河南省商丘市2016年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016 年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|4x+3 0，集合 N=x|3 x） 0，则 MN=（ ） A x|2 x 3 B x|1 x 3 C x|1 x 2 D 2若 是 z 的共轭复数，且满足 （ 1 i） 2=4+2i，则 z=（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 3命题 p：函数 y=2x）的单调增区间是 1， +），命题 q：函数 y= 的值域为（ 0， 1），下列命题是真命题的为（ ） A p q B p q C p （ q） D q 4已知双曲线 =1 （ a 0， b 0）的一条渐近线过点（ 2， ），且双曲线的一个焦点在抛 物线 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 5设向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 6某算法的程序框图如图所示，若输入的 a， b 值分别为 60 与 32，则执行程序后的结果是（ ） A 0 B 4 C 7 D 28 7如图，正方形 顶点 ， ，顶点 C， D 位于第一象限，直线 t： x=t（ 0 t ）将正方形 成两部分，记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f（ t），则函数 s=f（ t）的图象大致是（ ） 第 2 页（共 24 页） A B C D 8在边长为 2 的正方体 内部随机取一点，则该点到正方体 8 个顶点得距离都不小于 1 得概率为（ ） A B C D 1 9一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（ ） A 1000 B 200 C D 10给出下列命题： 将函数 y=x+ ）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 y=2x+ ）的图象； 设随机变量 N（ 3， 9），若 P（ a） =a 3）则 P（ 6 a） =（ 2 ） 10 的二项展开式中含有 x 1 项的二项式系数是 210； 已知数列 等差数列，且 值为 42 其中正确的命题的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 第 3 页（共 24 页） 11抛物线 p 0）的焦点为 F，已知点 A， B 为抛物线上的两个动点，且满足 20过弦 中点 M 作抛物线准线的垂线 足为 N，则 的最大值为（ ） A B 1 C D 2 12已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，其导 函数为 f（ x），若 f（ x） f（ x），且 f（ x+1）=f（ 3 x）， f 21 的解集为（ ） A（ ， ） B（ e， +） C（ ， 0） D（ 1， +） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 5 个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为 14 O 所在的平面， O 的直径， C 是 O 上的一点， E， F 分别是点 A 在 C 上的射影，给出下列结论： 平面 中正确命题的序号是 15若函数 y=a（ e 为自然常数）的图象上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则实数 a 的取值范围是 16在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 2a+b， 面积为S= c，则 最小值为 三、解答题 （共 5 小题，满分 60 分） 17已知首项为 的等比数列 是递减数列，其前 n 项和为 n N*），且 S3+S5+4+等差数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 1） n+1n（ n N*），求数列 an前 n 项和 18近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇， 2015 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 918 亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体第 4 页（共 24 页） 系，现从评价系统 中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 服务的好评率为 中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （ ）完成商品和服务评价的 2 2 列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过 前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （ ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X 求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 求 X 的数学期望和方差 参考数据及公式如下： P（ k） k ，其中 n=a+b+c+d） 19在如图所示的几何体中，四边形 矩形， ， F=E， ， （ ）若 G 为 中点，证明： 平面 （ ）求平面 平面 角的余弦值 20已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切，过点 P（ 4， 0）且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 的取值范围； （ 3）若 B 点在于 x 轴的对称点是 E，证明：直线 x 轴相交于定点 21已知直线 y=x+b 与函数 f（ x） =图象交于两个不同的点 A， B，其横坐标分别为 ）求 b 的取值范围； （ ）当 2 时，证明 x12 选修 4何证明选讲 22如图， C 点在圆 O 直径 延长线上， 圆 O 于 A 点， 分线 ，交 D 点 （ ）求 度数； 第 5 页（共 24 页） （ ）若 C，求 选修 4标系与参数方程 23已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 =4 ） （ 1）求圆 C 的直角坐标方程； （ 2）若 P（ x， y）是直线 l 与圆面 4 ）的公共点，求 x+y 的取值范围 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x a|+4x（ a 0） （ ）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 2x+1 的解集； （ ）若 x R 时，恒有 f（ 2x） 7x+3，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） 2016 年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 M=x|4x+3 0，集合 N=x|3 x） 0，则 MN=（ ） A x|2 x 3 B x|1 x 3 C x|1 x 2 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 M 与 N 中不等式的解集，确定出 M 与 N，找 出两集合的交集即可 【解答】 解：由 M 中的不等式 4x+3 0，变形得：（ x 1）（ x 3） 0， 解得： 1 x 3，即 M=x|1 x 3， 由 N 中的不等式变形得： 3 x） 0= 3 x 1， 解得： x 2，即 N=x|x 2， 则 MN=x|1 x 2 故选： C 2若 是 z 的共轭复数，且满足 （ 1 i） 2=4+2i，则 z=（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的运算法则化简求解即可 【解答】 解： （ 1 i） 2=4+2i， 可得 （ 2i） =4+2i， 可得 =（ 2+i） i= 1+2i z= 1 2i 故选： B 3命题 p：函数 y=2x）的单调增区间是 1， +），命题 q：函数 y= 的值域为（ 0， 1），下列命题是真命题的为（ ） A p q B p q C p （ q） D q 【考点】 复合命题的真假 【分析】 求出函数 y=2x）的定义域，找出定义域内的内层函数 t=2x 的增区间，结合外层函数 y=单调性求出函数 y=2x）的单调增区间，从而判断出命题 p 的真假，利用指数函数的值域求出函数 y= 的值域，判断出命题 q 的真假，最后结合复合命题 的真假判断得到正确的结论 【解答】 解：令 t=2x，则函数 y=2x）化为 y= 由 2x 0，得： x 0 或 x 2， 所以，函数 y=2x）的定义域为（ ， 0） （ 2， +） 函数 t=2x 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为 x=1， 所以，函数 t=2x 在定义域内的增区间为（ 2， +） 又因为函数为 y=增函数，所以，复合函数 y=2x）的单调增区间是（ 2， +） 所以，命题 p 为假命题； 第 7 页（共 24 页） 再由 3x 0，得 3x+1 1， 所以 ， 所以，函数 y= 的值域为（ 0， 1）， 故命题 q 为真命题 所以 p q 为假命题， 真命题， p （ q）为假命题， q 为假命题 故选 B 4已知双曲线 =1 （ a 0， b 0）的一条渐近线过点（ 2， ），且双曲线 的一个焦点在抛物线 x 的准线上，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 双曲线的标准方程 【分析】 由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 a、 b 的另一个方程，求出 a、 b，即可得到双曲线的标准方程 【解答】 解：由题意， = ， 抛物线 x 的准线方程为 x= ，双曲线的一个焦点在抛物线 x 的准线上， c= ， a2+b2=， a=2， b= ， 双曲线的方程为 故选： D 5设向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考点 】 平面向量数量积的运算 【分析】 先根据向量的垂直求出 x 的值，再根据向量的夹角公式即可求出 【解答】 解：向量 =（ ， 1）， =（ x， 3），且 ， x 3=0， 解得 x= ， =（ ， 1）（ ， 3） =（ 0， 4）， | |=4， | |=2， （ ） =4， 设向量 与 的夹角为 ， 第 8 页（共 24 页） = = ， 0 180， =60 故选： B 6某算法的程序框图如图所示，若输入的 a， b 值分别为 60 与 32，则执行程序后的结果是（ ） A 0 B 4 C 7 D 28 【考点】 程序框图 【分析】 由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序输出的结果 【解答】 解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序输出的是 用辗转相除法求两个数 a、 b 的最大公约数； 当 a=60， b=32 时， 最大公约数是 4 故选： B 7如图，正方形 顶点 ， ，顶点 C， D 位于第一象限，直线 t： x=t（ 0 t ）将正方形 成两部分，记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f（ t），则函数 s=f（ t）的图象大致是（ ） 第 9 页（共 24 页） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 由 f（ t）表示位于直线 l 左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数 s=f（ t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为 t= ，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象 【解答】 解：依题意得 s=f（ t） = ， 分段画出函数的图象可得图象如 C 所示 故选 C 8在边长为 2 的正方体内部随机取一点，则该点到正方体 8 个顶点得距离都不小于 1 得概率为（ ） A B C D 1 【考点】 几何概型 【分析】 根据题意，求出满足 条件的点 P 所组成的几何图形的体积是多少， 再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可 【解答】 解：符合条件的点 P 落在棱长为 2 的正方体内， 且以正方体的每一个顶点为球心，半径为 1 的 球体外； 根据几何概型的概率计算公式得， P= =1 故选： D 9一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（ ） 第 10 页（共 24 页） A 1000 B 200 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为 10 的直三棱柱， 且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是底面为直角三角形， 且直角边长分 别为 6 和 8，高为 10 的直三棱柱，如图所示； 所以该三棱柱外接球的球心为 中点， 因为 0 ，所以外接球的半径为 5 ， 体积为 = 故选： D 10给出下 列命题： 将函数 y=x+ ）的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，得到函数 y=2x+ ）的图象； 设随机变量 N（ 3， 9），若 P（ a） =a 3）则 P（ 6 a） =（ 2 ） 10 的二项展开式中含有 x 1 项的二项式系数是 210； 已知数列 等差数列，且 值为 42 其中正确的命题的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据三角函数的图象关系进行判 断 根据正态分布的性质进行判断， 根据二项展开式的公式进行判断 根据等差数列的性质以及积分的应用进行求解判断 【解答】 解： 函数 y=x+ ） =x+2 ） =图象上的每个点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），得到 y= 再向左平移 个单位长度， 得到函数 y=x+ ）的图象；故 错误， 第 11 页（共 24 页） 设随机变量 N（ 3， 9），若 P（ a） =a 3），则 P（ a） =P（ 6 a），则 P（ 6 a） =1 P（ 6 a） =1 正确， （ 2 ） 10 的二项展开式中的通项公式 =C （ 2 ） 10 k（ ） k=C （ 2 ）10 k（ ） k=C 210 k（ 1） 当 5 = 1 时， k=4，此时 26x 1=210 64x 1=13440x 1 故 x 1 项的二项式系数是 13440，故 错误； 已知数列 等差数列，且 =2，即 ， 则 =42故 正确， 故正确的是 ， 故选： C 11抛物线 p 0）的焦点为 F，已知点 A， B 为抛物线上的两个动点，且满足 20过弦 中点 M 作抛物线准线的垂线 足为 N，则 的最大值为（ ） A B 1 C D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 |a， |b，连接 抛物线定义得 2|a+b，由余弦定理可得 |=（ a+b） 2 而根据基本不等式，求得 |取值范围，从而得到本题答案 【解答】 解：设 |a， |b，连接 抛物线定义，得 | |在梯形 ， 2|a+b 由余弦定理得， |=a2+2a2+b2+方得， |=（ a+b） 2 又 （ ） 2， （ a+b） 2 （ a+b） 2 （ a+b） 2= （ a+b） 2 得到 | （ a+b） 所以 = ，即 的最大值为 故选： A 第 12 页（共 24 页） 12已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 f（ x），若 f（ x） f（ x），且 f（ x+1）=f（ 3 x）， f 21 的解集为（ ） A（ ， ） B（ e， +） C（ ， 0） D（ 1， +） 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质；导数的运算 【分析】 根据函数的奇偶性和单 调性推导函数的周期性，构造函数 g（ x），求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论 【解答】 解： 函数 f（ x）是偶函数， f（ x+1） =f（ 3 x） =f（ x 3）， f（ x+4） =f（ x），即函数是周期为 4 的周期函数， f=f（ 1） =f（ 1） =2， f（ 1） =2， 设 g（ x） = ，则函数的导数 g（ x） = = ， 故函数 g（ x）是 R 上的 减函数， 则不等式 f（ x） 21 等价为 ， 即 g（ x） g（ 1）， 解得 x 1， 即不等式的解集为（ 1， +）， 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 5 个人排成一排，其中甲与乙不相邻，而丙与丁必须相邻，则不同的排法种数为 24 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 由题设中的条件知，可以先把丙与丁必须相邻，可先将两者绑定，又甲与乙不相邻，可把丙与丁看作 是一个人，与甲乙之外的一个人作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将甲乙两人插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可 第 13 页（共 24 页） 【解答】 解：由题意，第一步将丙与丁绑定，两者的站法有 2 种，第二步将此两人看作一个整体，与除甲乙之外的一人看作两个元素做一个全排列有 站法，此时隔开了三个空，第三步将甲乙两人插入三个空，排法种数为 不同的排法种数为 2 2 6=24 故答案为： 24 14 O 所在的平面， O 的直径， C 是 O 上的一点， E， F 分别是点 A 在 C 上的射影，给出下列结论： 平面 中正确命题的序号是 【考点】 命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对于 可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于 利用反证法进行证明，假设 面 面 然不成立，从而得到结论 【解答】 解： O 所在的平面， O 所在的平面 A=A 面 又 而 C=C 面 正确； 而 F=A 面 而 面 面 正确， 面 设 面 然不成立，故 不正确 故答案为： 15若函数 y=a（ e 为自然常数）的图象上存在点（ x， y）满足约束条件 ，则实数 a 的取值范围是 1， 【考点】 二元一次不等式（组）与平面区域 第 14 页（共 24 页） 【分析】 由题意作平面区域，从而利用数形结合求解，注意临界值即可 【解答】 解：由题意作平面区域如下， ， 当函数 y=a 与直线 y=x 相切时，切点恰为（ 0， 0）， 故此时 0=1 a， 故 a=1； 当函数 y=a 过点（ 5， 1）时， 1=a， 故 a=； 结合图象可知， 1 a 故 答案为： 1， 16在 ，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 2a+b， 面积为S= c，则 最小值为 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得 ， C= 根据 = abc，求得 c=3由余弦定理化简可得 9a2+b2+此求得 最小值 【解答】 解：在 ，由条件用正弦定理可得 2B+C） + 即 2 2， ， C= 由于 面积为 S= abc， c=3 再由余弦定理可得 c2=a2+2ab理可得 9a2+b2+3且仅当 a=b 时，取等号， 第 15 页（共 24 页） ， 故答案为： 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17已知首项为 的等比数列 是递减数列，其前 n 项和为 n N*），且 S3+S5+4+等差数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 1） n+1n（ n N*），求数列 an前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的性质 【分 析】 （ ）设等比数列 公比为 q，运用等差数列的中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可得到所求； （ ）求得 an 1） n 1 （ 1） n+1n=3n（ ） n运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和 【解答】 解：（ ）设等比数列 公比为 q， 由 S3+S5+S4+等差数列，可得 2（ S5+=S3+4+ 即 2（ S3+=2S3+ 即有 4a5=为 = ， 解得 q= ， 由等比数列 是递减数列，可得 q= ， 即 （ ） n 1=（ 1） n 1 ； （ ） 1） n+1n， 可得 an 1） n 1 （ 1） n+1n=3n（ ） n 前 n 项和 1 +2（ ） 2+n（ ） n， 1（ ） 2+2（ ） 3+n（ ） n+1， 两式相减可得， +（ ） 2+（ ） n n（ ） n+1 =3 n（ ） n+1， 第 16 页（共 24 页） 化简可得 （ 1 ） 18近年来我国电子商务行业迎来篷布发张的新机遇， 2015 年双 11 期间，某购物平台的销售业绩高达 918 亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评 价体系，现从评价系统中选出 200 次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为 服务的好评率为 中对商品和服务都做出好评的交易为 80 次 （ ）完成商品和服务评价的 2 2 列联表，并说明是否可以在犯错误概率不超过 前提下，认为商品好评与服务好评有关？ （ ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的 5 次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量 X 求对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 求 X 的数学期望和方差 参考数据及公式如下： P（ k） k ，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差 【分析】 （ ）由已知列出关于商品和服务评价的 2 2 列联表，代入公式求得 值，对应数表得答案； （ ） 每次购物时，对商品和服务全好评的概率为 X 的取 值可以是 0， 1， 2， 3，4， 5， X B（ 5， 求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数 X 的分布列（概率用组合数算式表示）； 利用二项分布的数学期望和方差求 X 的数学期望和方差 【解答】 解：（ ）由题意可得关于商品和服务评价的 2 2 列联表： 对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 80 40 120 对商品不满意 70 10 80 合计 150 50 200 得 可以在犯错误概率不超过 前提下，认为商品好评与服务好评有关； 每次购物时，对商品和服务全好评的概率为 X 的取值可以是 0， 1， 2， 3， 4， 5，X B（ 5， P（ X=0） =P（ X=1） =P（ X=2） =P（ X=3） = P（ X=4） =P（ X=5） = X 的分布列 X 0 1 2 3 4 5 P 525354X=5 ， 第 17 页（共 24 页） 19在如图所示的几何体中，四边形 矩形， ， F=E， ， （ ）若 G 为 中点，证明： 平面 （ ）求平面 平面 角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）若 G 为 中点，根据线面平行的判定 定理证明 可证明： 平面 （ ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求平面 平面 角的余弦值 【解答】 证明：（ ）连接 O 点，则 O 为 中点，连接 G 为 面 面 平面 解：（ ）取 中点 M， 中点 Q，连接 则 M， Q， F， E 共面 作 P， N， 则 P，连接 E=F， C， Q Q=1， F， Q 为 中点， Q=Q， 平面 平面 P 原点， x 轴， z 轴建立空间直角坐标系 则 A（ 3， 1， 0）， B（ 1， 1， 0）， C（ 1， 1， 0）， 设 F（ 0， 0， h），则 =（ 3， 1， h）， =（ 1， 1， h） ， =（ 3， 1， h） （ 1， 1， h） = 3 1+，解得 h=2， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， =（ 3， 1， 2）， =（ 1， 1， 2）， 由 得 ， 令 z=1，则 x=0， y=2，即 =（ 0， 2， 1）， 第 18 页（共 24 页） 同理平面 一个法向量为 =（ 2， 0， 1）， = = = 平面 平面 角的余弦值为 20已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切，过点 P（ 4， 0）且不垂直于 x 轴直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）求 的取值范围； （ 3）若 B 点在于 x 轴的对称点是 E，证明：直线 x 轴相交于定点 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意知， ，利用点到直线的距离公式可求 b，结合 a2=b2+求 a，即可求解 （ 2）由题意设直线 l 的方程为 y=k（ x 4），联立直线与椭圆方程，设 A（ B （ x2，根据方程的根与系数关系求出 x1+ 0 可 求 k 的范围，然后代入= 中即可得关于 k 的方程，结合 k 的范围可求 的范围 （ 3）由 B， E 关于 x 轴对称可得 E（ 写出 方程，令 y=0，结合（ 2）可求 【解答】 （ 1）解：由题意知， ， 即 b= 又 a2=b2+ a=2， b= 故椭圆的方程为 （ 2）解：由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=k（ x 4） 第 19 页（共 24 页） 由 可得：（ 3+432412=0 设 A（ B （ 则 =3224（ 3+4 6412） 0 x1+， = = = = ） （ 3）证明： B， E 关于 x 轴对称 可设 E（ 直线 方程为 令 y=0 可得 x= y1=k（ 4）， y2=k（ 4） = =1 直线 x 轴交于定点（ 1， 0） 第 20 页（共 24 页） 21已知直线 y=x+b 与函数 f（ x） =图象交于两个不同的点 A， B，其横坐标分别为 ）求 b 的取值范围； （ ）当 2 时，证明 x12 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）由题意可得 x b=0 有两个不同的实根，设 g（ x） =x b，求出导数，求得单调区间，可得最小值，即可得到 b 的范围； （ ）由（ ）可得 0 1， 1， g（ =g（ =0，作差 g（ g（ ），化简可得 3+ h（ t） =t 3出导数，判断符号，得到单调性，可得当 2 时， g（ g（ ） 0，即 g（ g（ ），由 g（ x）在（ 0，1）递减，即可得证 【解答】 解：（ ）由题意可得 x b=0 有两个不同的实根， 设 g（ x） =x b， x 0， g（ x） =1 ， 当 0 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递减； 当 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）递增 可得 g（ x）在 x=1 处取得最小值 b+1， 当 b 1 时， b=x 在（ 0， 1）和（ 1， +）各有一个不同的实根， 则 b 的范围是（ ， 1）； （ ）证明：由（ ）可得 0 1， 1， g（ =g（ =0， g（ g（ ） =（ b）（ b） =（ b）（ b） =3+ 令 h（ t） =t 3 h（ t） =1 + = ， 当 t 2 时， h（ t） 0， h（ t）递增， 即有 h（ t） h（ 2） = 20， 当 2 时， g（ g（ ） 0，即 g（ g（ ）， 又 g（ x）在（ 0， 1）递减， 0 1， 0 1， 第 21 页（共 24 页） 即有 ，可得 x12 选修 4何证明选讲 22如图， C 点在圆 O 直径 延长线上， 圆 O 于 A 点， 分线 ，交 D 点 （ ）求 度数； （ ）若 C，求 【考点】 相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明 【分析】 （ I）根据 圆 O 的切线，结合弦切角定