不等式问题的题型与方法(文科)

曲一线高考网 专题三：不等式问题的题型与方法(文科）一、 考点回顾1高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用； 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式a-ba+ba+b。2不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识3在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰4证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差(商)变形判断符号(值)5在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6知识网络不 等 式不等式的性质不等式的证明基本不等式不等式的解法比较法综合法分析法数学归纳法换元法反证法导数法有理不等式无理不等式指数不等式对数不等式绝对不等式不等式的应用定义域值域单调性根的分布最值问题范围问题实际应用其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只需了解，不做过高要求.二、 经典例题剖析1有关不等式的性质此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起例1（2006年江西卷）若a0，b0，则不等式ba等价于（ ）Ax0或0x B.x C.x D.x解析：ba等价于b0或0a等价于x答案：D 点评：注意不等式和适用条件是例2.（2007年北京卷）如果正数满足，那么（），且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值唯一，且等号成立时的取值不唯一，且等号成立时的取值不唯一解析：正数满足， 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=， c+d4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。例3(2007年安徽)若对任意R,不等式ax恒成立，则实数a的取值范围是(A)a-1 (B)1 (C) 1 （D）a1解析：若对任意R,不等式ax恒成立，当x0时，xax，a1，当x0，且对于任意确定实数k的取值范围；（3）设函数F(x)f(x)+f(-x)，求证：F(1)F(2)F(n)（）。解析：（）由得，所以由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（）由可知是偶函数于是对任意成立等价于对任意成立由得当时，此时在上单调递增故，符合题意当时，当变化时的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是（）， 由此得，故点评：本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力三、 方法总结与2008年高考预测（一）方法总结1熟练掌握不等式的基本性质，常见不等式的解法，二元的重要不等式及应用，不等式的常用证明方法2数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。（二）2008年高考预测在近年的高考中，不等式的考查有选择题、填空题、解答题都有，不仅考查不等式的基础知识，基本技能，基本方法，而且还考查了运算能力，分析问题、解决问题的能力。解答题以函数、不等式、数列导数相交汇处命题，函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答，函数不等式相结合的题目，多是先以直觉思维方式定方向，以递推、数学归纳法等方法解决，具有一定的灵活性。由上述分析，预计不等式的性质，不等式的解法及重要不等知识将以选择题或填空的形式出现；解答题可能出现解不等与证不等式。如果是解不等式含参数的不等式可能性比较大，如果是证明题将是不等式与数列、函数、导数、向量等相结合的综合问题，用导数解答这类问题仍然值得重视。四、 强化训练（一） 选择题1设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（） 解析：C 用可以排除A，可以排除B,D,故选C答案：选C评注：解选择题时一定注意解题方法，特值检验对有些选择题是正确快捷的选择。2下列四个数中最大的是（ ）ABCD 解析： ， ln(ln2)0，(ln2)2 ln2，而ln=ln20).(I)求f (x)的最小值h(t);(II)若h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解：（I） （），当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t2+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由g(t)=-3t2+3=0得t=1,t=-1（不合题意，舍去）.当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：T(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)递增极大值1m递减g(t)在（0，2）内有最大值g(1)=1-mh(t)-2t+m在（0，2）内恒成立等价于g(t)0在（0，2）内恒成立，即等价于1-m1点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.。22某水库进入汛期的水位升高量hn(标高)与进入汛期的天数n的关系是hn20，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？(参考数据：2.2725.1529，2.3125.3361)解析：进入汛期的水库水位标高f(n)20220，令20220400，整理得5n26n81，代值验证得n4，所以，会发生危险，在第4天发生设每天开启p个水闸泄洪，则f(n)202204np，令202204np400，即p5()5()下证g(n)为增函数事实上，令g(x)(x1)，g(x)()当x1时，g(x)0，于是函数g(x)在x1时是增函数，所以g(n)为增函数从而g(n)maxg(40)故p52.0410.20即每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全点评：本题主要复习函数、解不等式、利用重要不等式求最值的方法等基础知识，考查与不等式相关的构建数学模型的能力（四） 创新试题1. 三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 解析：，设，当时取到最小值10，当或（舍）。所以当时取到最小值10。所以取到最小值10，答案：点评：本题命题新颖，由三个人的说出了这个题目的解题思路，可以减轻在考场上的紧张感，使学生感到有趣，有利于发挥出好的水平的。2. 对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数与，给定区间.（1）若与在区间上都有意义，求的取值范围；（2）讨论函数与在区间上是否“友好”.答案：（1）函数与在区间上有意义，必须满足（2）假设存在实数，使得函数与在区间上是“友好”的，则 即 （*）因为，而在的右侧，所以函数在区间上为减函数，从而 于是不等式（*）成立的充要条件是因此，当时，函数与在区间上是“友好”