抛物线的焦点与准线

抛物线的焦点与准线（高中知识有关） 九上 p54 、活动 2 （新书）一、高中知识：文科选修（1-1 ） p53-55 ；理科选修（1-1） p56-59抛物线的几个定义：把平面内与一个定点f 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 .点 f 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.公式：抛物线yax 2bxc的焦点为 (b4acb 2,2a4 a1) ，准线为y4acb 214a二、试题：1、（ 2010黄冈市， 25， 15 分）已知抛物线2yax5bxc(a0) 顶点为c（ 1， 1 ）且过原点 o过抛物线上一点p（ x，y）向直线线，垂足为m，连 fm（如图）（ 1）求字母a， b， c 的值；y作垂4（ 2）在直线x 1 上有一点3f (1,) ，求以 pm 为底边的4等腰三角形pfm 的 p 点的坐标， 并证明此时 pfm 为正三角形；（ 3）对抛物线上任意一点p，是否总存在一点n（ 1，t），使 pm pn 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由2、2012 年山东潍坊市24 (本题满分11 分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于a( 2， 0) 、b(2 ，0) 、c(0 ，1) 三点，过坐标原点0 的直线 y=kx 与抛物线交于m、n 两点分别过点c,d(0 ， 2) 作平行于 x 轴的直线l1、l2 (1) 求抛物线对应二次函数的解析式；(2) 求证以 on 为直径的圆与直线l1 相切；(3) 求线段 mn 的长 (用 k 表示 )，并证明m、n 两点到直线的长3、湖北省黄冈市2011 年中考数学试卷l2 的距离之和等于线段mn24 、如图所示，过点f（ 0 ，1 ）的直线 y=kx+b 与抛物线交于 m（ x1， y 1）和n（ x2， y2）两点（其中x 10 ， x 2 0 ）（ 1）求 b 的值（ 2）求 x 1?x2 的值（ 3）分别过 m，n 作直线 l：y= 1 的垂线，垂足分别是m 1 和 n1判断 m 1fn 1 的形状，并证明你的结论（ 4）对于过点f 的任意直线mn ，是否存在一条定直线m，使 m 与以 mn 为直径的圆相切如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由y4、2010 年南通市中考试题（五中月考）4 3 243211o12341234x（第 28 题）28 （本小题满分14 分） (2010 年南通市 )已知抛物线yax2 bx c 经过 a（ 4 ，3 ）、b（ 2， 0 ）两点，当x=3 和 x= 3 时， 这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点c（0 ， 2）的直线 l 与 x 轴平行， o 为坐标原点（ 1 ）求直线 ab 和这条抛物线的解析式；（ 2 ）以 a 为圆心， ao 为半径的圆记为a，判断直线l 与a 的位置关系， 并说明理由；（ 3 ）设直线 ab 上的点 d 的横坐标为1，p（ m，n）是抛物线y ax2 bx c 上的动点，当 pdo 的周长最小时，求四边形codp 的面积5、（ 2011-2012福州市九上期末考试题）2y22 （ 14 分）已知抛物线yaxbxc( a0) 经过点lba（ 2 ， 0）、b（ 0 ， 1 ）两点，且对称轴是y 轴，经c过点 c（ 0 ，2 ）的直线 l 与 x 轴平行， o 为坐标原点，aqp、q 为抛物线y点。ax 2bxc （ aox0 ）上的两动p（ 1）求抛物线的解析式;（ 2）以点 p 为圆心， po 为半径的圆记为p，判断直线 l 与p 的位置关系，并证明你的结论;（ 3）设线段 pq9 ， g 是 pq 的中点，求点g 到直第 22 题图线 l 距离的最小值。6、（ 2012 四川资阳9 分） 抛物线12的顶点在直线y=x+3 上，过点 f（ 2 ，2 ）y=x +x+m 4的直线交该抛物线于点m、 n 两点（点m 在点 n 的左边）， ma x 轴于点 a， nb x 轴于点 b（ 1 ）(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示） ，再求 m的值； 来 源#%: 中 教网（ 2 ）(3 分)设点 n 的横坐标为a，试用含a 的代数式表示点n 的纵坐标，并说明nf nb；（ 3 ）(3 分)若射线 nm 交 x 轴于点 p，且 papb 1009，求点 m 的坐标抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1 、（ 2010 黄冈市， 25， 15 分）【分析】（ 1 ）抛物线的顶点为c（ 1， 1 ），可设解析式为 ya（ x 1） 2 +1 ，又因抛物线过原点，可得a 1 ，所以y（ x1 ） 2 +1 ，化简得 y x2 2 x，即可求字母a， b， c 的值；（ 2 ）由 fm fp， pm 与直线 y5 垂直，4可得 533444y ，y1 ，代入 y x2 2 x，解得 x143 点p 坐标为（ 131），224或（ 13 ， 1 ），所以分两种情况，通过计算可得pfm 为正三角形； （ 3 ）由 pm pn可得 54242y x12yt，2整理得， t2 yt3 y90 ，解得 t3 ， t122y3 （舍去），故存在点n（1， 3 ），2164使 pm pn 恒成立【答案】（ 1 ）a 1 ，b 2 ，c 0（ 2 ）fm fp， pm 与直线 y45533垂直，41y ，y，44444把 y1 代入 y x2 2 x，解得 x13 点p 坐标为（ 13 ， 1）或（ 13 ， 1 ），422424当点 p 坐标为（ 1当点 p 坐标为（ 13 ， 1 ）时， mp mf pf1 ，pfm 为正三角形，243 ， 1 ）时， mp mf pf1 ，pfm 为正三角形，24当点p 坐标为（ 13 ， 1 ）或（ 1243 ， 1 ）时， pfm 为正三角形；24（ 3 ）存在，pm pn， 5y x1 242yt，两边同时平方得，255162222yy x1yty x22 x，t 22 yt3 y90 ，2163332解得 t1， t2 y（舍去），故存在点n（1 ，），使 pm pn 恒成立444【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1 ）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（ 2 ）问、（ 3 ）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3 ）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度【推荐指数】2、2012 年山东潍坊市24 (本题满分ll 分)解： (1) 设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax 2+bx+ c，a104a由2bc解得404a1c2bcb0c1所以 y1 x241 3 分(2) 设 m(x1， y1)， n(x2， y2)，因为点m、n 在抛物线上，所以y1x2 2=4( y2 +1) ；12x11, y2412x21,4，所以又 on2=x22 +y22 =4( y2+1)+ y22=(y2+2) 2，所以 on =所以 0 n=2+ y25 分2y2，又因为y2 l，设 on 的中点 e，分别过点n、e 向直线 l1 作垂线，垂足为p、 f，ocnp2y2则ef， 所以 on =2ef，22即 on 的中点到直线l1 ，的距离等于0 n 长度的一半，所以以 on 为直径的圆与l1 相切7 分(3) 过点 m 作 mh np 交 np 于点 h，则 mn 2=mh 2+nh 2=(x2x1)2+( y2 y1)， 又 y1=kx1,y2 =kx2 ，所以（ y2 y1 )2=k2(x2 x1 )2所以 mn 2=(1+ k2)( x2 一 xl)2；又因为点m、n 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，所以4=0 ，kx1 x241 ，即 x2 4 kx所以 x4 k16 k 21622k21k2 ，所以 (x2 x1)2 =16(1+ k2 )，所以 mn 2=16(1+ k2)2 ， mn=4(1+ k2 )9 分2延长 np 交 l 2 于点 q，过点 m 作 ms l 2 交 l2 于点 s，x121则 ms +nq =y1 +2+ y2 +2=4121x214412(x14x2 )2又 x12+x22=24 k2 +4(1+ k2 )=16 k2+8 ，所以 ms+nq =4 k2+2+2=4(1+ k2)= mn即 m、n 两点到l2 距离之和等于线段mn 的长ll 分说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考本标准给出相应分数.3、湖北省黄冈市2011 年中考数学试卷考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（ 1）把点 f 的坐标代入直线可以确定b 的值（ 2）联立直线与抛物线，代入（1 ）中求出的b 值，利用根与系数的关系可以求出x1?x2的值（ 3）确定 m 1 ， n1 的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出m 1f2 ，n 1f 2 ，m 1n 12 ，然后用勾股定理判断三角形的形状（ 4）根据题意可知y= 1 总与该圆相切 解答：解：（ 1 ） 直线 y=kx+b过点 f（ 0， 1）， b=1第 22 题解答用图同理 mm 1=mf.那么 mn=mm 1 nn 1，作梯形mm 1n 1n 的中位线pq ，由中位线性质知pq=11（ mm 12 nn 1 ） =2mn ，即圆心到直线y= 1 的距离等于圆的半径，所以y= 1 总与该圆相切 .点评：本题考查的是二次函数的综合题，（ 1 ）由点 f 的坐标求出b 的值（ 2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值（ 3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状.（ 4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置 4、2010 年南通市中考试题（五中月考）22 （本小题满分14 分）（ 1 ）因为当x=3 和 x= 3 时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0.设直线 ab 的解析式为y=kx+b ，把 a（ 4， 3 ）、b（ 2，0 ）代入到y ax2 bx c，得16ac3,4ac0.a1 ,解得4c1. 这条抛物线的解析式为y1 x2-1.4设直线 ab 的解析式为y=kx+b ，把 a（ 4， 3）、b（ 2 ， 0）代入到y=kx+b ，得4k2kbb3,0.k1 ,解得2b1. 这条直线的解析式为y -1x+ 1.2（ 2 ）依题意， oa=32425. 即 a 的半径为5.而圆心到直线l 的距离为3+2=5.即圆心到直线l 的距离 = a 的半径， 直线 l 与a 相切.（ 3 ）由题意，把x=-1 代 入 y=-1 x+1 ，得 y= 3 ，即 d（-1 ， 3 ）.222由（ 2 ）中点 a 到原点距离跟到直线y=-2 的距离相等， 且当点 a 成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点d 作 dh 直线l 于 h，交抛物线于点p，此时易得dh 是 d 点到 l 最短距离，点p 坐标（ -1 ， - 34）此时四边形pdoc 为梯形，面积为17 .8略解过程如下： （以下过程是：证明当点d 、p 、h 三点共线时， pdo 的周长最小）如图 1 ，过点 p 作 ph l ，垂足为h，延长 hp 交 x 轴于点 g，12设 p （ m,n ）则 ypm1 ，4op 2og 2gp 2m 2( 1 m 241)2( 1 m241) 2，opph1 m 214y pyh1 m 214(2)1 m 241 op=ph要使pdo 的周长最小，因为od 是定值，所以只要op+pd最小，op=ph只要ph+pd最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”可知，当点 d、p 、h 三点共线时， ph+pd最小，因此，当点d 、p、 h 三点共线时， pdo 的周长最小。5、（ 2011-2012福州市九上期末考试题）22. 解：（ 1 ）抛物线 yax 2bxc的对称轴是y 轴,b0. -1分抛物线 yax2bxc 经过点 a(2,0)1、 b(0,1)两点,c1,a,-3分4 所求抛物线的解析式为12yx1 .-4分412（ 2）设点 p 坐标为（p ，p41 ），如图 ,过点 p 作 phl ，垂足为 h ,ph2（1 p 241） =1 p 241 ， -6 分opp 2(1 p 241) 2 = 1 p 241,-8 分opph .直线l 与以点p 为圆心 , po 长为半径的圆相切.-9分（ 3）如图 ,分别过点p、q、g 作 l 的垂线，垂足分别是d、e、f. 连接 eg 并延长交 dp的延长线于点k ,g 是 pq 的中点 ,易证得eqgkpg ，eqpk ， -11分由 (2) 知抛物线y1 x 21 上任意一点到原点o 的距4离等于该点到直线l : y2 的距离 ,即 eqoq, dpop ， - 12分111 fgdk(dppk )(dpeq)2221 (opoq ) ， - -13 分2只有当点 p 、 q 、 o 三点共线时，线段pq 的中点 g 到直线 l 的距离 gf 最小 .pq9 ,gf 4.5 ，即点 g 到直线 l 距离的最小值是4.5.- 14分（若用梯形中位线定理求解扣1 分）1216、（ 2012四川资阳9 分）【答案】 解：（ 1 ） y=x+x+m=x+22+ m1， 顶点44坐标为 ( 2,m1 ) 。 顶点在直线y=x+3 上， 2+3= m1 ，解