换元积分法与分部积分法

8.2换元积分法与分部积分法（4 时）【教学目的】 熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】 换元积分法和分步积分法。【教学难点】 灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一 换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法精品资料定理 84(换元积分法 )设 g( u )在,上有定义， u( x) 在a, b上可导，且(x), xa, b，并记f (x)g(x)( x), xa,b .(i) 若g(u)在,上存在原函数g(u) ，则f ( x) 在a,b上也存在原函数f ( x), f (x)g(x)c ，即f ( x)dxg(x)(x)dxg(u)dug(u)cg( x)c.(ii)又若( x)0, xa, b , 则上述命题 (i)可逆，即当f ( x) 在a, b上存在原函数 f( x )时， g( u )在,上也存在原函数g( u )，且 g( u )= f (1 (u )c ，即g(u)dug( x)(x)dxf (x)dx f ( x)cf (1 (u )c.证（ i） 用复合函数求导法进行验证：d g( dx(x)g ( x)g (x)(x)( x)f (x).所以 f( x)以g(x)为其原函数， (1)式成立( ii )在( x)0 的条件下， u(x)存在反函数 x1 (u) ，且dx1du( x)x1 (u) .于是又能验证（ 2）式成立：df (1 (u)duf ( x)g(1(x)( x)f( x)(x)1(x)1( x)g( x)g (u) 口上述换元积分法中的公式(1) 与(2) 反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法 和第二换元积分法 ( 公式(1) 与(2) 分别称为 第一换元公式 与第二换元公式 )下面的例 1 至例 5 采用第一换元积分法求解在使用公式(1) 时，也可把它写成如下简便形式：g(x)( x)dxg( x) d(x)g(x)c.(1 )例 1求解由tanxdx.t a nxdxs i nx dx c o sx( c oxs) c o sxdx,可令 ucosx, g(u)1 , 则得utanxdx例 2求1du uln c o sxdx2ln u c.2 ( ac0).adx解a 2x 2xdx1aax21a(令ux) a1a1duu 21a1 a rc txa ncaaa r c t au n c.对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量u ，而直接使用公式 (1 ) .例 3求解dx( a0) a 2x2dx1dxdxa 2x 2ax2x211aaxar c s i n c.a例 4求dx(a22xadx10).11解x2a 22adxxaxa12 a1ln 2ad( x xxa) aaln xd ( xa) xaac1 ln xac. 2axa例 5求secxdx.解 解法一利用例 4 的结果可得secxdxcosx dxd (sin x)cos2 x11ln211s i nx s i nxsin2 xc.解法二s e cx d x=secx(secxtanx) dxsecxd( s exc s e cxtan xt a nx) t a nxln secxtan xc 这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式f ( x)dx 凑成 gxx dx 的形式，以便选取变换u(x) ，化为易于积分的g u du 最终不要忘记把新引入的变量u 还原为起始变量x 第二换元公式 (2)从形式上看是公式 (1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式 (最终同样不要忘记变量还原)，以下例 6 至例 9 采用第二换元积分法求解 例 6 求du.u3 u解为去掉被积函数中的根式，取根次数2 与 3 的最小公倍数6，并令 ux6 ,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分：du6x5dx6x 2x11dxu3 ux3x2x3x 2632x1xln x1c2u33 u66 u6 ln 6 u1c .例 7 求22axdx(a0)x解令xasin t ,t(这是存在反函数2tarcsin的一个单调区间 )于是aa 2x 2 dxa costd (a sin t)a 2cos2t d t22a(12cos 2t )dta(t 21 sin 2t )c 2a 2xxx2a r c s i n1c2aaa1 (a 22x2a r c s i nxa ax 2 )c.例 8求dxx 2a 2a0 .解令xasect , 0t(同理可考虑 t20 的情况)，于是有dxa secttant dtsectdtx2a 2a tan tln secttantc.x借助辅助直角三角形，便于求出sect，atant22xa，故得adxxlnx 2a 2ax 2a 2caln xx2a 2c1.例 9 求(x 2dxa 2 ) 2(a0)解 令 xa tant ， t，于是有2dxasec2 tdt1cos2 tdt( x