数列的极限经典习题

chap1数列的极限-可编辑修改 -1. 设 xn0 n1,2,及 lim xnna ,用n 语言 , 证明 :limxna .n证xn0 ,a0.(1) 当a0 时, 那么 lim xnn0 , 下证 limxn0 .2n0 , 则存在 n0 , 当 nn 时,0xnxn0.xn, 此即xn0.limxn0 .n(2) 当a0 时,0 , 存在 n0 , 当 nn 时,xnaa.xnaxnaxna.xnaalimxna .n综上两方面,即证.2. 已知 lim2nxna , 用n 语言 , 证明:xlim 3n n3 a .证(1)当a0时, 那么 lim xnn0 ,0 , 存在 n0 , 当 nn 时,xn;3 xn, 此即limn3 xn03 a .(2)当a0 时, 因为222132323 x3 x3 a3 a3 x3 a3 a3 a0 .nnn244令 m33 242n,lim xna, 则对0 ,存在 n0, 当 nn 时,有xnam.x3 axna而 3n223 x3 x 3 a3 annxna1mmmlimn3 xn3 a .3. (算术平均收敛公式)设 limnxna .令nx1x2nxnn, 求证 : lima .n证法 1由施笃兹公式limlim x1x2xnnnnnx1x 2l i mnxnx 1x2nn1xn1l i mxna .n证法 2由 lim xnna, 则0 , 存在n10 , 使当nn1 时, 有xna.2x1x2xna1xaxaxaxann1n1n1 1n1令 cx1a1x na , 那么x1x2xnacnn1.nnn2存在 n 20 , 使当cnn 2 时, 有.n2再令 nmaxn1 , n2, 故当 nn 时, 由 , 有x1x2nlimnxnax1x2limnn12nx na .222nnn4. (几何平均收敛公式)设 xn0 n1,2,n. 且 lim xna . 证明 :lim n nx1x2xna .证lim xnna ,limlnxnnln a .再由算术平均收敛公式可知n1 ln xln xnln xlimnn x1 x2xn12lim eneln aa .5. 证明 :lim n an1, 其中 a1.1证令 a n1,则0 , 依伯努利不等式, 有a即要 n an1111a n1n11a n1,1n a n1 ,a1.na1.,na1 .na1,则当只要所以 有取nnn 时, 就有a1n, 即 n a1.6. 证明 : 若 lim anna , 则 limanna . 当且仅当 a 为何值时逆命题也成立.n证由题设lim ana , 知0 ,n0 , 当 nn 时, 皆有ana.从而当 nn 时总有anaana,所以lim ana .n当且仅当 a0 时,逆命题也成立.7. 设 ar, 且 a1 ,用n 语言 , 证明:limn0 .nan证当 n2 时, 有nnn2an1a1nn n1a1 22n1a2 (由二项展开式得)12要使2,n1a1只需n221 .a1即若取n2, 则当 nn 时, 就有22a1nnann2,21a1所以 limnnann0 . 数列an, a1 , ar是无穷小序列.8. 利用单调有界性证明: 设 x 1a10 ,y 1b0 , 且 xn 1xn yn ,yn 1xnyn. n1,2,.则 lim xnlimyn .2证xn0 ,ynnn0 是显然的 .由yxnynx yx,n 1nnn 12得xn 1xn ynxn xnxn,yn 1xnynynynyn .知xn单调增加,22yn单调减少, 又xnyny1 ,ynxnx1 ,所以xn,yn有界 . 即 lim xnna, lim ynnb 存在 .对 yn 1xnyn 2两边取极限 ,得b1abab .29. 证明 : 数列n11单调增加, 数列nn 111单调减少,两者收敛于同一极限.n证记xnn11, ynnn 111,由平均值不等式nn a aa1aaa,1 2n12nnnn 1知xn111n 11 n1xn 1 ,nn1n1nn111n2yn1n 1n 21n1,ynn1即xn单调增加,yn单调减少 , 且1x1xnyny14 .所以xn,yn单调有界 ,必定收敛 .由 ynxn11,知它们有相同的极限.即nnn 1lim11nnlim11e .nn10. 证明 : 若 a111ln n . 则数列an收敛 .2nnn 111证由上例知1e1, 两边取对数得,nnn ln111n1 ln11,nn即有不等式1ln111 .n1nn1则an 1anlnnn11ln n1ln110,n1n11an1ln n2nln 2 +ln 3ln n1ln n12nlnn1ln n0即an单调减少有下界, 所以an收敛 .11. 设数列xn满足 :x01 ,xn 12xn ,n1,2,3. 证明 : 数列xn收敛, 并求limnxn .1证x01 , x1222 , x22 x1324 .用数学归纳法可证2n 11nxn2 21n22 ,n0,1, 2n 1n21212n 12n.由 式知xn 1xnn0,1即xn单调递增 .再由 式知 1xn2 ,xn收敛 .设 lim xnna , 则 a1.xn 12xn, 两边取极限有:a2a .a 22a, 又a0 .a2 , 即 lim xn2 .n12. 设 a0 ,0xa ,xx2xn,n1,2,3. 证明: 数列x收敛 , 并求1n 1nan其极限 .证先用数学归纳法证明0xna , nn当 n1 时, 结论成立 , 归纳假设结论对n 成立 , 再证 n1时, 因为xx2xn1xa 2a ,n 1nnaa0xn 1a .即 式成立 .xn 12xn2a1 .xnaaxn单调递增 , 且