2018-2019学年信阳市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年河南省信阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1已知集合P（x，y）|x+y20，Q（x，y）|x2+y29，则PQ的子集个数为（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】判断直线与圆的位置关系，由此确定元素的个数，进而确定的子集的个数.【详解】圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离，所以直线和圆相交，所以有两个元素，故子集的个数为个.故选：D【点睛】本小题主要考查子集个数的求法，考查直线和圆的位置关系，属于基础题.2在直角坐标系中，过点A（3，0），B（0，）的直线的倾斜角为（ ）A30B60C120D150【答案】A【解析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角.【详解】直线的斜率为，故直线的倾斜角为.故选：A【点睛】本小题主要考查过两点直线的斜率、倾斜角的求法，属于基础题.3下列各组函数中，f（x）与g（x）相等的是（ ）Af（x）x与g（x）（）2Bf（x）|x|与g（x）Cf（x）2log3x与 g（x）log3x2Df（x）与g（x）x+1（x1）【答案】D【解析】对四个选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系等，由此判断出相等的函数.【详解】对于A选项，的定义域为，的定义域为，故两个函数不相等.对于B选项，的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，故两个函数不相等.对于C选项，的定义域为，的定义域为，故两个函数不相等.对于D选项，的定义域为，的定义域为，并且，故两个函数相等.故选：D【点睛】本小题主要考查两个函数相等的概念，考查函数的定义域、值域和对应关系等知识，属于基础题.4已知函数f（x）2x+x9，则下列区间中包含f（x）零点的区间为（ ）A（，1）B（1，2）C（2，3）D（3，+）【答案】C【解析】利用零点存在性定理，判断出零点所在区间.【详解】为增函数，且，根据零点存在性定理得唯一零点所在区间为.故选：C【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的运用，属于基础题.5给出下列四个说法，其中正确说法的序号为（ ）平行于同一直线的两平面平行；平行于同一平面的两平面平行；垂直于同一直线的两平面平行；垂直于同一平面的两平面平行ABCD【答案】B【解析】根据面面平行的有关定理对四个说法逐一分析，由此确定正确说法的序号.【详解】对于，平行于同一直线的两平面可能相交，故错误.对于，平行于同一平面的两平面平行，说法正确，故正确.对于，垂直于同一直线的两平面平行，说法正确，故正确.对于，垂直于同一平面的两平面可能相交，故错误.综上所述，正确说法的序号是.故选：B【点睛】本小题主要考查两个平面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.6经过圆C：（x+1）2+（y2）24的圆心且与直线x+y10垂直的直线方程为（ ）Axy+30Bxy30Cx+y10Dx+y+30【答案】A【解析】求得圆心坐标以及所求直线的斜率，由此求得所求直线方程.【详解】圆的圆心为.直线的斜率为，故所求直线的斜率为，由点斜式得，即.故选：A【点睛】本小题主要考查圆的几何性质，考查两条直线垂直时斜率的关系，考查直线方程，属于基础题.7已知a0，且a1，函数f（x），满足对任意实数x1x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）A（0，1）B（1，+）C（，3D（1，3【答案】D【解析】根据已知条件判断出的单调性，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】由于，所以在上递增.所以，解得.故选：D【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查指数函数、一次函数的单调性，属于基础题.8如图，网格纸上小正方形的边长为a，粗实线画出的是某多面体的三视图，此几何体的表面积为24+8（），则实数a的值为（ ）A2B4C2D6【答案】A【解析】根据三视图还原原图，根据几何体的表面积列方程，解方程求得的值.【详解】由三视图可知，该几何体的原图为四棱锥，如下图.所以几何体的表面积为，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查四棱锥表面积的计算，属于基础题.9过点P（5，3）作圆O：（x2）2+（y1）225的切线l，直线m：3xay20与直线l平行，则直线l与m的距离为（ ）A1B2C5D【答案】C【解析】判断在圆上，求得的的斜率，进而求得过点的圆的切线的斜率，由此求得的值，求得直线的方程，进而求得两平行线间的距离公式.【详解】由于点坐标满足圆的方程，所以点在圆上.而，所以直线的斜率为，所以直线的斜率为，则.所以直线，而直线的方程为，即.所以直线的距离为.故选：C【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，考查圆的切线方程的求法，考查两条平行直线间的距离公式，属于中档题.10直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCA2CC1，则BM与AN所成的角为（ ）A30B45C60D90【答案】D【解析】通过证明平面，由此证得，即而求得与所成的角.【详解】由于分别是的中点，所以，所以四点共面.在直三棱柱中，所以平面，所以.设，在三角形中，所以，所以，所以平面，所以，所以与所成的角为.故选：D【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.11如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若处有一棵树与两墙的距离分别是和，不考虑树的粗细现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数（单位）的图像大致是（ ）.ABCD【答案】B【解析】求矩形面积的表达式，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论，判断函数的图象即可【详解】设长为，则长为，又因为要将点围在矩形内，则矩形的面积为，当时，当且仅当时，当时，由函数特征可知B选项正确.故选：B.【点睛】本题考查函数轨迹图象的判断，考查推理论证能力，考查分类与整合思想，属于常考题.12已知函数（且），若函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】关于轴对称函数为，时，与的图象有且仅有一个交点，函数的图象上有且仅有两个点关于轴对称，符合题意，当时，要使与的图象有且仅有一个交点，则，综上所述，的取值范围是,，故选D.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质及数学的转化与划归思想. 属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中. 本题中，将函数对称问题转化为函数交点问题是解题的关键.二、填空题13已知函数f（x），则f（f（8）_【答案】【解析】根据分段函数解析式，求得的值.【详解】依题意.故答案为：【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.14已知点A（3，5）、B（4，7）、C（1，x）三点共线，则实数x的值是_【答案】1【解析】根据列方程，解方程求得的值.【详解】由于三点共线，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查三点共线的知识，考查方程的思想，属于基础题.15已知菱形ABCD的边长为4，且BAD60，将ABD沿BD折起，使A、C两点之间的距离为4，则所得三棱锥的外接球的表面积为_【答案】24【解析】根据已知条件判断三棱锥为正四面体，将其补形为正方体，由此求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】在菱形中，所以三角形和三角形是等边三角形，由于，所以三棱锥为正四面体.将其补形为正方体如下图所示，正四面体的外接球也即正方体的外接球.设正方体的边长为，则，所以正方体的体对角线长，也即外接球的直径为，所以外接球的表面积为.故答案为：【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的求法，考查空间想象能力，属于基础题.16已知函数f（x）x|x|+2x+1，xR，若f（a）+f（a22）2，则实数a的取值范围是_【答案】2a1【解析】构造函数，判断出的奇偶性和单调性，由此化简所求不等式，进而求得实数的取值范围.【详解】令g（x）f（x）1x|x|+2x，显然，函数g（x）为奇函数，且在R上单调递增，f（a）+f（a22）2等价于f（a）11f（a22）f（a22）1，即g（a）g（a22）g（2a2），a2a2，即a2+a20，解得2a1故答案为：【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17已知全集为R，函数f（x）lg（1x）的定义域为集合A，集合Bx|x2x60（）求AB；（）若Cx|m1xm+1，C（A（RB），求实数m的取值范围【答案】（）ABx|x1或x3（）1，0【解析】（I）求函数的定义域求得集合，解一元二次不等式求得集合，由此求得.（II）由（I）求得，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（）由1x0，得f（x）lg（1x）的定义域Ax|x1，集合Bx|x2x60x|x3或x2，ABx|x1或x3（）UBx|2x3，A（UB）x|2x1，Cx|m1xm+1，C（A（RB）x|2x1，解得1m0，实数m的取值范围是1，0【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，考查根据包含关系求参数，考查函数的定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.18已知f（x），g（x）（）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（）探究g（x）的单调性，并证明你的结论【答案】（）奇函数；见解析 （）g（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增见解析【解析】（I）先求得定义域，然后利用证得为奇函数.（II）利用单调性的定义，证得在上递减，在上递增.【详解】（）函数的定义域为R，f（x）是R上的奇函数；（）g（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增，证明如下：设x1x20，则，即g（x1）g（x2），故g（x）在（，0）单调递减，同理可证，g（x）在（0，+）单调递增综上所述，g（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.19（）求过点A（2，6）且在两坐标轴上的截距相等的直线m的方程；（）求过点A（2，6）且被圆C：（x3）2+（y4）24截得的弦长为的直线l的方程【答案】（）3xy0或x+y80；（）x2或3x+4y300【解析】（I）分成直线过原点和不过原点两种情况，求得过且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.（II）先根据弦长求得圆心到直线的距离.分成直线斜率不存在和存在两种情况，求得直线的方程.【详解】（I）当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时，斜率k3，直线l的方程为 y3x；当直线l在两坐标轴上的截距不等于0时，设直线l的方程 ，把点A（2，6）代入求得 a8，故直线l的方程为即 x+y80，故直线l的方程为3xy0或x+y80；（II）圆C：（x3）2+（y4）24的圆心C（3，4），半径R2，直线l被圆C：（x3）2+（y4）24截得的弦长为，故圆心C到直线l的距离d1，当直线l的斜率不存在时，直线x2显然满足题意，当直线l的斜率存在时，可设y6k（x2），即kxy+62k0，则d1，解可得，k，此时直线l：3x+4y300，综上可得直线l的方程x2或3x+4y300【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线距离公式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.20九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵与刍童的组合体中, 台体体积公式：， 其中分别为台体上、下底面面积，为台体高. （1）证明：直线平面； （2）若,，三棱锥的体积，求 该组合体的体积 【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明ADMA，推出MA平面ABCD，得到MABD结合BDAC，证明BD平面MAC（2）设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h，利用几何体的体积公式，转化求解即可试题解析：（1）证明：由题可知是底面为直角三角形的直棱柱， 平面 , 又，,平面， , 又，四边形为正方形， 又,平面，平面.（2）设刍童的高为，则三棱锥体积 ，所以,故该组合体的体积为 .（注：也可将台体补形为锥体后进行计算）21已知圆C的圆心在直线l：2xy0上，且与直线l1：xy+10相切（）若圆C与圆x2+y22x4y760外切，试求圆C的半径；（）满足已知条件的圆显然不只一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由【答案】（）1；（）还存在一条公切线，其方程为7xy+50【解析】（I）设出圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离表示半径，再根据两圆外切的条件列方程，解方程求得圆的半径.（II）将另一条公切线的斜率分成存在和不存在两种情况进行分类讨论，结合圆心到两条公切线的距离相等列方程，由此求得另一条公切线的方程.【详解】（）设圆C的圆心坐标为（a，2a），则半径r，两圆的连心线长为|a1|r，因为两圆外切，所以rr+9，r1；（）如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点（1，2），若斜率不存在，则直线方程为：x1，圆心C到它的距离|a1|r，由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线，若斜率存在，