数学北师大版八年级下册等腰三角形（习题）教学设计.doc

第一节 等腰三角形（习题）一、内容和内容解析1、内容（北京师范大学出版社八年级下册）等腰三角形的习题。2、内容解析本节课是在学生已经学习了等腰三角形的概念、性质、判定方法以及等边三角形相关内容的基础上，对等腰三角形进行深入研究主要内容是对教辅资料上的一道习题进行横向拓展和纵向延伸其中包括两个环节：一是条件不变，发现更多的结论并证明其中的一个结论；二是结论不变，弱化条件，将问题“一般化”。基于以上分析，确定本课的教学重点是：以典型题的研究为载体，探索几何问题的研究思路和研究方法二、目标和目标解析1、目标（1）在题目条件不变的前提下，探索并发现其他隐含结论（2）在题目结论不变的前提下，探索使其成立的条件（3）在对题目进行横向拓展和纵向延伸的过程中，体会分类、转化、类比、一般化等数学思想和数学方法，进一步理解数学内容的本质，提高思维能力2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生在题目条件不变的前提下能从不同的角度发现图形中隐含的结论相等的线段，从而明确探索几何问题的研究思路达成目标（2）的标志是：学生知道使题目结论成立的条件共有两个“等边三角形”和“共线”，并能分别从这两个条件入手进行探索，即弱化条件，将问题一般化，能证明一般化后的结论达成目标（3）的标志是：学生在证明比较复杂的结论时，能够利用前面发现的隐含结论，将其作为下一步证明的依据，体会转化的作用使复杂变得简单；学生对条件进行拓展时，体会一般化的思想，并在拓展后证明相应的结论时，体会类比的作用思路和方法的迁移，进而加深对数学内容本质的认识，使思维的广阔性、深刻性、灵活性等得到锻炼三、教学问题诊断分析在第一个环节中，尽管有的学生能够发现一些结论，但他们所发现的结论往往是不全面的；在第二个环节中，很多学生不知道应该首先分别从两个条件入手进行研究产生以上问题的根本原因是学生没有真正找到研究几何问题的切入点，对几何问题的研究思路和研究方法没有清晰的认识本节课的教学难点是：以典型题的研究为载体，探索几何问题的研究思路和方法四、教学支持条件分析利用几何画板，动态演示图形的变化（形状的变化以及位置的变化），加深对图形本质特征的理解五、教学过程分析引言 请大家回忆下等腰三角形都有哪些性质？前面我们利用了全等的知识对其进行了证明，今天我们通过本节课来进一步巩固前面所学过的知识题目 如图1，ABC和DCE均是等边三角形，且点B、C、E共线 BD与AE、AC分别相交于点P、M，CD与AE相交于点N 求证：BD=AE图1（屏幕显示题目）师生活动：学生独立思考后，一名学生口述证明过程，教师板书，其他学生说明每一步的证明根据设计意图：巩固特殊的等腰三角形等边三角形的概念、性质，为后续深入研究作准备1、探索并证明题目的隐含结论思考1 在不添加任何条件的前提下，你还能得到哪些线段相等？师生活动：教师提出问题，学生将自己发现的所有相等的线段都写在练习本上，教师让一名学生到黑板上写出发现的结论设计意图：提出问题，将题目向纵向延伸，让学生尝试发现新的结论，锻炼学生思维的发散性追问1：你们也发现以上的结论了吗？是否还有补充？师生活动：学生相互补充、纠正追问2：本节课我们只证明其中的CM=CN这个结论，其他结论课后证明师生活动：学生到讲台上指着图形讲解“CM=CN”的证明思路，并口述证明过程，其他学生对其进行评价追问3：还有不同的证法吗?师生活动：学生展示不同的证明方法，并相互补充教师最后指出，我们在做像证明“CM=CN”成立这样的题时，有的学生往往找不到突破口，觉认为题目给的已知条件不够，其原因主要是他们没有充分利用题中的隐含结论（此处教师利用课件依次展示图形中1=2、BMC与ANC全等、3=4、MCD与NCE全等，等等，如图2、3），其实，一旦发现了这些结论，并证明其中的重要结论，复杂问题也就迎刃而解了可见，在我们做题过程中善于发现题中的隐含结论是很重要的 图3图2设计意图：引导学生用多种方法证明结论，体会发现隐含结论的重要性，进一步感悟转化思想2 、 拓展并推广题目的前提条件思考2 在题目中，结论“BD=AE”是在“等边”“共线”的两个条件同时成立的情况下得到的，这个结论一定需要这两个条件同时成立吗？“不共线”可以吗？“不是等边三角形”可以吗？下面我们来演示点B、C、E不共线时的情形。师生活动：教师利用课件，动态展示DCE绕点C顺时针旋转的过程（如图4），显示出学生所说的两个全等三角形。追问1：当点B、C、E不共线时，BCD和EAC的形状发生了改变，它们还全等吗？师生活动：学生回答两个三角形全等。追问2：BCD和EAC为什么全等？它们全等的条件发生了改变吗？师生活动：学生思考交流后，由一位学生到讲台上用手指着图形说明证明的思路并口述证明过程，其他同学进行补充。追问3：类比顺时针的旋转，你能猜想一下逆时针旋转的情况吗？（教师动态展示DCE绕点C顺时针旋转的过程，如图5）图4图5 追问4：BCD和EAC还全等吗？师生活动：学生回答两个三角形全等。追问5：两个三角形的形状发生了改变，他们全等的条件发生改变了吗？师生活动：学生思考交流后，由一位学生到讲台上用手指着图形说明证明的思路并口述证明过程，其他同学进行补充。最后与学生一起总结出“虽然点B、C、E位置变了，但是证明三角形全等的关键条件没有发生改变，而且解题的思路和方法也没有改变，因此结论BD=AE仍然成立。”设计意图：通过动态的展示，让学生进一步感受由“共线”到“不共线”的过程，深刻体会虽然图形的位置改变了，但是结论不变，证明的思路和方法也不变,其原因是证明全等的关键条件没有改变；由顺时针旋转到逆时针旋转，体现思维的完整性；对学生的启发，由课上到课下，体现思维的延续性在整个探究过程中让学生逐步体会类比、一般化的数学方法追问1：刚才我们发现不共线可以，那么不是等边三角形也可以吗？师生活动：学生回答可以是等腰三角形。追问2：只要“等腰三角形”就行吗？还需要满足什么条件？师生活动：学生答“顶角相等” 追问3：必须是顶角相等吗？师生活动：学生答“底角相等也可以”教师点拨，“我们发现，虽然图形变了（屏幕展示图6），但是证明全等的关键条件没有改变，而且解题的思路和方法也没有发生改变，因此结论BD=AE仍然成立。（屏幕显示题目（图6），并让学生口述证明的过程）图6图7设计意图：让学生在由“等边”到“不等边”的过程中，体会虽然图形的形状改变了，但是结论BD=AE没有改变，证明的思路和方法也没有改变，其原因是证明全等的关键条件没有改变；由“等边”到“等腰”，将问题推广到一般的情况在此过程中让学生进一步体会类比、一般化的数学方法追问4：刚才我们探讨了“不共线”可以，“不等边”也可以，那么既“不共线”，又“不等边”可以吗？（动态展示DCE绕点C旋转的过程，如图7）师生活动：学生发现可以，原因同前学生发现，原来题目中的条件不必是两个等边三角形，只要是两个顶角相等的等腰三角形就可以了，这个问题就更具有一般性了设计意图：让学生不仅要会证明结论，还要清楚这些结论成立所需要的关键条件是什么，当图形发生了改变，问题推广到一般情况的时候，这些关键的条件是否也发生了改变，从而确定结论是否仍然成立。而事实上，把问题由特殊推广到一般正是我们研究问题时常用的思路和方法3、 小结 教师与学生一起回顾本节课的学习过程，并让学生谈谈自己的收获师生活动：学生回答各自的收获，不同的地方其他同学进行补充。 设计意图：引导学生从知识内容、学习过程、研究方法等方面总结自己的收获，并从中体会所运用的数学思想方法，建立知识之间、方法之间、过程之间、解决问题策略之间的普遍联系 4、 作业（1） 探索“思考一”中还有哪些结论成立？并说明理由。 （2） 猜想“思考二”