北京师大附中2015-2016学年八年级上期中数学试卷含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2015年北京师大附中八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分每题所列选项只有一个最符合题意） 1下图中的轴对称图形有（ ） A（ 1），（ 2） B（ 1），（ 4） C（ 2），（ 3） D（ 3），（ 4） 2点 P（ 4， 5）关于 x 轴对称点的坐标是（ ） A（ 4， 5） B（ 4， 5） C（ 4， 5） D（ 5， 4） 3下列计算正确的是（ ） A（ 3= a6a4=（ 4 （ 2= 3a+2a=5已知 x+y=5， ，则 x2+值是（ ） A 1 B 13 C 17 D 25 5如图，在 ， A=105， 垂直平分线 点 C，且 E，则 B 的度数是（ ） A 45 B 60 C 50 D 55 6已知 y（ y 16） +a=（ y 8） 2，则 a 的值是（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 7如图， P 为 一定 点， M、 N 分别是射线 一点，当 长最小时， 0，则 ） A 40 B 45 C 50 D 55 8如图，等腰 ， 0， D， 平分线分别交 D 于 E、 F 两点， M 为 中点，延长 点 N，连接 列结论： N；N； 等腰三角形； 5，其中正确的结论个数是（ ） 第 2 页（共 20 页） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 9已知 x+y=1，那么 的值为 10若 是完全平方式，则 k= 11已知 ，则（ 2（ 2n 的值为 12若（ x+3）（ x q）的乘积中不含 ，则 q= 13如图，已知 等边三角形，点 D、 E 在 延长线上， G 是 一点，且D， F 是 一点，且 E，则 E= 度 14如图，在平面直角坐标系中，点 A 的横坐标为 1，点 B 在 x 轴的负半轴上， O， 0，直线 过原点 O，点 A 关于直线 对称点 x 轴的正半轴上，点B 关于直线 对称点为 度数为 ；点 纵坐标为 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 15计 算 （ 1）（ 84 （ 2 （ 2）（ 3x 2）（ 2x+3）（ x 1） 2 16因式分解 （ 1） 6 2）（ a+2）（ a 2） +3 第 3 页（共 20 页） 17化简求值 （ 1）若 4a+10b+29=0，求 值 （ 2）先化简，再求值：（ 3x+2）（ 3x 2） 5x（ x 1）（ 2x 1） 2，其中 四、解答题（本大题共 2 答题， 18 题 4 分， 19 题 6 分，共 10 分） 18 平面直角坐标系中的位 置如图所示 （ 1）作出 于 y 轴对称的 （ 2）点 P 在 x 轴上，且点 P 到点 B 与点 C 的距离之和最小，直接写出点 P 的坐标为 19已知 x 1，计算（ 1+x）（ 1 x） =1 1 x）（ 1+x+=1 1 x）（ 1+x+x2+1 （ 1）观察以上各式并猜想：（ 1 x）（ 1+x+= （ n 为正整数）； （ 2）根据你的猜想计算： （ 1 2）（ 1+2+22+23+24+25） = ； 2+22+23+2n= （ n 为正整数）； （ x 1）（ +x2+x+1） = ； （ 3）通过以上规律请你进行下面的探索： （ a b）（ a+b） （ a b）（ a2+ab+ （ a b）（ a3+ 五、解答题（共 3 大题， 20 题 5 分， 21 题 6 分， 22 题 7 分，共 18 分） 20阅读下面材料： 小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图 1，在 ， A=2 B， 分 D= 长 小聪思考：因为 分 以可在 上取点 E，使 C，连接 样很容易得到 过推理能使问题得到解决（如图 2） 请回答：（ 1） 三角形 （ 2） 长为 参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图 3，已知 ， C， A=20， 分 求 长 第 4 页（共 20 页） 21在等边 侧作直线 B 关于直线 对称点为 D，连接 中直线 点 E （ 1）依题意补全图 1； （ 2）若 0，求 度数； （ 3）如图 2，若 60 120，判断由线段 以构成一个含有多少度角的三角形，并证明 22如图 1，已知 A（ 0， a）， B（ b， 0），且 a、 b 满足 4a+20=8b （ 1）求 A、 B 两点的坐标； （ 2）如图 2，连接 D（ 0， 6）， 点 E， B、 C 关于 y 轴对称， M 是线段的一点，且 B，连 接 判断线段 间的位置和数量关系，并证明你的结论； （ 3）如图 3，在（ 2）的条件下，若 N 是线段 的一个动点， P 是 长线上的一点，且 P，连接 y 轴于点 Q，过点 N 作 y 轴于点 H，当 N 点在线段 运动时， 面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由 第 5 页（共 20 页） 2015年北京师大附中八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分每题所列选 项只有一个最符合题意） 1下图中的轴对称图形有（ ） A（ 1），（ 2） B（ 1），（ 4） C（ 2），（ 3） D（ 3），（ 4） 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念求解，看图形是不是关于直线对称 【解答】 解：（ 1）是轴对称图形； （ 2）、（ 3）是中心对称图形； （ 4）是轴对称图形 故选 B 2点 P（ 4， 5）关于 x 轴对称点的坐标是（ ） A（ 4， 5） B（ 4， 5） C（ 4， 5） D（ 5， 4） 【考点】 关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标 【分析】 利用关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即点 P（ x， y）关于 x 轴的对称点 P的坐标是（ x， y），进而得出答案 【解答】 解：点 P（ 4， 5）关于 x 轴对称点的坐标是：（ 4， 5） 故选： C 3下列计算正确的是（ ） A（ 3= a6a4=（ 4 （ 2= 3a+2a=5考点】 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方 【分析】 根据幂的乘方，底数不变指数相乘； 同底数幂相乘，底数不变指数相加；单项式的除法，合并同类项法则对各选项分析判断利用排除法求解 【解答】 解： A、（ 3=本选项错误； B、 a6a4=本选项错误； C、（ 4 （ 2=本选项正确； D、 3a+2a=5a，故本选项错误 故选 C 4已知 x+y=5， ，则 x2+值是（ ） A 1 B 13 C 17 D 25 【考点】 完全平方公式 【分析】 将 x+y=5 两边平方，利用完全平方公式化简，把 值代入计算，即可求 出所求式子的值 第 6 页（共 20 页） 【解答】 解：将 x+y=5 两边平方得：（ x+y） 2=xy+5， 将 代入得： 2+5， 则 x2+3 故选 B 5如图，在 ， A=105， 垂直平分线 点 C，且 E，则 B 的度数是（ ） A 45 B 60 C 50 D 55 【考点】 线段垂直平分线的性质 【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到 E，根据等腰三角形的性质得到 E，根据三角形的外角的性质得到 E，根据三角形内角和定理计算即可 【解答】 解： 垂直平分线， E， E， E， E， C， B= E， A=105， B+ E=75， B=50， 故选： C 6已知 y（ y 16） +a=（ y 8） 2，则 a 的值是（ ） A 8 B 16 C 32 D 64 【考点】 完全平方公式 【分析】 根据完全平方公式，即可解答 【解答】 解： y（ y 16） +a=（ y 8） 2， 16y+a=16y+64 a=64 故选： D 7如图， P 为 一定点， M、 N 分别是射线 一点，当 长最小时， 0，则 ） 第 7 页（共 20 页） A 40 B 45 C 50 D 55 【考点】 轴对称 【分析】 作 P 关于 对称点 接 当 M， N 是 B 的交点时， 周长最短，根据对称的性质可以证得： 0，P，根据等腰三角形的性质即可求解 【解答】 解：作 P 关于 对称点 接 当 M， N 是 交点时， 周长最短，连接 于 称， P， M， 0 同理， （ =2 P， 等腰三角形 0， 80 2 50=80， 0， 故选 A 8如图，等腰 ， 0， D， 平分线分别交 D 于 E、 F 两点， M 为 中点，延长 点 N，连接 列结论： N；N； 等腰三角形； 5，其中正确的结论个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等腰直角三角形；圆内接四边形的性质 【分析】 求出 D， 可判断，证 出 F=可判断 ；根据 A、 B、 D、 M 四点共圆求出 即可判断 ，根据三角形外角性质求出 出 可判断 【解答】 解： 0， B， C=45， D= 0， 第 8 页（共 20 页） 5= 分 0 E， M 为 中点， 0， 0 在 N， 正确； 在 N， E， N， 正确； 0， A、 B、 D、 M 四点共圆， 45， 正确； C+ 5+ 80 45 N， 等腰三角形， 正确； 即正确的有 4 个， 故选 D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 第 9 页（共 20 页） 9已知 x+y=1，那么 的值为 【考点】 完全平方公式 【分析】 根据完全平方公式，可知 = （ xy+= （ x+y） 2，再整体代入计算即可 【解答】 解： = （ xy+ = （ x+y） 2= 1 = 故答案为 10若 是完全平方式，则 k= 2 或 2 【考点】 完全平方式 【分析】 将原式化为 2，再根据完全平方公式解答 【解答】 解：原式可化为知 2， 可见当 k=2 或 k= 2 时， 原式可化为（ x+1） 2 或（ x 1） 2， 故答案为 2 或 2 11已知 ，则（ 2（ 2n 的值为 4 【考点】 整式的混合运算 化简求值 【分析】 利用幂的乘方变形，把 看作一个整体，代入求的数值即可 【解答】 解： ， （ 2（ 2n 的 =（ 3（ 2 =8 4 =4 故答案为： 4 12若（ x+3）（ x q）的乘积中不含 ，则 q= 1 【考点】 多项式乘多项式 【分析】 根据多项式的运算法则把括号展开，再合并同类项；找到含有 x 的二次项并让其系数为 0，即可求出 n 的值 【解答】 解：原式 =x2+x 3q = q+1） q+3） x 3q， 乘积中不含 ， （ q+1） =0， q= 1 第 10 页（共 20 页） 故答案为： 1 13如图，已知 等边三角形，点 D、 E 在 延长线上， G 是 一点，且D， F 是 一点，且 E，则 E= 15 度 【考点】 等边三角形的性质；等腰三角形的性质 【分析】 由 E， D，得出 E= 由三角形的外角的意义得出 E+ E， 而得出 E，进一步求得答案即可 【解答】 解： E， D， E= E+ E， E， 等边三角形， 0， E=60 4=15 故答案为： 15 14如图，在平面直角坐标系中，点 A 的横坐标为 1，点 B 在 x 轴的负半轴上， O， 0，直线 过原点 O，点 A 关于直线 对称点 x 轴的正半轴上，点B 关于直线 对称点为 度数为 75 ；点 纵坐标为 1 【考点】 几何变换综合题 【分析】 根据等边对等角的性质得出 0，利用轴对称性质得出 而求出 度数；过 A 作 x 轴于 C，过 x 轴于 D，根据点A 的横坐标为 1 求出 ，根据等腰三角形三线合一的性质得出 =据 0和 0求出 可 【解答】 解： O， 0 第 11 页（共 20 页） 点 A 关于直线 对称点 x 轴的正半轴上， 直线 直平分 直线 过原点 O， = =75 如图，过 A 作 x 轴于 C，过 x 轴于 D 点 A 的横坐标为 1， ， O， = 0， 0， ， 点 第四象限， 点 纵坐标为 1， 故答案为： 75； 1 三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分） 15计算 （ 1）（ 84 （ 2 （ 2）（ 3x 2）（ 2x+3）（ x 1） 2 第 12 页（共 20 页） 【考点】 整式的混合运算 【分析】 （ 1）根据多项式除以单项 式进行计算即可； （ 2）根据多项式的乘法以及完全平方公式进行计算即可 【解答】 解：（ 1）原式 =8（ 2 4（ 2 = 4+2 （ 2）原式 =6x 6 x 1 =5x 7 16因式分解 （ 1） 6 2）（ a+2）（ a 2） +3 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 （ 1）原式提取 y，再利用完全平方公式分解即可； （ 2）原式利用平方差公式化简，合并即可得到结果 【解答】 解：（ 1）原式 =y（ 6=y（ y 3x） 2； （ 2）原式 =4+3=1 17化简求值 （ 1）若 4a+10b+29=0，求 值 （ 2）先化简，再求值：（ 3x+2）（ 3x 2） 5x（ x 1）（ 2x 1） 2，其中 【考点】 整式的混合运算 化简求值；因式分解的应用 【分析】 （ 1）首先把代数式利用完全平方公式因式分解，进一步求得 a、 b 的数值，进一步代入求得答案即可； （ 2）利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法计算，合并后 代入求得数值即可 【解答】 解：（ 1） 4a+10b+29=0， （ a 2） 2+（ b 5） 2=0， a 2=0， b 5=0， 解得： a=2， b=5， 5+2 25=70； （ 2）原式 =94 5x 4x 1 =9x 5， 当 时， 原式 = 3 5= 8 四、解答题（本大题共 2 答题， 18 题 4 分， 19 题 6 分，共 10 分） 18 平面直角坐标系中的位置如图所示 （ 1）作出 于 y 轴对 称的 （ 2）点 P 在 x 轴上，且点 P 到点 B 与点 C 的距离之和最小，直接写出点 P 的坐标为 （， 0） 第 13 页（共 20 页） 【考点】 作图 对称 【分析】 （ 1）根据网格结构找出点 B、 C 关于 y 轴的对称点 位置，然后顺次连接即可； （ 2）找出点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接 x 轴的交点即为所求的点 P，根据对称性写出点 C的坐标，再根据点 B、 C的坐标求出点 P 到 距 离，然后求出 长度，即可得解 【解答】 解：（ 1） 于 y 轴对称的 （ 2）如图，点 P 即为所求作的到点 B 与点 C 的距离之和最小， 点 C的坐标为（ 1， 1）， 点 B（ 2， 2）， 点 P 到 距离为 = ， + = ， 点 P（ ， 0） 故答案为：（ ， 0） 19已知 x 1，计算（ 1+x）（ 1 x） =1 1 x）（ 1+x+=1 1 x）（ 1+x+x2+1 （ 1）观察以上各式并猜想：（ 1 x）（ 1+x+= 1 （ n 为正整数）； （ 2）根据你的猜想计算： （ 1 2）（ 1+2+22+23+24+25） = 63 ； 2+22+23+2n= 2n+1 2 （ n 为正整数）； （ x 1）（ +x2+x+1） = 1 ； 第 14 页（共 20 页） （ 3）通过以上规律请你进行下面的探索： （ a b）（ a+b） （ a b）（ a2+ab+ （ a b）（ a3+ 【考点】 整式的混合运算 【分析】 （ 1）根据题意易得（ 1 x）（ 1+x+=1 ； （ 2）利用猜想的结论得到 （ 1 2）（ 1+2+22+23+24+25） =1 26=1 64= 63； 先变形 2+22+23+24+2n=2（ 1+2+22+23+24+2n 1） = 2（ 1 2）（ 1+2+22+23+24+2n 1），然后利用上述结论写出结果； 先变形得到（ x 1）（ +x2+x+1） =（ 1 x）（ 1+x+然后利用上述结论写出结果； （ 3）根据规律易得 （ a b）（ a+b） =（ a b）（ a2+ab+=（ a b）（ a3+= 【解答】 解：（ 1）（ 1 x）（ 1+x+=1 ； （ 2） （ 1 2）（ 1+2+22+23+24+25） =1 26=1 64= 63； 2+22+23+24+2n=2（ 1+2+22+23+24+2n 1） = 2（ 1 2）（ 1+2+22+23+24+2n 1） = 2（ 1 2n） =2n+1 2； （ x 1）（ +x2+x+1） =（ 1 x）（ 1+x+=（ 1 =1； （ 3） （ a b）（ a+b） = （ a b）（ a2+ab+= （ a b）（ a3+= 故答案为 1 ； 63； 2n+1 2； 1 五、解答题（共 3 大题， 20 题 5 分， 21 题 6 分， 22 题 7 分，共 18 分） 20阅读下面材料： 小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图 1，在 ， A=2 B， 分 D= 长 小聪思考：因为 分 以可在 上取点 E，使 C，连接 样很容易得到 过推理能使问题得到解决（如图 2） 请回答：（ 1） 等腰 三角形 （ 2） 长为 参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图 3，已知 ， C， A=20， 分 求 长 第 15 页（共 20 页） 【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质 【分析】 （ 1）由已知条件和辅助线的作法，证得 到 E， A=于 A=2 B，推出 B，等量代换得到 B= 到 等腰三角形； （ 2）在 上取点 E，使 C=2，连接 到 上取点F，使 B，连接 到 可推出结论 【解答】 解：（ 1） 等腰三角形， 在 ， ， E， A= A=2 B， B， B= 等腰三角形； （ 2） 长为 ， C， A=20， C=80， 分 B， 1= 2=40 0， 在 上取点 E，使 C=2，连接 则 C=80， 4=60， 3=60， 在 上取点 F，使 B，连接 则 5= 1=40， F=2， A=20， 6=20， F=2， F= 第 16 页（共 20 页） D+ 21在等边 侧作直线 B 关于直线 对称 点为 D，连接 中直线 点 E （ 1）依题意补全图 1； （ 2）若 0，求 度数； （ 3）如图 2，若 60 120，判断由线段 以构成一个含有多少度角的三角形，并证明 【考点】 作图 【分析】 （ 1）根据题意作出图形； （ 2）根据题意可得 0，然后根据 C， 0，得出 C， 20，最后根据三角形的内角和公式求解； （ 3）由线段 以构成一个含有 60 度角的三角形，连接 据对称可得 后证得 C，最后即可得出 0