等价无穷小替换,极限的计算

无穷小极限的简单计算【教学目的】1 、理解无穷小与无穷大的概念；2 、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；3 、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1 、无穷小与无穷大；2 、无穷小的比较；3 、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；4 、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】 首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30 分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25 分钟），课堂练习（15 分钟）。【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了n数列 xn 的极限、x（ x、 x）函数fx的精品资料极限、 xx0 （ xx0、 xx0）函数f ( x)的极限这七种趋近方式。下面我们用x表示上述七种的某一种趋近方式，即nxxxxx0xx0xx0定义： 当在给定的x下，f (x)以零为极限，则称f ( x)是 x下的 无穷小 ，即limfx0 。x 例如 ,limsin x0,函数 sinx是当 x0时的无穷小 .x0lim 10,xx函数 1 是当x x时的无穷小 .lim (n1)n0,n数列 (1) nn 是当n时的无穷小 .【注意 】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的x下，fx无限增大，则称fx是 x下的 无穷大 ，即limfxx 。显然， n时，n、n 2、 n3、都是无穷大量，【注意】 不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如lim ex0，xlim ex，x所以 ex 当 x时为无穷小，当x时为无穷大。2. 无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx 为无穷大，1则为无穷小；反之，如果fxfx为无穷小，且fx0 ，则1为无穷大。fx小结： 无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、 无穷小量之时， 首先应给出自变量的变化趋势。3. 无穷小与函数极限的关系:定理1limf (x) = a ?f (x)a+( x), 其中(x)是 自变量在同一变化过程x? x 0xxx0 （或 x）中 的无穷小 .证：（必要性） 设limf ( x) =a, 令( x) =f ( x) -a, 则有lim( x) = 0,x? x0x? x0f ( x)a( x).（充分性） 设f ( x) =a +( x), 其中(x) 是当 x ?x0 时的无穷小，则limf (x) =lim( a+( x)alim(x)a.xx0xx0xx0【意义 】（ 1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小 );（ 2） 给出了函数f ( x)在x0附近的近似表达式f ( x) ?a,误差为( x).3.无穷小的运算性质定理 2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意 】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如, n时, 1 是无穷小，n但n个1 之和为 1不是无穷小 . n定理 3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如： lim (1)n 10 ， lim xsin 10 ， lim 1 sinx0nnx0xxx推论 1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论 2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论 3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较221例如， 当x ?0时, x, x ,sinx2x, xsinx都是无穷小，观察各极限：lim0, x2比3x要快得多 ;x0 3xlimsin x1, sin x与x大致相同 ;x0xlimx2 sin 1xlimsin 1不存在. 不可比 .x0x2x0x极限不同 ,反映了趋向于零的“快慢 ”程度不同 .1. 定义 : 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且1 0.(1) 如果 lim= 0, 就说是比高阶的无穷小, 记作= o();(2) ) 如果limc (c0), 就说与是同阶的无穷小;特殊地 如果lim= 1, 则称与是等价的无穷小，记作;(3) (3)如果 limk = c (c ?0, k0), 就说是的k阶的无穷小 .例 1证明 : 当x0时,4 x tan3 x为x的四阶无穷小.证： lim4 x tan3 x4 lim (tan x 3)4, 故当x0时,4x tan3 x为x的四阶无穷小 .x0x4x0x例 2当x0时,求tan xsin x关于x的阶数.解limtan xsin x3lim (tanx1cosx2)1,tan xsin x为 x的三阶无穷小 .x0xx0xx22. 常用等价无穷小: 当x0时,x（ 1） sin x x ；（2 ） arcsin x x ；（ 3） tanx x ；（ 4）arctanx x ；（ 5） ln( 1x) x ；（ 6 ） e1 x（ 7） 1cosx x22（ 8 ） (1x)1 x（ 9） ax -1 ln a * x用等价无穷小可给出函数的近似表达式:lim1,lim0, 即12o(),2于是有o().例如 sin xxo( x),cosx1x 2o( x ).3. 等价无穷小替换定理： 设,且 lim存在 ,则 limlim.证： limlim()limlimlimlim.例 3（ 1 ） 求limtan2 2 xx 2. ；（ 2） lime1x0 1cos xx0 cos x1解:（ 1 ） 当x0时, 1cos x 1 x2 ,tan 2 x 2x.故原极限= lim(2 x)2= 82x? 01 x22x21（ 2 ）原极限 = lim2 =x0x22例 4求lim tanxsin x .x3错解 : 当x0sin0时,2xtan x x,sin x x. 原式limxx =0x0 (2 x)313正解 : 当x0时, sin 2 x1 x3 2x,tan xsin xtan x(1cos x) x , 2故原极限 = lim21 .x? 0 (2 x)316【注意 】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例 5求 limtan5xcosx1.x0sin 3x122解:tan x5xo(x),sin 3x3 xo( x), 1cosxx 2o( x ).原式 =lim5 x +o( x) +1 x2 +2o(x2 )5limo( x) x1o( x2 )x2x5 .x? 03 x+o( x)x03o( x)3x三、极限的简单计算1. 代入法： 直接将 xx0 的x0 代入所求极限的函数中去，若fx0存在，即为其极2 x53 x42x12限，例如lim3；若 fx0不存在，我们也能知道属于哪种未定式，x13x2x49便于我们选择不同的方法。例如，lim x9 就代不进去了，但我们看出了这是一个0 型2x3x30未定式，我们可以用以下的方法来求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，x29limlimx36 。x3x3x33. 分子（分母）有理化法例如，limx 253limx 253x2532 x15x22 x15x22 x152 x15x253x24limx2 2 x4limx2x2x22 x2221又如，limxx1xlimx0x 21x4. 化无穷大为无穷小法173x2 + x-73+-23例如，limx2x2 -=x + 4limxxx=14，实际上就是分子分母同时除以2x 2 这个2-+2xx无穷大量。由此不难得出lima xm1a xm 1a0 ， nmab0m0，nm10nxb0 xb xn 1bn，nm又如，1xlimxx211limxx21x1，（分子分母同除x ）。再如，lim 25nnn3n5 n2n1nlim5n3151，（分子分母同除5 n ）。5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，lim x arctan x10 ，（无穷小量乘以有界量）。2x又如， 求3xx14x1lim2.x1 x2x3解：lim ( x22 x3)0, 商的法则不能用x12又lim (4x1)30,lim x2x300.x1x14 x134x1由无穷小与无穷大的关系,得 lim2.x1 x2x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例 5。6. 利用两个重要极限求极限（例题参见 1.4 例 3 例 5 ）7. 分段函数、复合函数求极限例如， 设f (x)1x,2x0, 求 limf ( x).x1,x0x0解:x0是函数的分段点,两个单侧极限为limf ( x)lim (1x)1, limf ( x)lim( x21)1,x0x0x0x0左右极限存在且相等,故 limf ( x)1.x0【启发与讨论】 思考题 1： 当x ?0时, y1 sin 1 xx是无界变量吗？是无穷大吗？解： (1)1取 x02k2(k0,1,2,3,)y( x0 )2k,当k充分大时2, y(x0 )m . 无界，(2)1取 x02k(k0,1,2,3,)当k充分大时, xk,但 y(xk )2 ksin 2 k0m .不是无穷大结论 ：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题 2： 若f ( x)0 ，且limxf (x)a，问：能否保证有a0 的结论？试举例说明.解： 不能保证 . 例f ( x)1x0,f ( x)10limf ( x)lim1a0.xxxxx思考题 3： 任何两个无穷小量都可以比较吗？1sin x解： 不能例如当x时g( x)f (x), g( x)x都是无穷小量x但 limxf ( x)limxsin x 不存在且不为无穷大，故当x时f (x)和 g (x)不能比较 .【课堂练习】求下列函数的极限ex（ 1） limcos x；x0xex解： 原极限 = limcos xexlim11limcos x1x0xx0xx0x（ 2）求3 sin xlimx2 cos 1xx0 (1cos x) ln(1x)0【分析】 “0”型，拆项。3 sin xx2 cos 1x2 cos 1解： 原极限 = limx= lim3 sin xx= 3x02 xx02 x2x25x5（ 3） lim54 x43 x2；x2 x4 x1【分析】“抓大头法”， 用于型54 x解： 原极限 = lim33x= 5，或原极限5x55=x244x152xlimx2x52（ 4） lim (x 2xxx) ；【分析】分子有理化解： 原极限 =limx= lim1= 1xx2xxx11 x12x 21（ 5） lim (2)x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。x 2解： lim (21x 2x) = lim22x13= lim=x2x4x2x2x2x4x2 x24（ 6 ） limx0x2930【分析】“0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。2解：原极限 = lim xx2932=6x0x（ 7 ） 求lim ( 12nn2n2n ). n2解:n时, 是无穷小之和 先变形再求极限.1 n(n1)limn12( n 2n 2n122)lim2nnnnlim2nn2111lim(1).n2n2【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1 、主要内容 : 两个定义 ;四个定理 ;三个推论 .2 、几点注意 :(1) 无穷小（大）是变量 ,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无