想在解题过程中的应用 信息：求cos B化已知条件为cos B的关系式信息：ac6寻找平方后与余弦定理中a2c2的关系式信息：三角形面积为2利用面积公式来求ac的值规范解答(1)由题设及ABC得sin B8sin2， (2分)即sin B4(1cos B)， (3分)故17cos2B32cos B150， (4分)解得cos B，cos B1(舍去) (6分)(2)由cos B，得sin B， (7分)故SABCacsin Bac. (8分)又SABC2，则ac. (9分)由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B) (10分)3624. (11分)所以b2. (12分)1与三角形面积有关的问题的解题模型2学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两大素养练通即学即用(2018长郡中学模拟)在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2Acos(BC)sin 3A.(1)求A的大小；(2)若b2，求ABC面积的取值范围解析：(1)ABC，cos(BC)cos A，3A2AA，sin 3Asin(2AA)sin 2Acos Acos 2Asin A，又sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，将代入已知，得2sin 2Acos Acos Asin 2Acos Acos 2Asin A，整理得sin Acos A，即sin，又A，A，即A.(2)由(1)得BC，CB，ABC为锐角三角形，B且B，解得B，在ABC中，由正弦定理得，c1，又B，c(1,4)，SABCbcsin Ac，SABC.授课提示：对应学生用书第124页一、选择题1(2018合肥调研)已知x，且cossin2x，则tan等于()A. B C3 D3解析：由cossin2x得sin 2xsin2x，x(0，)，tan x2，tan.答案：A2(2018成都模拟)已知sin ，则cos的值为()A.B.C.D.解析：sin ，cos ，sin 22sin cos 2，cos 212sin21221，cos.答案：A3(2018昆明三中、五溪一中联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为S，且2S(ab)2c2，则tan C等于()A.B.CD解析：因为2S(ab)2c2a2b2c22ab，由面积公式与余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)答案：C4在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形解析：根据正弦定理得cos A，即sin Csin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)sin Bcos A，整理得sin Acos B0，cos B0，BBDC，所以BCA，所以cosBCA.在ABC中，AB2AC2BC22ACBCcosBCA2622，所以AB，所以ABC，在BCD中，即，解得CD.答案：三、解答题13(2018武汉调研)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos 2Acos 2B2coscos0.(1)求角A的值；(2)若b且ba，求a的取值范围解析：(1)由cos 2Acos 2B2coscos0，得2sin2B2sin2A20，化简得sin A，又ABC为锐角三角形，故A.(2)ba，ca，C，B，sin B.由正弦定理，得，a，由sin B得a，3)14(2018唐山模拟)在ABC中，AB2AC2，AD是BC边上的中线，记CAD，BAD.(1)求sin sin ；(2)若tan sin BAC，求BC.解析：(1)AD为BC边上的中线，SACDSABD，ACADsin ABADsin ，sin sin ABAC21.(2)tan sin BACsin()，sin sin()cos ，2sin sin()cos ，2sin()sin()cos ，sin()cos 2cos()sin ，sin()2cos()tan ，又tan sin BACsin()0，cos()cos BAC，在ABC中，BC2AB2AC22ABACcos BAC3，BC.15(2018广州模拟)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，且3cos Bcos C23sin Bsin C2cos2A.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解析：(1)由3cos Bcos C23sin Bsin C2cos2A，得3cos(BC)22cos2A，即2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abc5，得bc20，因为b5，所以c4.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a2251622021，故a.根据正弦定理，得sin Bsin Csin Asin A.16(2018山西八校联考)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大小；(2)若b2，且sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC的面积解析：(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，0B，B.(2)在ABC中，ABC，即B(AC)，故sin Bsin(AC)，由已知sin Bsin(CA)2sin 2A可得sin(AC)sin(CA)2sin 2A，sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Acos Csin A4sin Acos A，整理得cos Asin C2sin Acos A. 若cos A0，则A，由b2，可得c，此时ABC的面积Sbc.若cos A0，则sin C2sin A，由正弦定理可知，c2a，代入a2c2b2ac，整理可得3a24，解得a，c，此时ABC的面积Sacsin B.