中考二次函数面积最值问题(含答案)

.二次函数最值问题2例 1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x( 单位： cm)的边与这条边上的高之和为 40 cm，这个三角形的面积 s( 单位： cm) 随 x( 单位： cm)的变化而变化(1) 请直接写出 s与 x 之间的函数关系式 ( 不要求写出自变量 x 的取值范围 ) ；(2) 当 x 是多少时，这个三角形面积 s最大?最大面积是多少 ?21 世纪教育网;.解：（ 1） s1 x 2220 x（ 2） a=- 120s有最大值 xb2a20202 （1）2 s的最大值为 s1202220202002当 x 为 20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm。2. 如图，矩形 abcd的两边长 ab=18cm，ad=4cm，点 p、q分别从 a、b 同时出发， p 在边 ab上沿 ab方向以每秒 2cm的速度匀速运动， q在边 bc上沿 bc方向以每秒 1cm的速度匀速运动设运动时间为x 秒， pbq的面积为 y（cm2） .（1） 求 y 关于 x 的函数关系式， 并写出 x 的取值范围；（2） 求 pbq的面积的最大值 .解：（ 1） s pbq= 12pb bq,pb=abap=182x， bq=x，y= 1 （182x） x，即 y=x2+9x（0x4）;22（ 2）由（ 1）知： y=x +9x，y=(x 9 ）22 + 81 , 当 0x 942时， y 随 x 的增大而增大，2而 0x4，当 x=4 时， y 最大值=20，即 pbq的最大面积是 20cm.3. 如图，在矩形abcd中， ab=6cm，bc=12cm，点 p从点 a出发，沿 ab边向点 b以21cm/s 的速度移动，同时点q从点 b 出发沿 bc边向点 c以 2cm/s 的速度移动，如果 p，q两点同时出发，分别到达b，c两点后就停止移动（1） ）设运动开始后第t 秒钟后，五边形apqcd的面积为 scm，写出 s与 t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围（ 2） t 为何值时， s最小？最小值是多少？解：（ 1）第 t 秒钟时， ap=tcm，故 pb=（ 6 t ）cm，bq=2tcm，故 spbq=?（ 6 t ）?2t= t 2+6t222s矩形 abcd=612=72 s=72 spbq=t 6t+72 （ 0 t 6）；（2） ） s=t6t+72= （ t 3）+63，当 t=3 秒时， s 有最小值 63cm24. 在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m）的空地上修建一个矩形花园 abcd，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m的栅栏围成如图，若设花园的 bc边长为 x（m）花园的面积为 y（m）（1） ）求 y 与 x 之间的函数关系式，并求自变量的 x 的范围（2） ）当 x 取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？解：（1）四边形 abcd是矩形，ab=cd， ad=bc，bc=xm， ab+bc+cd=4，0m ab=，2花园的面积为： y=x?= x +20x（ 0x15）；2y与 x 之间的函数关系式为： y= x +20x（ 0x15）；22（ 2） y=x +20x= （x20） +200，a= 0，当 x20 时， y 随 x 的增大而增大，当 x=15 时， y 最大，最大值 y=187.5 当 x 取 15 时花园的面积最大，最大面积为 187.5 5. 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形abcd（e 如图），其中 af=2，bf=1试在 ab上求一点 p，使矩形 pndm有最大面积解： 设矩形 pndm的边 dn=x，np=y，则矩形 pndm的面积 s=xy（2x4）易知 cn=4-x，em=4-y过点 b作 bhpn于点 h则有 afb bhp afbf ybh，即 2ph11 x5 ，24x ，y3sxy1 x 225 x ( 2x4) ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，当 x5时，函数值 y 随 x 的增大而增大，对于 2x4 来说，当 x=4 时，s最大14225412 6. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米(1) 要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2) 如果中间有 n( n 是大于 1 的整数) 道篱笆隔墙， 要使鸡场面积最大， 鸡场的长应为多少米？比较 (1)(2)的结果，你能得到什么结论？解： (1) 长为 x 米，则宽为50x 米，设面积为 s平方米3sx50x 31 ( x 2350 x)1 ( x325) 26253当 x25 时，smax625 ( 平方米)即：鸡场的长度为25 米时，面积最大3(2)中间有 n 道篱笆，则宽为 50nx 米，设面积为 s平方米2则： s50xxn21( x2n250 x)1( x25) 2625n2n2当 x25 时， smax625( 平方米)n2由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25 米 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关7. 如图，矩形 abcd的边 ab=6cm，bc=8cm，在 bc上取一点 p，在 cd边上取一点 q，使 apq成直角，设 bp=x cm，cq=y cm，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式a dqb pc解： apq=90, apb+qpc=90. apb+bap=90, qpc= bap， b= c=90 abp pcq.abbp ,6pccq8xx , y y1 x264 x 38. 小李想用篱笆围成一个周长为60 米的矩形场地，矩形面积s(单位：平方米 ) 随矩形一边长 x( 单位：米 ) 的变化而变化（1） 求 s与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2） 当 x 是多少时，矩形场地面积s 最大？最大面积是多少？解：（ 1）根据题意，得 s自变量的取值范围是602 xx 2x 230x（2） a10 ， s 有最大值当时，答：当为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225 平方米9. 较难如图， a、b 两点的坐标分别是（ 8， 0）、（0，6），点 p 由点 b 出发沿 ba方向向点 a 作匀速直线运动，速度为每秒3 个单位长度，点q由 a出发沿 ao（ o为坐标原点）方向向点 o作匀速直线运动，速度为每秒2 个单位长度，连接pq，若设运动时间为t （0t ）秒解答如下问题：（1） ）当 t 为何值时， pqbo？（2） ）设 aqp的面积为 s，求 s与 t 之间的函数关系式，并求出s的最大值；解：（ 1） a、b 两点的坐标分别是（ 8， 0）、（0， 6），则 ob=6，oa=8，ab=10如图，当 pqbo时， aq=2t， bp=3t，则 ap=103t pqbo，即，解得 t=，当 t=秒时， pqbo（ 2）由（ 1）知：