初三数学几何综合练习题集

.初三数学几何综合练习题1在 abc 中， c=90 ， ac=bc，点 d在射线 bc上（不与点 b、 c重合），连接 ad，将ad绕点 d顺时针旋转 90得到de，连接 be .（ 1）如图 1，点 d 在 bc 边上. 依题意补全图1； 作 df bc 交 ab 于点 f，若 ac=8 ， df=3 ，求 be 的长；（ 2）如图 2 ，点 d 在 bc 边的延长线上，用等式表示线段ab、bd、be 之间的数量关系（直接写出结论）.图 1图 2;.2.已知： rt abc和 rt abc 重合， acb= acb=90 ，ba c= bac=30 ，现将 rt abc绕点 b 按逆时针方向旋转角（ 60 90），设旋转过程中射线cc 和线段 aa 相交于点d,连接 bd（ 1）当 =60 时， ab 过点 c，如图 1 所示，判断bd 和 aa 之间的位置关系，不必证明；（ 2）当 =90 时，在图（ 3）如图 3，对旋转角请说明理由 .2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；（ 60 90），猜想（ 1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，abc图 1图 2图 33如图be .1，已知线段bc=2 ，点 b 关于直线ac 的对称点是点d，点 e 为射线 ca 上一点，且ed= bd，连接 de ，(1) 依题意补全图1，并证明： bde 为等边三角形；(2) 若 acb=45 ，点 c 关于直线bd 的对称点为点f，连接 fd 、fb .将 cde 绕点 d顺时针旋转度（ 0 360）得到 c de ，点 e 的对应点为e ，点 c 的对应点为点c.如图 2 ，当 =30 时，连接bc 证明：ef = bc ；如图 3，点 m 为 dc 中点，点范围？p 为线段 c e 上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段pm 长度的取值eeapaeefdfdacmdbccbcbc图 1图 2图 34（ 1）如图 1，在四边形abcd 中， ab=bc ， abc=80 ，a+ c=180，点 m 是 ad 边上一点，把射线bm 绕点 b 顺时针旋转a40，与 cd 边交于点 n，请你补全图形，求mn，am，cn 的数量关系；mdamdadbbccbc图 1图 2图 3（ 2 ）如图 2，在菱形abcd 中，点 m 是 ad 边上任意一点，把射线bm 绕点 b 顺时针旋12abc ，与 cd 边交于点 n，连结 mn，请你补全图形并画出辅助线，直接写出am， cn， mn 的数量关系是；（ 3）如图 3，正方形abcd 的边长是1，点 m， n 分别在 ad， cd 上，若 dmn 的周长为2 ，则 mbn 的面积最小值为5.已知，点p 是 abc 边 ab 上一动点（不与q 为边 ab 的中点 .（ 1）如图 1，当点 p 与点 q 重合时， ae 与 bf 的位置关系是，a， b 重合）分别过点a， b 向直线 cp 作垂线，垂足分别为e ， f，qe 与 qf 的数量关系是；（ 2）如图 2 ，当点 p 在线段 ab 上不与点q 重合时，试判断qe 与 qf 的数量关系，并给予证明；（ 3）如图 3，当点 p 在线段 ba 的延长线上时，此时（2 ）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.6 abc 中， abc 45，ah bc 于点 h，将 ahc 绕点 h 逆时针旋转bd 与直线 ac 交于点 e ，连接 eh 90后，点 c 的对应点为点d，直线aadebhcbhc图 1图 2（ 1）如图 1，当 bac 为锐角时，求证： be ac；求 beh 的度数；（ 2 ）当 bac 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段ec， ed， eh 之间的数量关系7. 在 abc 中， ca= cb， cd 为 ab 边的中线，点p 是线段 ac 上任意一点（不与点c 重合），过点 p 作 pe 交cd 于点 e，使 cpe = 12 cab，过点 c 作 cf pe 交 pe 的延长线于点f，交 ab 于点 g.（ 1）如果 acb=90 ， 如图 1，当点 p 与点 a 重合时，依题意补全图形，并指出与 cdg 全等的一个三角形； 如图 2，当点 p 不与点 a 重合时，求cfpe的值；（ 2）如果 cab= a，如图 3，请直接写出cfpe的值.（用含 a 的式子表示）图 1图 2图 38. 在菱形abcd 中，adc120，点 e 是对角线ac 上一点，连接de ，dec50，将线段bc 绕点 b 逆时针旋转 50并延长得到射线bf ，交 ed 的延长线于点g （ 1）依题意补全图形；ddacac eebb备用图（ 2）求证： egbc ；（ 3）用等式表示线段ae， eg ， bg 之间的数量关系： 9. 在等边 abc 外侧作直线ap ，点 b 关于直线 ap 的对称点为d，连接 bd,cd ，其中 cd 交直线 ap于点 e （ 1）依题意补全图1；（ 2）若 pab=30 ，求ace 的度数；（ 3）如图 2，若 60 pab120 ，判断由线段 ab,ce,ed可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.acacpbpb图 1图 211. 在 abc 中，bac90 （ 1）如图 1，直线 l 是 bc 的垂直平分线， 请在图 1 中画出点a 关于直线 l 的对称点与 ab 交于点 e ；a ，连接ac ， a b ， a c（ 2 ）将图 1 中的直线a b 沿着 ec 方向平移， 与直线 ec 交于点 d ，与直线 bc 交于点 f ，过点 f 作直线 ab的垂线，垂足为点h 如图 2，若点 d 在线段 ec 上，请猜想线段fh ， df ， ac 之间的数量关系，并证明；若点 d 在线段 ec 的延长线上，直接写出线段fh ， df ， ac 之间的数量关系laaa eehdbc bfcbc图 1图 2备用图12. 在菱形abcd 中， abc=60 ， e 是对角线ac 上任意一点，f 是线段 bc 延长线上一点，且cf= ae，连接 be 、ef （ 1）如图 1，当 e 是线段 ac 的中点时，易证be = ef .（ 2）如图 2 ，当点 e 不是线段ac 的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论： .（填“成立”或“不成立”）（ 3）如图 3，当点 e 是线段 ac 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（ 1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由图 1 图 2图 3.北京各区2015 数学一模答案1.解：（ 1） 补全图形，如图1 所示.1 分 df bc， fdb=90 . adf = edb .2 分 c=90 ， ac= bc， abc= dfb =90 . db=df . adf edb .3 分 af= eb .在abc 和 dfb 中， ac=8 ， df=3 ， ac= 82 ， df= 32 .4 分af= ab bf= 52即 be = 52 .5 分（ 2 ）2 bd=be + ab.7 分 由题意可知ad= de， ade=90 .图 12.解:(1)当60 时, bda a .-1分（2） ）补全图形如图1，bda a 仍然成立； -3分（3） ）猜想 bda a 仍然成立 .证明：作 aec c ， a fc c ，垂足分别为点 bcbc ，bccbc c .e, f ，如图 2，图则1aeca fc90 .acba c b90 ，;.acebcc90 ，a c fbc c90.acea c f .在aec 和a fc 中，图 2aeca fcacea c f ,90 ,aca c , aeca fc . aea f .在aed 和a fd 中，aeca fdadea df , aea f , aed a fd ada d .90 ,. aba b ， aba 为等腰三角形 . bda a -7分3解：（ 1）补全图形，如图1 所示；1 分aed证明：由题意可知：射线ca 垂直平分bdeb = ed又 ed= bdbc eb = ed=bd图 1 ebd 是等边三角形2 分（ 2 ）证明：如图2 ：由题意可知bcd=90 ，bc= dce又 点 c 与点 f 关于 bd 对称e 四边形 bcdf 为正方形，fd;.bcc图 2 fdc=90 , cdfd;. cdc 30 fdc60由（ 1） bde 为等边三角形 edbfdc60 ,ed = bd edfbdc3 分又 e dc 是由 edc 旋转得到的e c dcdfd edf dbc sasfd efbc 4 分omepcbc图 3（ 1）图 3（1）线段 pm 的取值范围是：21 pm 221 ；设射线 ca 交 bd 于点 o，i： 如图 3 （1）e（ p）当 e c dc,mp e c，d、m、p、c 共线时， pm 有最小值 .此时 dp= do=2 ， dm=1 pm=dp- dm=2-15 分efii： 如图 3（ 2）d当点 p 与点e 重合，且p、d、m、c 共线时， pm 有最大值 .com此时 dp=de = de =db=22 ， dm=1 pm= dp + dm= 22+16 分线段 pm 的取值范围是：21pm 2217 分bc图 3（2）4解：（ 1）eamdnbc1延长 da 到点 e ，使 ae =cn，连接 be bad+ c=180 eab = c又 ab=bc， ae =cn， abe cbn eba = cbn， be = bn ebn = abc2 abc=80 ，mbn=40 ， ebm= nbm =40 bm=bm， ebm nbm em =nm3 mn=am+ cn4（ 2）emdanbc5m n a m + c n6（3）215.解：（ 1） ae bf， qe=qf，（ 2） qe=qf ，证明：如图2 ，延长 eq 交 bf 于 d， aebf ， aeq= bdq， 在 bdq 和 aeq 中aeqbdqaqebqd aqbq bdq aeq（ asa ）， qe=qd， bfcp， fq 是 rt def 斜边上的中线， qe=qf=qd ， 即 qe=qf （ 3）（ 2 ）中的结论仍然成立，证明：如图3，-2 分bqd-3 分epfac-4 分-5 分d延长 eq、fb 交于 d，b aebf ， aeq= d，q在 aqe 和 bqd 中aeqbdqaaqebqd ，图 3aqbq aqe bqd（ aas ）， qe=qd，-6 分pfce. bf cp， fq 是 rt def 斜边 de 上的中线， qe=qf说明：第三问画出图形给1 分-7 分6（ 1）证明： ah bc 于点 h， abc 45， abh 为等腰直角三角形， ahbh ， bah 45， ahc 绕点 h 逆时针旋转90得 bhd，由旋转性质得，bhd ahc， 1 21 分 1 c 90， 2 c 90，图 1 1 bec 90，即 be ac2 分解法一：如图1 1， ahb aeb 90， a， b， h， e 四点均在以ab 为直径的圆上，3 分 beh bah 454 分解法二：如图1 2，a过点 h 作 hf he 交 be 于 f 点， fhe 90，即 4 5 901e又 3 5 ahb 90，d 3 4f4在 ahe 和 bhf 中，23512，ahbh，43，bhc图 1 2 ahe bhf ，3 分eh fh fhe 90， fhe 是等腰直角三角形， beh 454 分dae（ 2）补全图2 如图；5 分ec ed2 eh 7 分bhcc7.（1）;.efa（ p）dgb作图 .1 分ade（或pde ） .2 分过点 p 作 pn ag 交 cg 于点 n ，交 cd 于点 m ，.3 分;.cpmcab cpe= 12cab ，c cpe= 12cpn cpe= fpnefpmn pfcg ， pfc= pfn =90 pf= pf，pfc pfn cffn .4 分adgb由得：pme cmn pecn cfcfpecn1 .5 分2（ 2） 1 tan2 .7 分8. (本小题满分7 分)（1） ）补全图形，如图1 所示1分ffggddacaceebb图 1 图 2（2） ）方法一：证明：连接be ，如图 2四边形 abcd 是菱形， ad bcadc120 ，dcb60ac 是菱形 abcd 的对角线，dca1dcb 2302 分edc180decdca100 由菱形的对称性可知，becdecebcedc50100，3 分gebdecbec100gebcbefbc50 ，ebgebcfbc50ebgbec4 分在 geb与 cbe 中，gebcbe , beeb,ebgbec , geb cbe egbc 5 分方法二：证明：连接be ，设 bg 与 ec 交于点 h，如图 3四边形 abcd 是菱形，f ad bcgadc120 ，ddcb60ac 是菱形 abcd 的对角线，aehcdca1dcb 2302 分edc180decdca100 b由菱形的对称性可知，becdec50，ebcedc100 3 分fbc50，图 3ebgebcfbc50bec 4 分bheh 在 geh 与cbh 中，gehcbh , ehbh ,ehgbhc , geh cbh egbc 5 分（3） ）aebg3eg 7 分9. 解：（ 1）补全图形，如图1 所示.1 分（ 2）连接 ad，如图 2. 点 d 与点 b 关于直线ap 对称， ad=ab ， dap = bap=30 . ab=ac, bac=60 .ad=ac, dac=120. 2 ace+ 60+ 60=180 ace=30 3 分acaceeddbpbp图 1图 2（ 3）线段 ab,ce,ed可以构成一个含有60角的三角形.4 分证明：连接ad ， eb ，如图 3.点 d 与点 b 关于直线ap 对称， ad=ab ，