历年高考抛物线真题详解理科

.历年高考抛物线真题详解理科1. 【2017 课标 1，理 10】已知 f为抛物线c： y2=4x 的焦点，过f 作两条互相垂直的直线l1， l2，直线 l1 与 c 交于 a、 b 两点，直线l 2 与 c 交于 d、e 两点，则 | ab|+| de| 的最小值为a 16b 14c12d 1022. 【2016 年高考四川理数】设o 为坐标原点，p 是以 f 为焦点的抛物线y2 px(p0) 上任意一点， m 是线段 pf上的点，且pm =2 mf ,则直线 om 的斜率的最大值为();.（ a）33（ b） 23（ c）22（ d） 13. 【2016 年高考四川理数】设o 为坐标原点，p 是以 f 为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点， m 是线段 pf上的点，且pm=2 mf,则直线 om 的斜率的最大值为()3（ a）3（ b） 232（ c）2（ d） 14【.2016 高考新课标1 卷】以抛物线 c 的顶点为圆心的圆交c 于 a、b 两点 ,交 c的准线于d、e 两点 .已知| ab|= 42 ,| de|= 25 ,则 c的焦点到准线的距离为(a)2(b)4(c)6(d)85. 【 2015高考四川，理10 】设直线l与抛物线y24x 相交于a ， b 两点，与圆x5 2y 2r 2r0相切于点 m，且 m 为线段 ab 的中点 .若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（）（a） 1，3（ b） 1，4（ c） 2，3（ d） 2，46. 【 2015 高考浙江，理5】如图，设抛物线y 24 x 的焦点为 f ，不经过焦点的直线上有三个不同的点a ，b ，c ，其中点 a ，b 在抛物线上， 点 c 在 y 轴上，则bcf 与acf的面积之比是（）bf1a.af12bf1b.2af1bf1c.af12bf1d.2af1【2017 课标 ii，理 16】已知 f 是抛物线 c:7.y 28 x 的焦点， m 是 c 上一点， fm 的延长线交y 轴于点 n 。若 m 为 fn 的中点，则fn8. 【 2016 高考天津理数】设抛物线x 2 pt 2y 2 pt，（ t 为参数， p0 ）的焦点为f，准线为l.过抛物线上一点a 作 l 的垂线，垂足为 b.设 c（ 72p,0），af 与 bc 相交于点 e.若| cf|=2| af| ，且ace的面积为 32 ，则 p 的值为 .10. 【2017 北京，理18】已知抛物线c： y2=2px 过点 p（ 1，1） .过点（ 0， 12）作直线l 与抛物线 c 交于不同的两点m， n，过点 m 作 x 轴的垂线分别与直线op， on 交于点 a，b， 其中 o 为原点 .（）求抛物线c 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： a 为线段 bm 的中点 .11. 【2016 高考江苏卷】 （本小题满分10 分 ） 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l : xy20 ，抛物线2c : y2 px ( p0)（ 1）若直线l 过抛物线c 的焦点，求抛物线c 的方程；（ 2）已知抛物线c 上存在关于直线l 对称的相异两点p 和 q.求证：线段pq 的中点坐标为(2p,p ). ；求 p 的取值范围 .12. 【2017 浙江， 21】（本题满分15 分）如图，已知抛物2线 xy，点 a11，39，抛物线上的点13过点 b 作直线(， ) 24b(， ) 24p( x, y)(x) 22ap 的垂线，垂足为q（）求直线ap 斜率的取值范围；（）求| pa | pq|的最大值13. 【2016 高考新课标3 理数】已知抛物线c ：y 22 x 的焦点为 f ，平行于 x 轴的两条直线 l1 ,l2 分别交 c 于a, b两点，交 c 的准线于 p， q 两点（ i ）若 f 在线段 ab 上， r 是 pq 的中点，证明arfq ；（ ii ）若pqf的面积是abf 的面积的两倍，求ab 中点的轨迹方程.1. 【2017 课标 1，理 10】已知 f为抛物线c： y2=4x 的焦点，过f 作两条互相垂直的直线l1， l2，直线 l1 与 c 交于 a、 b 两点，直线l 2 与 c 交于 d、e 两点，则 | ab|+| de| 的最小值为a 16b 14c12d 10【答案】 a【解析】试题分析：设a ( x1 ,y1 ),b ( x 2 ,y2 ),d ( x 3 ,y 3 ),e ( x 4 ,y 4 )，直线 l1 方程为yk1 ( x1)联立方程y 24x得 k x2k x4xk0 xx2k242k24222211yk1 ( x1)1111222kk1122k 24同理直线l2 与抛物线的交点满足x3x42k2由抛物线定义可知| ab| de|x1x2x3x 42 p2k 242k 24441612482816k 2k 2k 2k 2k 2 k 2121212当且仅当 k1k 21 （或1）时，取得等号.【考点】抛物线的简单性质2. 【2016 年高考四川理数】设o 为坐标原点，p 是以 f 为焦点的抛物线2y2 px(p0) 上任意一点， m 是线段 pf上的点，且pm =2 mf ,则直线 om 的斜率的最大值为()（ a）33（ b） 23（ c）22（ d） 1【答案】 c【解析】试题分析：设p2 pt 2, 2 pt, mx , y（不妨设 t0 ），则 fp2 pt2p , 2 pt.由2xp2 p t 2p ,x2 p t 2p ,已知得 fm1 fp ，236，33，3y2 pt , 3y2 pt , 3k2t112，k2，故选 c.1om2t 2112t22t2ommax2考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用3. 【2016 年高考四川理数】设o 为坐标原点，p 是以 f 为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点， m 是线段 pf上的点，且pm=2 mf,则直线 om 的斜率的最大值为()3（ a）3（ b） 232（ c）2（ d） 1【答案】 c【解析】试题分析：设p2 pt 2, 2 pt, mx ,y（不妨设 t0 ），则 fp2 pt2p , 2 pt.由2xp2 p t 2p ,x2 p t 2p ,已知得 fm1 fp ，236，33，3y2 pt , 3y2 pt , 32t1122kom2t1t12122t2，kom2max，故选 c.2考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】 本题考查抛物线的性质，结合题意要求， 利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点 p 的坐标，利用向量法求出点m 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值4【.2016 高考新课标1 卷】以抛物线 c 的顶点为圆心的圆交c 于 a、b 两点 ,交 c的准线于d、e 两点 .已知| ab|= 42,| de|= 25 ,则 c的焦点到准线的距离为(a)2(b)4(c)6(d)8【答案】 b【解析】考点：抛物线的性质。【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因 .5. 【 2015高考四川，理10 】设直线l与抛物线y24x 相交于a ， b 两点，与圆222x5yrr0相切于点 m，且 m 为线段 ab 的中点 .若这样的直线l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（）（a） 1，3（ b） 1，4（ c） 2，3（ d） 2，4【答案】 d【解析】显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线 l 的斜率存在时，设斜率为k.y24x11设 a( x1 ,y1 ),b ( x 2 ,y2 ), x1x 2 , m( x0 , y 0 ) ，则2y，相减得4x22( y 1y 2 )( y1y2 )4( x1x 2 )y0.由于 x10x 2 ，所以y1y2y1y2 2x1x22 ，即 ky02.圆心为c (5, 0) ，由 cmab 得 kx051,ky05x0 ，所以 25x0 , x03 ，即点 m 必在直线 x3 上.将 x3 代入y24x得 y212,23y023 .因为点 m 在圆22222x5 2y 2r 2r0上，所以 ( x5)yr, ry412416.又y0244 （由于斜率不存在，故000y00 ，所以不取等号） ，所以24y0416,2r4 .选 d.6 y54a32m1fcx2 1 o1234561 2 3 4 5 6 7 8 9b利用这个范围即可得到r 的取值范围。6. 【 2015 高考浙江，理5】如图，设抛物线y 24 x 的焦点为 f ，不经过焦点的直线上有三个不同的点a ，b ，c ，其中点 a ，b 在抛物线上， 点 c 在 y 轴上，则bcf 与acf的面积之比是（）bf1a.af12bf1b.2af1bf1c.af12bf1d.2af1【答案】 a.【解析】s bcfs acfbcxbacxabf1af1，故选 a.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.7. 【2017 课标 ii ，理 16】已知 f 是抛物线c:y 28 x 的焦点， m 是 c 上一点， fm 的延长线交 y 轴于点 n 。若 m 为 fn 的中点，则fn。【答案】 6【解析】 试题分析：点 a，【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题， 可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。8. 【 2016 高考天津理数】设抛物线x 2 pt，（ t 为参数， p0 ）的焦点为f，准线为l.过2y 2 pt抛物线上一点a 作 l 的垂线，垂足为 b.设 c（ 72p,0），af 与 bc 相交于点 e.若| cf|=2| af| ，且ace的面积为 32 ，则 p 的值为 .【答案】6【解析】试题分析：抛物线的普通方程为y 22 px ， f (p ,0)， cf7 pp3 p ，又222cf2af ，则af3 p ，由抛物线的定义得2ab3 p ，所以2x ap ，则| ya |2 p ，由 cf/ ab得 efcf ，即eaabefcfeaaf2 ，所以s cef2s cea62 ，s acfs aecs cfe92 ，所以 13 p22 p92 ， p6考点：抛物线定义【名师点睛】 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若 p(x， y )为抛物线y2 2px(p0)上一点，由定义易得| pf| xpab000 ；若过焦点的弦2的端点坐标为a(x1， y1)， b(x2， y2)，则弦长为 | ab| x1 x2 p， x1x2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程， 则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到9.【2016 高考浙江理数】若抛物线y2=4x 上的点 m 到焦点的距离为10，则 m 到 y 轴的距离是 【答案】 9【解析】试题分析：xm110xm9考点：抛物线的定义【思路点睛】 当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点 到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y轴的距离10. 【2017 北京，理18】已知抛物线c： y2=2px 过点 p（ 1，1） .过点（ 0， 12）作直线l 与抛物线 c 交于不同的两点m， n，过点 m 作 x 轴的垂线分别与直线op， on 交于点 a，b， 其中 o 为原点 .（）求抛物线c 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证： a 为线段 bm 的中点 .11【答案】（）方程为y 2详见解析 .x ，抛物线c 的焦点坐标为（，0），准线方程为4x.（）4【解析】试题分析：（）代入点p 求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线 l 的方程为ykx1 （ k20），与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线on的方程为 yy2 x ，联立求得点b 的坐标x2( x1,y2 y1 ) ，证明 y1x2y1 y2 x22x10 .1试题解析：解： （）由抛物线c：y 22 px 过点 p（1， 1），得 p.22所以抛物线c 的方程为yx .抛物线 c 的焦点坐标为（14， 0），准线方程为x1 .4(kx1) x(kx1) x2x xy yy yy y2x x12211 2y212x122 11 222xxx112222(2k2)x x1 (xx )(2k2)11k所以 y1 2x2y2 y1212 x .4k2x22k20，x112故 a 为线段 bm 的中点 .【考点】 1.抛物线方程； 2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】 本题考查了直线与抛物线的位置关系， 考查了转换与化归能力， 当看到题目中出现直线与圆锥曲线时， 不需要特殊技巧， 只要联立直线与圆锥曲线的方程， 借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量 .11. 【2016 高考江苏卷】 （本小题满分10 分 ） 如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l : xy2 0 ，抛物线c : y22 px ( p0)（ 1）若直线l 过抛物线c 的焦点，求抛物线c 的方程；（ 2）已知抛物线c 上存在关于直线l 对称的相异两点p 和 q.求证：线段pq 的中点坐标为(2p,p ). ；求 p 的取值范围 .【答案】（1 ） y 2【解析】值范围。8 x （2）详见解析，(0, 4)3（2）设p (x 1 , y1 ), q (x 2 , y 2 )，线段 pq 的中点m (x0 , y 0 )因为点 p 和 q 关于直线 l 对称，所以直线l 垂直平分线段pq,于是直线pq 的斜率为1，则可设其方程为yxb.y 22 px由yxb消去 x 得y 22 py2 pb0(*)因为 p 和 q 是抛物线 c 上的相异两点，所以y1y2 ,2从而(2 p) 24(2 pb )0 ，化简得p2b0 .方程（ * ）的两根为y1,2pp2 pb ，从而 y0y1y2p.2因为 m(x 0 , y 0 )在直线 l 上，所以x 02p .因此，线段pq 的中点坐标为(2p,p ).因为 m(2p,p ). 在直线 yxb 上所以p(2p)b ，即 b22 p.由知 p2 b0 ，于是 p2(22 p)0 ，所以 p4.3(0,).因此 p的取值范围为43考点：直线与抛物线位置关系12. 【2017 浙江，21】（本题满分15 分）如图，已知抛物线x2y ，点 a11，39，(， ) 24b(， ) 24抛物线上的点p ( x,y)(12x3 ) 过点 b 作直线 ap 的垂线，垂足为q2（）求直线ap 斜率的取值范围；（）求| pa | pq|的最大值【答案】（）【解析】(1,1) ；（）2716试题分析：（）由两点求斜率公式可得ap 的斜率为 x1 ，由1x3 ，得 ap 斜率222的取值范围； （）联立直线ap 与 bq 的方程，得q 的横坐标，进而表达| pa| 与| pq | 的长度，通过函数f ( k )( k1)( k1) 3 求解| pa | pq| 的最大值试题解析：（）设直线ap 的斜率为k，则 kx 214x1 ，1x3 ，直线ap 斜率的取值范围是(1,1) x12222（）联立直线ap 与 bq 的方程kxy1 k10,24xky9 k30,42k 24k3212q解得点 q 的横坐标是xq2(k 21)，因为 | pa|=1k( x) =12k(k1)| pq|=1k 2 (xx)(k1)( k k 21) 21，所以 | pa| pq|=( k1)( k1) 3令 f ( k )( k1)( k1) 3 ，因为f ( k )( 4 k2)( k1) 2，所以 f (k)在区间 (1, 1 ) 上单调2递增，( 1 ,1)2上单调递减，因此当k= 12时， | pa | pq | 取得最大值2716的最大值。13. 【2016 高考新课标3 理数】已知抛物线c ：y 22 x 的焦点为 f ，平行于 x 轴的两条直线 l1 ,l2 分别交 c 于a, b两点，交 c 的准线于 p， q 两点（ i ）若 f 在线段 ab 上， r 是 pq 的中点，证明arfq ；（ ii ）若pqf的面积是abf 的面积的两倍，求ab 中点的轨迹方程.【答案】（）见解析； （） y 2x1 【解析】试题分析：（）设出与x 轴垂直的两条直线，然后得出a, b , p , q , r 的坐标，然后通过证明直线ar 与直线fq的斜率相等即可证明结果了；（）设直线l 与 x 轴的交点坐标d ( x1 , 0)，利用面积可求得x1 ，设出 ab 的中点e( x, y) ，根据 ab 与 x 轴是否垂直分两种情况结合k abkde求解试题解析：由题设f ( 1 ,0). 设 l: y12a, l 2 : yb ，则 ab0 ，且22a( a,0), b( b 22, b), p(1 , a),q(21 ,b), r(21 , a2b) .2记过 a, b 两点的直线为l ，则 l 的方程为 2x(ab) yab0 .3分（）由于f 在线段 ab 上，故 1ab0 .记 ar 的斜率为k1 ， fq 的斜率为ab2k2 ，则 k11aab12aabaabbak2 ，所以 arfq .5分（）设 l 与 x 轴的交点为d (x1,0) ，则 s abf1 ba fd 21 ba x 21 , s12abpqf.2由题设可得1 b21a x12ab，所以 x120 （舍去）， x11 .设满足条件的ab 的中点为当 ab 与 x 轴不垂直时，由e( x, y) .2k abk de 可得aby( x x11) .ab2而y ，所以 y22x1( x1) .当 ab 与 x 轴垂直时，e 与 d 重合，所以，