初中数学竞赛辅导资料

.;.一、 内容提要初中数学竞赛专题选讲识图1. 几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。2. 几何图形就是点，线，面， 体的集合。 点是组成几何图形的基本元素。平面几何学只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。3. 几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像点：只表示位置，没有大小，不可再分。线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面” 。4. 因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。二、例 题例 1.数一数甲图中有几个角 （小于平角） ？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ea甲ad乙d丙c丁oocdbabbec解：甲图中有10 个角： aob,aoc, boc, bod, cod, coe, doe, doa, eoa, eob. 如果 oa 和 oc 成一直线， 则少一个 aoc ， 余类推。乙图中有 5 个等腰三角形： abc ， abd ，bdc ， bde ， dec丙图中有全等三角形4 对： (设 ac 和 db 相交于 o) aob cod ， aod boc ， abc cda ， bcd dab 。丁图中共有等边三角形48 个：边长 1 个单位：顶点在上的个数有1 2 34 5 15顶点在下的个数有1 2 34 10边长 2 个单位：顶点在上的个数有1 2 34 10顶点在下的个数有1 2 3边长 3 个单位：顶点在上的个数有1 2 36边长 4 个单位：顶点在上的个数有1 2 3边长 5 个单位：顶点在上的个数有1以上要注意数一数的规律例 2.设平面内有6 个点 a 1， a 2， a 3， a 4， a 5， a6 ，其中任意3 个点都不在同一直线上， 如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出 现有 4 个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。（ 1989 年全国初中数学联赛题）解：从点a 1 与其他 5 点连线有5 条，从点a 2 与其他 4 点（ a 1 除外）连线有 4 条，从 a 3 与其他 3 点连线有3 条（ a 1，a 2 除外）以此类推，6 个点两两连线共有线段1 23 4 5 15（条），或用每点都与其他5 点连线共 5 6 再除以 2（因重复计算） 。要使图形不出现有4 个点的两两连线，那么每点只能与其他4 个点连线， 共有（ 64） 212（条）如下图：其中有3 对点不连线：a1 a 4， a 2a 5，a 3a 6a 5a 4a6a 3a 1a 2例 3.如图水平线与铅垂线相交于o，某甲沿水平线， 某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在o 点时，乙离点o 为 500 米， 2 分钟后，甲、乙离点o 相等； 又过 8 分钟，甲、乙再次离点o 相等。求甲和乙的速度比。解： 如图设甲0，乙 0 为开始位置， 甲 1， 乙 1 为前进 2 分钟后位置，甲2， 乙 2乙 2为再前进8 分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y米，根据题意得2x 10x50010 y2 y500甲o甲 1甲 2解得 12x=8y乙 1 xy=2 3乙 0答甲和乙的速度比是2 比 3 。例 4.在三角形内（不在边上）有3 个点，连同原三角形三个顶点，共6 个点，以这6 个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？（ 1989 年全国初中数学联赛题）解：如图 abc 中一个点 d ，与 a ，b，c 各点连结可得3 个不重迭的三角形；再增加 1 个点 e，这时可连结不重迭的三角形共5 个，再增加 1 个点 f， 又可增加2 个不重迭的三角形，共有7 个。一般规律是每增加1 个点，可增加不重迭的三角形2 个aaafdeebcddbcbc三、练习1. 数一数：甲图中有直角三角形个，乙图中有等腰直角三角个， 丙图中有全等三角形对。addcaedcebab甲乙b丙c2. 平面上有5 个点 a， b， c， d ， e，其中 a ，b ， c 三点在同一直线上， 那么以这5 个点为端点的线段共有条，记作 3. 以 o 为端点画6 条射线 oa ，ob，oc ，od ，oe,of,那么可组成的角 （小于平角）最多是个，最少是个，试分别画出草图。4. 在三角形内有n 个点（ n 为整数） 与原三角形3 个顶点共n 3 个点， 以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有个。5. 下图中三角形个其中等腰三角形个，直角三角形个，全等的等腰三角形组，每组个， 全等的直角三角形组，每组个。6. 如图长方形 abcd 中， e， f， g 分别在边bc ， cd ， da 上，以 a 为一个顶点，其他两点在 b ，c， d， e， f， g 中任选，总共可组成的a gd fb ec三角形的个数是（ 1987 年泉州市初二数学双基赛题）7. 平面上有 6 个点 a ， b， c， d， e， f 其中任意 3 个点都不在同一直线上， 如果不使图形出现有 3 个点两两连线， 那么最多可连接线段几条？ 试画出草图 .8. ce如图 oc ab 于 o， od oe 于 o，写出图中相等的角：互余的角： d32a41bo互补的角： 9.dgc如图长方形abcd 中， ab 5， bc 4，ae bf 1， cg dh 2hf 那么四边形 efgh 的面积是 （平方单位）a eb10. 如图 a ，b ，c， d 四点在同一直线上，到a ，b ，c， d 各点距离之和为最小值的点在什么位置？有几个符合条件的点？距离之和的最小值可用哪些线段的长度来表示？（ 1987 年全国初中数学联赛题 ）abcd11. 正方形的边长为a ，以四条边长为直径，向形内作4 个半圆，求这四个半圆相交所成的菊花形面积。12. 下列四图，都是由全等正方形组成的图形，其中哪一个能围成正方体？ 答 ：（ ）（ a ）(b)(c)(d)13. 甲，乙两人沿着圆周同时匀速前进，开始他们位于一条直径的两端，相向而行，第一次相遇时，乙走了 100 米，第二次相遇时，甲还差 60 米走完一圈。求这个圆的周长。提示：可设 圆周长为 x 米，并引入参数 v 甲， v 乙 列方程组解之14. 正方形 abcd 边长为 a，在点 a 处有个质点 p， 在点 b 处有个质点 q， 两个质点同时依反时针方向， 沿正方形的边线作匀速的运动， 过 4 秒钟， p 在 c 处追上 q。那么b p a再过秒钟，p 在处第二次追上qp出发 6 秒钟时， p， q 这间相距aqcd15. 有长 3cm，宽 2cm 的长方形纸片1991 张，将它们按照下图所示的方法， 摆在平面上，那么这1991 张纸片覆盖的面积是（）（ 1991 年泉州市初二数学双基赛题）（ a ）3982（b ） 3986（ c） 3990（ d ）399916. 一条线段（与圆相交）可把一个圆分成两部分，问四条线段最多可把圆分成部分。 （ 1991 年泉州市初二数学双基赛题）17. 把一个矩形分成6 个正方形（如图） ，其中最小的一个面积是1（单位平