不等式综合练习题

.;.一、知识内容不等式专题练习题不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用二、核心思想方法解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、 数列、 三角函数、 解析几何、 导数等知识的综合， 综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第5 题是对 2a, b 使用不等式，而不是对a, b 使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式） 、距离（目标函数含二元二次多项式） 、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第 9、22、23、24 题三、高考命题趋势本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握：1. 以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历 年高考的重点考查内容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变， 每年高考必有一题四个注意问题： （ 1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第 8、28 题（ 2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第 7、9 题（ 3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第 17、 18 题（ 4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的，如下面练习题的第20 题2. 以解答题形式命题：不等式证明与解法是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高均值不等式在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高线性规划问题也可以用实际问题进行考查，考查优化思想在解决问题的广泛应用， 体现数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识但是，考虑到线性规划应用题毕竟知识较为单一，所以在高考中出现的频率不高考虑到不等式与函数、导数、解析几何的综合题中，不等式仅是其中的一个工具，所以本专题的选的解答题主要侧重于不等式的证明与解法练习题1（山东省临沂市高三教学质量检测考试）集合ax x2x20， bx x1 ， 则 a( cr b)（）（ a）x x1（ b）x 1x2（c）x 1x2（ d）x12（ 安徽省安庆市高三3 月模拟考试（二模） ）下列命题中错误的是（）a. 命题“若x25x60 ，则 x2 ”的逆否命题是“若x2 ，则x25x60 ”b. 若x, yr ，则“ xy ”是 xy2xy成立的充要条件2c. 已知命题p 和 q，若 pq 为假命题，则例题p 与 q 中必一真一假d. 对命题p：xr ，使得 x2x10 ，则p :xr, 则 x2x103（广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设条件 p ： xx10 ，条件2q : ( x1)( x2) 0 ，则条件p 是条件 q的 （）a. 充要条件b 充分不必要条件c 必要不充分条件d 既不充分也不必要条件4（湖南省长、望、浏、宁高三3 月一模联考）设 x, yr ，则“ x2且y2 ”是“ x2y24 ”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件5 （山东省青岛市3 月高三统一质量检测）已知 a0, b0 , 且 2ab4 , 则 1ab的最小值为（）a 14b 4c 12d 26（广东省六校高三第二次联考试题）若函数f ( x)x1,( x x22)在 xn 处有最小值，则n()a 12b 13c4d 3x1,7（山东省临沂市高三教学质量检测考试）实数x, y 满足ya(axy0,1) , 若目标函数zxy 取得最大值4，则实数a 的值为（）（ a） 4（ b）3（c） 2（ d） 32xy20228（ 广东省深圳市松岗中学高三模拟试卷）设实数x, y 满足x2 y50， 则 uxy的取值范围是（）xya. 2, 52b. 2, 103yc 5 10,2320d 1, 44xy209（广州市普通高中毕业班综合测试）在平面直角坐标系中，若不等式组xyx2t0 表示的平面区域的面积为4，则实数 t 的值为（）a 1b 2c 3d 410（安徽省安庆市高三3 月模拟考试）已知 x, y 满足不等式组y xxy2 ，则 z2xy 的最大值与最小值的比值x2为（）a12b 2c 32d 43311（ 江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）下面四个条件中，使ab 成立的充分而不必要的条件是（填写序号） ab1 ab1 a2b2 ab312（山东青岛高三期末检测）已知点a(m, n) 在直线 x2 y20 上，则 2m4n 的最小值为13 ( 江苏省泰州市高三年级第一次模拟) 已知正实数x, y, z 满足2x( x11)yz ，则 ( x1)( x1) 的最小值为yzyz 14（湖南省长、望、浏、宁高三3 月一模联考 ）若实数a, b, c 满足111,1111 ，则 c 的最大2a2b2a b2b c2a c值是15 ( 江苏省南京市高三第一次模拟考试) 已知f (x)log 2 ( x2) ，若实数m, n 满足f ( m)f (2n)3 ，则 mn 的最小值是16（山东省胜利油田一中高三下学期第一次调研考试）已知 x0, y0,lg 2xlg8 ylg 2，则 11的最小值x3 y为17（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）若正实数a, b, c 满足： 3a2bc0 ，则ac b的最大值为18（浙江省宁波市高三“十校”联考）设 x0, y0, xyx2 y24 ，则 11xy最小值为19（上海华师大一附中高三联合调研考试数学试卷）若 mlog 13a2a16, aa14,17, 则 m 的取值范围是 20（安徽省安庆市高三3 月模拟考试）已知 4x5y10 ，则 12xy21（苏北四市高三年级二轮模拟考试）知abc 的三边长a,b,c 成等差数列 ,且 a2b2c284 ,则实数 b 的取值范围是 22（江苏省启东中学高三第一次模拟考试）实数x, y 满足， xy0, xy1, x2y1 ，则 z6 x3 y 的最小值为224x3y0,23 (湖北省黄冈中学模拟考试)若实数 x， y 满足xy14, 则x xy7.y的取值范围是 24（山东省青岛市3 月高三统一质量检测）设变量x, y 满足约束条件xyx y2xy31 , 则目标函数z3y 1的最小值x为25（广东省六校高三第二次联考试题）已知xyxy,x0, y0 则 xy 的最小值是26 （ 浙江省名校新高考研究联盟第一次联考）若不等式a(2 x2y2 )x22xy 对任意非零实数x,y 恒成立，则实数 a 的最小值为27（北京朝阳区高三期末考试）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，xn ）的关系为y x218x25则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元28（广东省六校高三第二次联考试题数学理题）如果直线l1 : 2xy20,l 2 :8 xy40 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的四边形封闭区域（含边界）中的点，使函数z abxya0,b0 的最大值为8，求 ab 的最小值29（江苏省启东中学高三第二次模拟考试）已知 p :x26x160, q : x24x4m20( m0) （ 1）若 p 为真命题，求实数x 的取值范围；（ 2）若 p 为 q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围30（江苏省南京市高三第二次模拟考试）已知 a0, b0, ab1 ，求证：1492a12b14231（江苏省南京市高三“市二模”模拟考试数学试卷）设命题 p ：方程xa6y1 表示双曲线，命题q ：圆2a7x2( y1)29 与圆(xa)2( y1)216 相交若“p 且 q ”为真命题，求实数a 的取值范围32 （ 山东省青岛市高三期末检测数学理科） 已知函 数yax 22ax1 的定 义 域为 r ，解 关 于 x 的不等式x2xa2a0 33（江苏盐城市高三年级第二次模拟考试数学试题）设 a1 ， a2 ，a3 均为正数，且a1a2a3m 求证：1119 .a1a2a2a3a3a12m34 （山东省聊城市水城中学高三下学期第二次模拟考试）已知函数f ( x)log 2 (| x1| x2 |a）（） 当 a7 时，求函数f ( x) 的定义域；（）若关于x 的不等式f ( x)3 的解集是 r ，求 a 的取值范围练习题答案：1 b 2 c 3 b4 a 5 c 6 d 7 c 8 b 9 b 10 b 11 12 4 13 2 14 2 log 2 3157 16 4 17 318 4 19 2log2 ,2 ( 或log18 ,2 等 20 2 21 (26,2733322 323 0,1024 1 25 4 26 1 27 5， 828解：设px, y为封闭区域中的任意点，px, y满足约束条件2xy208xy40，作出可行域可知目标函数的x0 , y0最优解为b(1,4) 把b(1,4) 代入zabxy(a0,b0) 得最大值8，解得ab4 由基本不等式得：ab2ab4 （当且仅当ab2 时，等号成立） ，故 ab 的最小值为429解：（ 1）由x 26x160 得，2 剟x8 ，所以 p 为真命题时，x 的取值范围是2,8 (2)q : x2m,2m , 若 p 为 q 成立的充分不必要条件，则2,8 是2m,2m 的真子集，m所以2m,2m0,2, 解得 m68.30证明：因为 a0, b0, ab1 ，所以 (2a1)(2b1)4 ，而 (14)(2 a1)(2b1)142b14(2 a1)5249 ，所以结论成立22a12b12a12b1231 解：若p 真，即方程xa6y1 表示双曲线，则(a a76)( a7)0，解得6a7 若 q 真，即圆22xy129与圆xa2y116 相交，则 1a 247, 解得35a35 a若“p 且 q ”为真命题，则p 假 q 真， 则6或a735a35，即35a6 ，所以符合条件的实数a 的取值范围是35a6 32 解：因 为函数 yax22ax1 的定义域为 r ，所以 ax22ax10恒成立当 a0 时， 10 恒成立 ,满足题意，当 a0 时， 为满 足必有 a0 且4a 24a0 ，解得 0a1 综上可知： a 的取 值范围是 0a1 原不等式可化为xax1a0 当 0a1时，不等式的解集2为 x xa 或 x1a ； 当 a1时，2不等式的解集 为 x x1 ；2当 12a1 时，不等式的解集为 x x1a 或 xa 33证明： (111a1a2a2a3a3a1)(a1a