垂径定理 (2)

24 1 2垂直于弦的直径 问题 你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 O 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 活动一 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 O C D 圆有无数条直径 所以圆有无数条对称轴 如图 AB是 O的一条弦 做直径CD 使CD AB 垂足为E 1 图形是轴对称图形吗 如果是 它的对称轴是什么 2 你能发现图中有那些相等的线段和弧 为什么 O A B C D E 活动二 1 是轴对称图形 直径CD所在的直线是它的对称轴 2 线段 AE BE 弧 AC BC AD BD 把圆沿着直径CD折叠时 CD两侧的两个半圆重合 点A与点B重合 AE与BE重合 AC AD分别与BC BD重合 O A B C D E 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 即直径CD垂直于弦AB 平分弦AB 并且平分AB及ACB 知二推三 1 垂直于弦 2 过圆心 3 平分弦 4 平分弦所对的优弧 5 平分弦所对的劣弧注意 当具备了 1 3 时 应对另一条弦增加 不是直径 的限制 你可以写出相应的命题吗 相信自己是最棒的 垂径定理的推论 如图 在下列五个条件中 只要具备其中两个条件 就可推出其余三个结论 CD是直径 AM BM CD AB 垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分这条弦所对的两条弧 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 并且平分弦和所对的另一条弧 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心 垂直于弦 并且平分弦所对的另一条弧 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心 并且垂直平分弦 练习 在下列图形中 你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧 一 判断是非 1 平分弦的直径 平分这条弦所对的弧 2 平分弦的直线 必定过圆心 3 一条直线平分弦 这条弦不是直径 那么这条直线垂直这条弦 4 弦的垂直平分线一定是圆的直径 5 平分弧的直线 平分这条弧所对的弦 6 弦垂直于直径 这条直径就被弦平分 7 平分弦的直径垂直于弦 填空 1 如图 已知AB是 O的直径 弦CD与AB相交于点E 若 则CE DE 只需填写一个你认为适当的条件 2 如图 已知AB是 O的弦 OB 4cm ABO 300 则O到AB的距离是 cm AB cm 第1题图 第2题图 2 4 H 选择 如图 在 O中 AB为直径 CD为非直径的弦 对于 1 AB CD 2 AB平分CD 3 AB平分CD所对的弧 若以其中的一个为条件 另两个为结论构成三个命题 其中真命题的个数为 A 3B 2C 1D 0 A 例题1 如图在 O中 弦AB的长为8cm 圆心O到AB的距离为3cm 求圆0的半径 E 赵州桥 A B C D 在Rt ODA中 OA2 AD2 OD2即R2 18 72 R 7 2 2解得R 27 9 解 如图AB 37 4 CD 7 2 答 拱高所在圆的半径约是27 9m E 变形2 CE 8 DE 2 则AB D C 变形1 AB 8 CD 10 则圆心O到AB的距离是 变形3 CD 10 AB 8 则DE 3 8 2 若CD为圆O的直径 弦AB CD于点E 垂径定理的应用 构建直角三角形 O A B C R d 作垂线段 连半径 弓高为h h R d 如图 两个圆都以点O为圆心 求证 AC BD O A B C D 活动4 布置作业 练习册 思考题 在 ABC中 C 900 AC 12 BC 16 以C为圆心 AC为半径的圆交斜边AB于D 求AD的长 变形4 若 O的直径为10 弦AB 8 E是AB上任意一动点 则OE的最小值是 3 变形5 线段OE长的取值范围的是 3 OM 5 2 如图 在 O中 AB AC为互相垂直且相等的两条弦 OD AB于D OE AC于E 求证四边形ADOE是正方形 证明 四