高难度的数独技巧

如左图，观察行b ，我们发现除了b3单元格以外其余的八个单元格已经填入了1 、2 、4、5、 6、7 、8、9 ，还有 3 没有填写，所以 3 就应该填入b3 单元格。这是行唯一解法。如左图，观察第7 列，我们发现除了 f7 单元格以外其余的八个单元格已经填入了1 、2、3、4 、5、6 、7 、9，还有 8 没有填写，所以8 就应该填入f7 单元格。这是列唯一解法。如左图，观察d7-f9 这个九宫格， 我们发现除了e7 单元格以外其余的八个单元格已经填入了1、2 、3 、4、6 、7、8、9 ，还有 5 没有填写，所以5 就应该填入 e7 单元格。这是九宫格唯一解法。精品资料单元唯一法在解题初期应用的几率并不高，而在解题后期，随着越来越多的单元格填上了数字， 使得应用这一方法的条件也逐渐得以满足。基础摒除法基础摒除法是直观法中最常用的方法，也是在平常解决数独谜题时使用最频繁的方法。单元排除法使用得当的话，甚至可以单独处理中等难度的谜题。使用单元排除法的目的就是要在某一单元（即行， 列或区块） 中找到能填入某一数字的唯一位置， 换句话说，就是把单元中其他的空白位置都排除掉。那么要如何排除其余的空格呢？当然还是不能忘了游戏规则，由于 1-9 的数字在每一行、 每一列、每一个九宫格都要出现且只能出现一次，所以：如果某行中已经有了某一数字，则该行中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某列中已经有了某一数字，则该列中的其他位置不可能再出现这一数字；如果某区块中已经有了某一数字，则该区块中的其他位置不可能再出现这一数字。基础摒除法可以分为行摒除、列摒除和九宫格摒除。如左图， 观察 d1-f3 这个九宫格。 由于 i1 格有数字9，所以第1 列其它所有单元格都不能填入 9；由于 b2 格有数字9，所以第 2 列其它所有单元格都不能填入9；由于 d8 格有数字 9 ，所以行 d 其它所有单元格都不能填入9 。这样， d1-f3 这个九宫格内只有e3 单元格能够填入数字9 。所以 e3 单元格的答案就是9 。如左图，观察行h 。由于 c3 格有数字4 ， 所以第 3 列其他所有单元格不能填入数字4 ； 由于 e8 格有数字4，所以第8 列其他所有单元格不能填入数字4；由于 i4 格有数字4 ，所以 g4-i6 这个九宫格内其他所有单元格不能填入数字 4 。这样行 h 中能够填入数字4 的单元格只有 h9 。所以 h9 单元格的答案就是4。如左图，观察第7 列。由于b2 单元格有数字 1 ，所以行 b 其他所有单元格都不能填入1 ；由于 f4 单元格有数字1，所以行 f 其他所有单元格都不能填入1 。这样第7 列只有 a7 单元格能够填入数字1 。所以 a7 单元格的答案是 1 。通过上面的示例，可以看到，要对九宫格使用基础摒除法，需要观察与该九宫格相交的行和列。要对行使用基础屏除法，需要观察与该行相交的九宫格和列。要对列使用基础摒除法，需要观察与该列相交的九宫格和行。在实际解题过程中，行，列和九宫之间的关系并不象上面这些图中所示的那么明显，所以需要一定的眼力和细心观察。一般来说，先看哪个数字在谜题中出现得最多，就从哪个数字开始下手，找到还未填入这个数字的单元（行，列或九宫格），利用已填入该数字的单元格与单元之间的关系，看能不能排除一些不可能填入该数字的位置，直到剩下唯一的位置。如果害怕搞不清已经处理过哪些数字 的话，可以从数字1 开始，从左上角的九宫格开始一直检查到右下角的九宫格，看能不能在这些九宫格中应用单元排除法。然后测试数字2 ，以此类推。唯余解法唯余解法是直观法中较不常用的方法。虽然它很容易被理解，然而在实践中，却不易看出能够使用这个方法的条件是否得以满足，从而使这个方法的应用受到限制。与唯一解法相比，唯余解法是确定某个单元格能填什么数的方法，而唯一解法是确定某个数能填在哪个单元格的方法。另外，应用唯一解法的条件十分简单，几乎一目了然。如左图，观察g9 单元格。由于行g 已经填入 3 、5、 6、7、8 、9，所以 g9 单元格不能再填入这六个数字；又由于第9 列已经填入1、5 、7 、8，所以 g9 单元格不能再填入这四个数字；由于 g7-i9 九宫格内已经填入1、3 、4 、5、7 、8 ，所以 g9 单元格不能再填入这六个数字。综合来看， 就说明 g9 单元格不能填入1、3 、4、5 、6 、7 、8、9 这八个数字，那样g9 单元就只能填写 2 ，所以 g9 单元格的答案是2。总结一下，就是如果某一单元格所在的行，列及区块中共出现了8 个不同的数字，那么该单元格可以确定地填入还未出现过的数字。怎么样，很简单吧，但在实践中却不那么容易识别。一般来说，只有在使用基本的排除方法都失效的情况下，才试着使用这个方法来解题。区块摒除法区块摒除法是直观法中进阶的技法。虽然它的应用范围不如基础摒除法那样广泛，但用它可能找到用基础摒除法无法找到的解。有时在遇到困难无法继续时，只要用一次区块摒除法，接下去解题就会势如破竹了。当某数字在某个九宫格中可填入的位置正好都在同一行上，因为该九宫格中必须要有该数字，所以这一行中不在该九宫格内的单元格上将不能再出现该数字。当某数字在某个九宫格中可填入的位置正好都在同一列上，因为该九宫格中必须要有该数字，所以这一列中不在该九宫格内的单元格上将不能再出现该数字。当某数字在某行中可填入的位置正好都在同一九宫格上，因为该行中必须要有该数字，所以该九宫格中不在该行内的单元格上将不能再出现该数字。当某数字在某列中可填入的位置正好都在同一九宫格上，因为该列中必须要有该数字，所以该九宫格中不在该列内的单元格上将不能再出现该数字。区块摒除法实际上是利用区块与行或列之间的关系来实现的，这一点与基础摒除法颇为相似。然而，它实际上是一种模糊排除法，也就是说，它并不象基础摒除法那样利用谜题中现有的确定数字对行，列或九宫格进行排除，而是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。如左图，能否判断h6 单元格应该填入什么数字？如左图， 由于 d2 单元格填入数字2，所以第 2 列其它所有单元格不能填入数字2 。考察 g1-i3 九宫格， 数字 2 只能填入i1 或 i3 单元格。无论数字2 填入 i1 还是 i3 ，行 i 其它单元格均不能再填入数字2。考察 g4-i6 九宫格，数字2 只能填入 h6 单元格，所以h6 单元格的答案是2。如左图，能否判断c9 单元格应该填入什么数字？如左图，由于a4 单元格填入数字5， 行 a 其它所有单元格不能再填入数字5 ； 考察 g7-i9 九宫格，数字5 只能填入h8或 i8 单元格，而无论数字5 填入 h8 还是i8 单元格，第8 列其它单元格都不能再填入数字 5。考察 a7-c9九宫格，数字5 只能填入 c9 单元格，所以 c9 单元格的答案是 5。如左图，能否判断b6 单元格应该填入什么数字？如左图，由于c3 单元格填入数字8 ，所以行 c 其它所有单元格不能再填入8 ；由于 i8 单元格填入数字8，所以行i 其它所有单元格不能再填入8 。对于第4 列，数字8 只能填入d4 单元格或f4 单元格，而无论是填入d4 还是 f4 ，d4-f6九宫格内其它单元格不能再填入数字 8 。对于第6 列，数字 8 只能填入b6单元格，所以b6 单元格的答案是8。如左图，能否判断数字3 应该填入a1-c3九宫格中的哪个单元格？如左图， 由于 c5 单元格填入数字3，所以行 c 其它所有单元格都不能再填入数字3 。对于 a7-c9九宫格，数字3 只能填入b8 单元格或 b9 单元格， 而无论填入b8 还是 b9 ， 行 b 其它单元格都不能再填入数字3。由于 d7 单元格填入数字3 ，行 d 其它所有单元格都不能再填入数字3；由于 g3 单元格填入数字3 ，第 3 列其它所有单元格都不能再填入数字3 。对于 d1-f3九宫格，数字3 只能填入e2 单元格或f2 单元格，而无论填入e2 还是 f2 ，第 2 列其它单元格都不能再填入数字2 。这样，对于a1-c3 九宫格，数字3 只能填入a1 单元格，所以a1 单元格的答案是3。这个例子同时使用了多个辅助区块同时参与排除。在实际使用中虽然这种情况并不少见。关键在于如何能正确识别并恰当应用区块摒除法。相信通过大量的练习并勤于分析思考，这种方法就可以运用自如，得心应手。下面是其他的一些例子，可以帮助更好地理解并掌握这种技法：组合摒除法组合摒除法和区块摒除法一样，都是直观法中进阶的技法。组合摒除法，顾名思义，要考虑到某种组合。这里的组合既包括区块与区块的组合，也包括单元格与单元格的组合，利用组合的关联与排斥的关系而进行某种排除。它也是一种模糊摒除法，同样是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。如果在横向并行的两个九宫格中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两行，则这两行可以被用来对横向并行的另一九宫格做行摒除。如果在纵向并行的两个九宫格中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两列，则这两列可以被用来对纵向并行的另一九宫格做列摒除。如左图，如何判断数字6 在 g4-i6 九宫格内的位置？我们根据h3 单元格和g9 单元格内的数字 6 ，可以判断g4 和 h6 单元格不能填入数字 6 。但是如何判断数字6 应该填入i5 和 i6 哪个单元格呢？如左图，由于a1 单元格内填入数字6 ，所以行 a 其它单元格都不能再填入数字6 ，所以对于a4-c6九宫格， 数字 6 只能填入b5 单元格或c6 单元格；由于e7 单元格内填入数字6 ，所以行 e 其它单元格都不能再填入数字6，所以对于d4-f6 九宫格，数字6 只能填入f5 单元格或 f6 单元格。 由于 b5 单元格和 f5 单元格在同一列， 数字不能重复；c6 单元格和f6 单元格在同一列，数字不能重复。所以如果a4-c6九宫格内数字6 填入 b5 单元格，那么d4-f6 九宫格内数字6 就只能填入f6 单元格； 如果 a4-c6 九宫格内数字6 填入 c6 单元格，那么 d4-f6 九宫格内数字6 就只能填入f5 单元格；无论是那种情况， 第 5 列和第 6 列其它单元格都不能再填入数字6 。所以g4-i6 九宫格内数字6 不能填入h6 单元格和i5 单元格， 再根据前面分析出的数字6 不能填入g4 单元格， 所以数字 6 只能填入i4 单元格，也就是说i4 单元格的答案是6。如左图，如何判断数字1 应该填入d4-f6 九宫格内哪个位置？如左图，由于i2 单元格填入数字1 ，所以第2 列其它单元格不能再填入数字1 ，所以对于d1-f3 九宫格， 数字 1 只能填入d1 单元格、 d3 单元格和e1 单元格；由于h7 单元格填入数字1 ，所以第7 列其它单元格不能再填入数字1 ，由于 a9 单元格填入数字1 ，所以第9 列其它单元格不能再填入数字 1，对于 d7-f9 九宫格，数字1 只能填入 d8 单元格或 e8 单元格。由于 d1-f3九宫格和d7-f9 九宫格的互相影响，所以在这两个九宫格内数字1 分别填入行d 和行 e ，所以对于d4-f6单元格， 数字1 不能填入行 d 和行 e 。由于 g4 单元格填入数字1 ，所以第 4 列其它单元格不能填入数字 1。对于d4-f6 九宫格，数字 1 只能填入 f6 单元格，也就是说 f6 单元格的答案是 1。下面是其它一些使用组合摒除法的例子：矩形摒弃法矩形摒除法的原理类似于组合摒除法，是专门针对某个数字可能填入的位置刚好构成一个矩形的四个顶点时使用的摒除法。如果一个数字在某两行中能填入的位置正好在同样的两列中，则这两列的其他的单元格中将不可能再出现这个数字；如果一个数字在某两列中能填入的位置正好在同样的两行中，则这两行的其他的单元格中将不可能再出现这个数字。如左图， 如何判断数字8 在 g1-i3 九宫格内应该填入哪个位置？由于b2 单元格填入数字 8 ，所以第 2 列其它单元格不能再填入8 ； 由于 e3 单元格填入数字8 ，所以第3 列其它单元格不能再填入8。这样， g1-i3 九宫格内的 g2 单元格、 g3 单元格、 h2 单元格和i3 单元格不能填入数字8。那么如何判断数字8 应该填入 g1 还是 i1 呢？如左图，由于b2 单元格填入数字8 ，所以行b 其它单元格不能再填入数字8；由于 e3 单元格填入数字8，所以行 e 其它单元格不能再填入数字8 ；由于 f4 单元格填入数字8，所以行 f 其它单元格不能再填入数字8。所以，对于第6 列，数字8 只能填入c6 单元格或i6 单元格； 对于第 9 列，数字 8 只能填入c9 单元格或i9 单元格。 由于 c6 单元格和 c9 单元格同处于行c，它们的数字不能相 同； i6 单元格和i9 单元格同处于行c ，它们的数字也不能相同。所以如果第6 列内，数字8 填入c6 ，那么第 9 列内数字8 就应该填入i9 ；如果第 6列内，数字8 填入 i6，那么第9 列内数字8 就应该填入 c9 。无论哪种情况，行c 和行 i 其它单元格都不能再填入数字8 。又由于b2 单元格填入数字 8 ，所以第 2 列其它单元格都不能再填入数字8 ； 由于 e3 单元格填入数字8 ，所以第3 列其它单元格都不能再填入数字8 。所以对于g1-i3 九宫格， 数字 8 只能填入g1 单元格，所以g1 单元格的答案是 8 。如左图， 如何判断g1-i3 九宫格内数字4 的位置？如左图，由于d6 单元格填入数字4 ，所以第6 列其它单元格不能填入6，对于行f，数字 4 只能填入 f1 单元格或f3 单元格。由于 c5 单元格填入数字 4，所以 a4-c6九宫格其它单元格不能填入 数字 4 ；由于 h8 单元格填入数字4 ，第 8 列其它单元格不能再填入数字4 ，对于行 b，数字 4 只能填入 b1 单元格或b3 单元格。于是数字4 在行 b 和行 f 能填入的所在列只能是第以在其他行， 数字 4 不能填入第于 i4 单元格填入数字4，所以行1 列和第 3 列。所1 列和第 3 列。由i 其它单元格都不能再填入数字4；由于 h8 单元格填入数字4 ，所以行 h 其它单元格都不能再填入数字4 。对于g1-i3九宫格，数字4 只能填入g2 单元格，所以g2 单元格的答案是4。下面是应用矩形排除法的其他一些例子，希望可以帮助大家快速掌握这种方法：候选数法使用候选数法解数独题目需先建立候选数列表，根据各种条件，逐步安全的清除每个宫格候选数的不可能取值的候选数，从而达到解题的目的。候选数也叫可能数。由于每行、每列和每个九宫格内填入的数字不能重复，根据这个要求，我们 只要从 1,2,3,4,5,6,7,8,9中去掉某个单元格所在行、所在列和所在九宫格中出现过的数字，就得到了这个单元格对应的候选数列表。使用候选数法一般能解比较复杂的数独题目，但是候选数法的使用没用直观法那么直接，需要先建立一个候选数列表的准备过程所以实际使用时可以先利用直观法进行解题，到无法用直观法解题时再使用候选数方法解题。候选数法解题的过程就是逐渐排除不合适的候选数的过程，所以在进行候选数删除的时候一定要小心，确定安全的删除不合适的候选数。数独直观法解题技巧主要有：唯一候选数法、 隐性唯一候选数法、候选数区块删减法、候选数对删减法、隐性候选数对删减法、三数集删减法、隐性三数集删减法、候选数矩形删减法、三链数删减法、 xy 形态匹配删减法、xyz 形态匹配删减法、wxyz形态匹配删减法。唯一候选数法唯一候选数法是候选数删减法中最简单的一种方法，就是通览所有单元格的候选数列表，如果哪个单元格中只剩下一个候选数，就可应用唯一候选数法，在该单元格中填入这个数字，并在相应行， 列和九宫格的其它单元格候选数列表中删除该数字。如左图， c4 单元格的候选数列表中只有数字4，所以说明只有数字4 才能填入c4 单元格，我们将4 填入c4 ，并且在行c 、第 4 列和 a4-c6 九宫格内其它单元格候选数列表中删除数字 4，结果如下图。如左图，整理候选数列表后， c6 单元格的候选数列表变为只有数字 9 ，于是继续应用唯一候选数法， 将数字 9 填入 c6 ，并在行c、第 6 列和 a4-c6九宫格内其它单元格候 选数列表中删除数字9 。后面以此类推，继续应用唯一候选数法，直到所有单元格的候选数列表都含有两个以上数字为止。隐性唯一候选数法顾名思义，隐式唯一候选数法也是唯一候选数法的一种，但它不如显式唯一候选数法那样显而易见。由于 1-9 这 9 个数字要在每行、每列和每个九宫格内至少出现一次，所以如果某个数字在某行、某列或是某个九宫格内所有单元格的候选数列表中只出现一次，那么这个数字就应该填入它出现的那个单元格内，并且从该格所在行、所在列和所在九宫格内其它单元格的候选数列表中删除该数字。如左图， 考察第 3 列，四个空白单元格的候选数列表分别为6,7,0,7,1,7,9,1,7,9，其中 6 只在 a3 单元格的候选数列表中出现， 所以将 6 填入 a3 单元格， 并且从行a、第 3 列和 a1-c3 九宫格内其它单元格的候选数列表中删除数字6。又如 g7-i9九宫格中，数字9 仅在 i8 单元格中出现。所以将9 填入 i8 单元格，并且将9 从行 i、第 8 列和 g7-i9九宫格中其它单元格的候选数列表中删去。候选数区块删减法候选数区块删减法也是比较常用的方法，它的目的是尽量删减候选数，而不一定要生成某一单元格的唯一解（当然，产生唯一解更好）。候选数区块删减法是利用九宫格中的候选数和行或列上的候选数之间的交互影响而实现的一种删减方法。在某一九宫格中，当所有可能出现某个数字的单元格都位于同一行时，就可以把这个数字从该行的其他单元格的候选数中删除；在某一九宫格中，当所有可能出现某个数字的单元格都位于同一列时，就可以把这个数字从该列的其他单元格的候选数中删除；在某一行（列）中，当所有可能出现某个数字的单元格都位于同一九宫格中时，就可以把这个数字从该九宫格的其他单元格的候选数中删除。如左图，考察d4-f6九宫格，数字 4 只在第 5 列三个单元格的候选数列表中出现，所以在d4-f6九宫格中数字 4 就必然会填入第5 列的某个单元格内，这样，第5 列的其它单元格就不能再填入数字4 ，所以将第5 列其它单元格的候选数列表中删除数字4。所以 a5 单元格的候选数列表变成1,3,5,6,7 ， b5 单元格的候选数列表变成 3 ，c5 单元格的候选数列表变成5,6,7 。再考察 a7-c9 九宫格，数字4 只在行 a 三个单元格的候选数列表中出现，应用候选数区块删减法，可以将行a 的其它单元格的候选数列表中的数字4 删去。于是a1 单元格的候选数列表变成3,5,7,9 ，a2 单元格的候选数列表变成3,5,7 ，a3 单元格的候选数列表变成5,9 ， a5 单元格的候选如左图，考察行e ，数字 4 只在d4-f6九宫格的几个单元格候选数列表中出现， 应用候选数区块删减法，可以将 d4-f6 九宫格内其它单元格的候选数列表中的数字4 删去。所以 d7 单元格的候选数列表变成3,7,8 ， d8 单元格的候选数列表变成7,8 。数列表变成 1,3,5,6,7,9，a6 单元格的候选数列表变成5,7,8 。再考察第4 列，数字 2 只在 g4-i6三个单元格的候选数列表中出现，应用候选数区块删减法，可以将g4-i6 的其它单元格的候选数列表中的数字2 删去。于是h5 单元格的候选数列表变成3,5 。候选数对删减法候选数对删减法依据的原理是数字1-9 在同一行、同一列和同一九宫格内不能出现2 次或 2 次以上。这样，如果在同一行、同一列和同一九宫格内两个单元格的候选数列表都是a,b ，那么如果其中一个单元格填入的数字为a，另一个单元格填入的数字就应该是b；反之，如果其中一个单元格填入的数字为b，另一个单元格填入的数字就应该是a。也就是说， a,b 两个数字就应该分别填入这两个单元格，所以该行、该列或是该九宫格内其它单元格就不应该再填入数字a 和 b 。所以候选数对删减法就是：在一个行、列或九宫格中，如果有两个单元格都包含且只包含相同的两个候选数，则这两个候选数字应该从该行、该列列或该九宫格的其他单元格的候选数列表中删去。再考察 d1 单元格和h1 单元格，它们的候选数列表均为6,7 。由于它们都位于第1 列，所以可以从第1 列其它单元格的候选数列表中将数字6 和数字 7 删去。这样e1 单元格的候选数列表变为1, 8, 9 ，f1 单元格的候选数列表变为1, 4, 8, 9 ， g1 单元格的候选数列表变为3, 8 ， i1 单元格的候选数列表变为3, 8 。如左图，考察f4 单元格和f6 单元格，候选数列表均为7, 9 。由于 f4 ， f6 单元格都处于d4-f6九宫格中， 所以可以从d4-f6 九宫格其它单元格的候选数列表中将数字7 和数字 9 删去， 所以 f5 单元格的候选数列表为2 。又因为于 f4,f6 单元格都处于行f，所以可以从行 f 其它单元格的候选数列表中将数字 7 和数字 9 删去。所以 f1 单元格的候选数列表变为 1, 4,6, 8 ，f2 单元格的候选数列表变为1,2, 8 ， f5 单元格的候选数列表变为2， f7 单元格的候选数列表变为3, 8 ，f8 单元格的候选数列表变为1, 6,8 ，f9 单元格的候选数列表变为1, 3,6, 8 。隐性候选数对删减法隐性候选数对删减法依据的原理是数字1-9 在同一行、同一列和同一九宫格内至少要出现一次。这样，如果某两个数字a 和 b 在同一行、 同一列和同一九宫格内只在两个单元格的候选数列表中出现，那么该行、该列或是该九宫格内其它单元格就不应该再填入数字a 和 b，所以 a 和 b 只能在这两个单元格中出现，所以这两个单元格的候选数列表就都应该是a,b ，可以将其他的数字从这两个单元格的候选数列表中删去。所以隐性候选数对删减法就是：在同一行，列或区块中，如果一个数对（两个数字）正好只出现且都出现在两个单元格中，则这两个单元格的候选数中的其他数字可以被删除。如左图，考察行a ，由于数字3 和6 只在单元格a4 和 a8 中出现， 也就是说这两个数字都不可能在行a 其它单元格中出现， 所以 a4 单元格和a8 单元格的候选数列表就都是3,6 ，可以将数字9 从 a4 单元格和 a8 单元格的候选数列表中删去。如左图，考察第1 列，由于数字2 和 9 只在单元格g1 和 i1 中出现，应用隐性候选数对删减法，g1 单元格和i1 单元格的候选数列表就都是2,9 ，可以将其它数字从 g1 单元格和 i1 单元格的候选数列表中删去。如左图， 考察 d4-f6九宫格， 由于数字 2 和 8 只在单元格f4 和 d6 中 出现，应用隐性候选数对删减法，f4 单元格和 d6 单元格的候选数列表就都是2,8 ，可以将其它数字从f4 单元格和d6 单元格的候选数列表中删去。三数集删减法三数集删减法的原理类似于候选数对删减法。候选数对删减法要求同样的2 个数字都出现在某行、列或九宫格的2 个单元格中，且这2 个单元格的候选数不能包含其他的数字。同样，三数集删减法要求的是 3 个数字要出现在3 个位于同一行、列或九宫格的单元格中，且这3 个单元格的候选数中不能包含其他数字。但不同的是，三数集删减法不要求每个单元格中都要包含这3 个数字。例如，对于数字集 2,4,5 ，如果在某行，列或区块中有3 个单元格的候选数分别为下面几种情况时，都可应用三数集删减法：2, 4, 5 、2, 4, 5 、2, 4, 5 ；2, 4 、4, 5 、2, 5 ；2, 4, 5 、2, 5 、4, 5 ；2, 4, 5 、4, 5 、2, 4, 5 ；也就是说，要形成三数集，则必须要有3 个在同一行、列或九宫格中的单元格，每个单元格中至少要有 2 个候选数，且它们的所有候选数字也正好都是一个三数集的子集。这个三数集中的3 个数字只能填入这3 个单元格中，所以该行、列或九宫格中其他的单元格中不可能再填入这3 个数字。但要注意的是，2, 4, 5 、2, 4 、2, 4 这种情况不是三数集。其中2, 4 和2, 4 可应用候选数对删减法，所以第一个候选数列表2, 4, 5 将只能剩下候选数，这时就可应用唯一候选数法了。如左图， 考察行 d，由于单元格d1 、d7 和 d8 的候选数列表都是3,5,9 ，它们构成三数集 3,5,9 。所以数字3、5 和9 只能填入单元格d1 、d7 和 d8 ，这样， 行 d 其它单元格就不能再填入数字3 、 5 和 9。所以单元格d4 和 d6 的候选数列表均变为 1,7 。如左图，考察第2 列，由于单元格g2 、h2 和 i2 的候选数列表分别为2,6 、2,5 、2,5,6 ，它们构成三数集2,5,6 。所以数字2、5 和 6 只能填入单元格g2 、h2 和 i2 ，这样，第2 列其它单元格就不能再填入数字2、5 和 6 。所以单元格a2 的候选数列表变为3，单元格b2的候选数列表变为3,7,8 ，e2 的候选数列表均变为 7,8 。又因为单元格g2 、h2 和 i2 都处于g1-i3 九宫格。所以g1-i3 九宫格其它单元格就不能再填入数字2、5 和 6。所以单元格g1 和 h1 的候选数列表变为1,9 。如左图， 考察 d7-f9九宫格， 由于单元格 d8 、d9 和 e9 的候选数列表分别为 4,9 、4,8,9 、8,9 ，它们构成三数集 4,8,9 。所以数字4、8 和 9 只能填入单元格d8 、d9 和 e9 ，这样，d7-f9 其它单元格就不能再填入数字4 、8 和9 。所以单元格e7 和 e8 的候选数列表变为 3,5 。根据候选数对删减法和三数集删减法的推断，我们还可以使用四数集删减法、五数集删减法但是后面的几个删减法相对比较少见。隐性三数集删减法隐性三数集删减法相对于三数集删减法就类似于隐形候选数对删减法相对于候选数对删减法。当某个 3 个数字只出现在某行、列或九宫格的3 个单元格中，且每个单元格中至少包含有其中的2 个数字时，则可以把其他数字从这3 个单元格的候选数中删除。如左图，考察行 h ，由于数字 5 、8 和 9 只出现在单元格 h1 、h3 和 h5 的候选数列表中，它们构成隐性三数集，可以应用隐性三数集删减法。所以可以 删去单元格h1 、 h3 和 h5 的候选数列表中除数字5 、8 和 9 以外的数字。所以单元格h1 的候选数列表变为5,9 ， 单元格 h3 的候选数列表变为8,9 ，单元格 h5 的候选数列表变为5,8 。根据隐性候选数对删减法和隐性三数集删减法的推断，我们还可以使用隐性四数集删减法、隐性五数集删减法但是后面的几个删减法相对比较少见。候选数矩形删减法候选数矩形删减法类似于直观法中的矩形摒除法。如果一个数字正好出现且只出现在某两行的相同的两列上，则这个数字就可以从这两列上其他的单元格的候选数中删除；如果一个数字正好出现且只出现在某两列的相同的两行上，单元格的候选数中删除。则这个数字就可以从这两行上的其他如左图，考察行b 和行 g，数字 7只出现在单元格b2 、b7 、g2 和 g7 的候选数列表中，也就是说只出现在第2列和第 7 列。这样，如果数字7 在行 b填入 b2 ，则它在行g 填入 g7 ；反之如果数字 7 在行 b 填入 b7 ，则它在行g填入 g2 。无论是那种情况，数字7 一定会填入第2 列和第 7 列，所以这两列其它单元格的候选数列表中不应该出现7 。所以可以把数字7 从第 2 列和第 7列其它单元格的候选数列表中删去。如左图，考察第1 列和第 7 列，数字 9 只出现在行c 和行 g。这样， 可以应用候选数矩形删减法，把数字9 从行c 和行 g 其它单元格的候选数列表中删去。三链数删减法三链数删减法类似于矩形删减法，是矩形删减法的推广。三链数删减法指的是如果某个数字在某三列中只出现在相同的三行中，则这个数字将从这三行上其他的候选数中删除；或者如果某个数字在某三行中只出现在相同的三列中，则这个数字也将从这三列上其他的候选数中删除。下面我们看几个例子：如左图， 考察第 1 列、 第 4 列和第 5 列。我们发现数字9 只在单元格a1 、e1 、e4 、a5 和 i5 的候选数列表中出现，也就是说数字9 在第 1 列、第 4 列和第 5 列中仅在行a、行 e 和行 i 三行中出现。这样数字 9 就可以从这三行其它单元格的候选数列表中删去，所以单元格a6 的候选数列表变为 2, 5, 8 ，单元格 e2 的候选数列表变为 5, 8 。如左图， 考察行 c、行 f 和行 h 。数字 6 只出现在第5 列、第 7 列和第 8 列， 可以应用三链数删减法。所以可以把数字 6 从第 5 列、第 7 列和第 8 列其它单元格的候选数列表中删去。所以单元格g7 的候选数列表变为1, 8, 9 ，单元格 i7 的候选数列表变为 1, 2, 8, 9 ，单元格g8 的候选数列表变为1, 9 。xy 形态匹配删减法xy 形态匹配删减法是一个高级的数独技巧，但是应用的机会也比较多。如左图，四个相邻的 (也可不相邻)九宫格。 xy, xz 和 yz 分别表示只有两个候选数的单元格，但它们的候选数部分重叠。 可见， 不管 xy 取何值，星号所示的位置不可能是 z 值。因为：如果 xy 取 x 值，则与其同行的 xz 只能取 z 值，这样星号所示单元格就不能为 z 值；如果 xy 取 y 值，则与其同列的 yz 只能取 z 值，而星号所示的如左图， xy 和 yz 同在一个九宫格但不同行中，而 xz 和 xy 在同一行，但在不同九宫格中。 这样，所有打星号的单元格中不 能是 z 值。因为：如果 xy x，则 xz z。那么 xz 所在的行和九宫格中就不能再出现z；如果 xy y，则 yz z。那么 yz 所在的行和九宫格中就不能再出现z。如左图，xy 和 yz 在同一九宫格但不同列中，而xy 和xz 在同一列的不同九宫格中。这样，所有打星号的单元格中 不能是 z 值。因为：如果 xy x ，则 xz z。那么 xz 所在的列和九宫格中就不能再出现z；如果 xy y ，则 yz z。那么 yz 所在的列和九宫格中就不能再出现z。单元格同样不能是z 值。于是，就可以把z 值从星号所示的单元格中去除。下面我们看几个例子：如左图， 考察单元格f3 、f6 、i3 和 i6 ， 其中 f3 单元格的候选数列表为3,9 ，f6单元格的候选数列表为3,5 ， i3 单元格的候选数列表为5,9 ，恰好符合xy 形态匹配删减法的第一种情况， 其中 x=3 ，y=9 ，z=5 。这样，数字5 就不能出现在i6 单元格内， 所以 i6 的候选数列表变为9 ，也就是说单元格 i6 的答案为9。如左图，考察单元格d2 、 d7 和 e8 ， 其中 d7 单元格的候选数列表为4,9 ， e8 单元格的候选数列表为7,9 ，d2 单元格的候选数列表为4,7 ，恰好符合xy 形态匹配删减法的第二种情况， 其中 x=9 ，y=4 ，z=7 。这样，数字7 就不能出现在d8 、e1 和 e2 单元格内，所以d8 的候选数列表变为5,9 ， e1 的候选数列表变为6,9 ，e2 的候选数列表变为6 。如左图，考察单元格b8 、 i8 和 g9 ， 其中 i8 单元格的候选数列表为2,3 ，g9 单元格的候选数列表为2,6 ， b8 单元格的候选数列表为3,6 ，恰好符合xy 形态匹配删减法的第三种情况， 其中 x=2 ，y=3 ，z=6 。这样，数字6 就不能出现在h8 、a9 、b9 和 c9 单元格内，所以h8 的候选数列表变为8 ， a9 的候选数列表变为2,4,7 ，b9的候选数列表变为4,7 ，c9 的候选数列表变为 2,7 。xyz 形态匹配删减法xyz 形态匹配删减法类似于xy 形态匹配删减法，不同的是这次有一个单元格的候选数列表含有三个数字。如左图， xyz 和 yz 同在一个九宫格但不同行中，而xz 和 xyz 在同一行， 但在不同九宫格中。这样， 所有打星号的单元格中不能是z 值。因为：如果 xyz x，则 xz z。那么 xz 所在行就不能再出现z； 如果 xyz y，则 y