初三数学二次函数与圆知识点总结

.初三数学知识点总结1. 一元二次方程的一般形式: a 0 时， ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b 、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.22;.3. 一元二次方程根的判别式:当 ax下等价命题：+bx+c=0 (a 0) 时， =b -4ac叫一元二次方程根的判别式. 请注意以 0 有两个不等的实根； =0 有两个相等的实根； 0 无实根； 0 有两个实根（等或不等）.24. 一元二次方程的根系关系：当 ax +bx+c=0 (a 0)时，如 0，有下列公式：(1)x 1, 2bb22a4ac；(2 )x 1x 2bca ，x1 x 2a .22 5 当 ax +bx+c=0 (a 0)时，有以下等价命题：( 以下等价关系要求会用公式x1x 2b ，x1x2ac ； a=b -4ac分析，不要求背记)（ 1）两根互为相反数（ 2）两根互为倒数b = 0 且 0b = 0且 0； ac =1 且 0a = c且 0；a（ 3）只有一个零根（ 4）有两个零根c = 0 且b 0c = 0且 b 0；= 0c = 0且 b=0；aac = 0 且baa（ 5）至少有一个零根（ 6）两根异号c =0c=0；ac 0a 、c 异号；a（ 7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值（ 8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值c 0 且ac 0 且ab 0a 、c 异号且 a、b 异号；ab 0a 、c 异号且 a、b 同号；a（ 9）有两个正根（ 10）有两个负根c 0， ac 0， ab 0 且 0a 、c 同号， a 、b 异号且 0；ab 0 且 0a 、c 同号， a 、b 同号且 0.a6. 求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0 时，二次三项式在实数范围内不能分解.2ax +bx+c=a(x-x1)(x-x2)或 ax2+bx+c= a xbb24acbb 2x4ac.2a2a7. 求一元二次方程的公式：x2 - （x1+x2） x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8. 平均增长率问题-应用题的类型题之一（设增长率为x）：2(1) 第一年为 a ,第二年为a(1+x) ,第三年为a(1+x).（ 2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或第一年 +第二年 +第三年 =总和 .9. 分式方程的解法：(1)去分母法两边同乘最简公分母验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母），值0.（2）换元法凑元，设元，验增根代入原方程每个分母，值0 .换元 .10. 二元二次方程组的解法：（1） 代入消元 法方程组 中含有一个二元一次方程 ;（2） 分解降次法方程组 中含有能分解为（）（）0 的方程 ;( 3)(1注意：(3)(2)(4)0( 1 )0( 2)0(1 )0( 2 )0( 3 )0( 4)0( 4 )0( 3 )0应分组为.01222 11几个常见转化：xx12(1)22(xx) 22x 1 x 2 ；( x 1x) 2( x 1x) 24x 1x 2；x 21(xx 21 ) 22；x或x 21(xx 21 ) 22；xx1x 2(x 1x)2222(x 1x) 24x 1x 22(x 1x 2 )；(x 1x 2 )(x 1x 2 )4x 1 x 2(x 1x 2 )1. 分类为 x 1x 22 和 x1x 22(2)x 1x 222. 两边平方为（ x 1；）2x 24(3) x 14( 或116 )(1)分类为x 1x 24和 x 143x 23；xx292x 232(2)两边平方一般不用, 因为增加次数 .x2(4)如 x 1sin a ,x 2sin b且ab90 时,由公式sin 2 acos2 a1, cos asin bx1可推出221.注意隐含条件: x 10,x 20.(5)x 1 , x 2若为几何图形中线段长时, 可利用图形中的相等关系 ( 例如几何定理，相似形,面积等式, 公式 )推导出含有x 1,x 2 的关系式. 注意隐含条件: x 10,x 20.(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件,可把它们转化为某些线段的比，并且引入“ 辅助未知元k ”.(7)方程个数等于未知数个数时, 一般可求出未知数的值; 方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值, 但总可求出任何两个未知数的关系 .1. 垂径定理及推论:如图：有五个元素， “知二可推三” ；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理” “中径定理”“弧径定理” “中垂定理” .c几何表达式举例： cd 过圆心cd ab平分优弧o过圆心e垂直于弦ab平分弦d平分劣弧 ae=beac=bc ad= bd2. 平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.ab o几何表达式举例： ab cdcdac = bd3. “角、弦、弧、距” 定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦” ； “等弦对等角” ；b“等角对等弧” ； “等弧对等角” ；e a“等弧对等弦” ；“等弦对等 ( 优，劣 ) 弧”；o“等弦对等弦心距” ；“等弦心距对等弦”.cf几何表达式举例：(1) aob=cod ab = cd(2) ab = cd aob=codd4. 圆周角定理及推论:（ 1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（ 2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；( 如图 )（ 3）“等弧对等角” “等角对等弧” ；几何表达式举例：acb=（ 1） 1 2 aob（ 4）“直径对直角” “直角对直径” ；( 如图 )（ 5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 .( 如图 )ccaoabdobcba（ 2） ab 是直径 acb=90（ 3） acb=90 ab 是直径（ 4） cd=ad=bd abc是 rt （ 1）（ 2）（ 3）（4）5. 圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.6. 切线的判定与性质定理:如图：有三个元素， “知二可推一” ；bc几何表达式举例： abcd是圆内接四边形acde = abcde c+ a =180 几何表达式举例：（ 1） oc是半径需记忆其中四个定理.（ 1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（ 2）圆的切线垂直于经过切点的半径；o是 半 径b垂 直c是 切 线a oc ab ab是切线（ 2） oc是半径 ab是切线（ 3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（ 4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.（ 3） oc ab7. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，a它们的切线长相等；圆心和这一p点的连线平分两条切线的夹角.ob8. 弦切角定理及其推论:（ 1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（ 2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（ 3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半. （如图）d几何表达式举例： pa、pb是切线 pa=pb po过圆心 apo = bpo几何表达式举例：（ 1） bd是切线， bc是弦 cbd = caba（ 2）ef= abcefa ed， bc是切线 cba = defbdbc9. 相交弦定理及其推论:（ 1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（ 2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.几何表达式举例：（ 1） pa pb=pc pd（ 2） ab是直径dca pc ab2oppab pc=papbcb10. 切割线定理及其推论:（ 1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（ 2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.bba几何表达式举例：（ 1） pc是切线，pb是割线2 pc=papb（ 2） pb、pd是割线pa pb=pc pdapcdpc11. 关于两圆的性质定理:（ 1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（ 2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.a几何表达式举例：（ 1） o1， o2 是圆心 o1o2 垂直平分ab（ 2） 1 、 2 相切o1o2bao1o2（ 1）（ 2） o1 、a、o2 三点一线12. 正多边形的有关计算:（ 1）中心角n ，半径 rn ， 边心距 r n ，d边长 an ，内角n ， 边数 n；（ 2）有关计算在rt aoc中进行 .onernrnnacba n公式举例：(1) n =(2) n2360；n180n几何 b级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念： 圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外） 公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1. 不在一直线上的三个点确定一个圆.2. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.o3. 正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形.三公式：ab21. 有关的计算： （ 1）圆的周长c=2r；（ 2）弧长 l= n r ；（ 3）圆的面积s= r .n r 21180（ 4）扇形面积s 扇形 =lr ；（5）弓形面积s 弓形 =扇形面积saob aob的面积 . （如图）36022. 圆柱与圆锥的侧面展开图：（ 1）圆柱的侧面积：s 圆柱侧 =2 rh ；(r:底面半径； h: 圆柱高 )（ 2）圆锥的侧面积：s 圆锥侧 =四常识：1 lr .（ l=2r ， r 是圆锥母线长；r 是底面半径）21. 圆是轴对称和中心对称图形.2. 圆心角的度数等于它所对弧的度数.3. 三角形的外心两边中垂线的交点三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心两内角平分线的交点三角形的内切圆的圆心.4. 直线与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）直线与圆相交d r；直线与圆相切d=r；直线与圆相离d r.5. 圆与圆的位置关系： （其中 d 表示圆心到圆心的距离，其中r、 r 表示两个圆的半径且r r ）两圆外离d r+r ；两圆外切d=r+r ； 两圆相交r-r dr+r ；两圆内切d=r-r；两圆内含d r-r.6. 证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7. 关于圆的常见辅助线：ccaooboacbab已知弦构造rt .abo已知直径构造直角.已知弦构造弦心距.ddapocaopb已知切线连半径，出垂直 .acobpabcodbcpd圆 外 角 转 化 为 圆 周角.圆内角转化为圆周角.构造垂径定理.构造相似形 .mmmmaadb ao2bo2ndn0101ceao102no102cen两圆内切，构造外公切线与垂直 .两圆内切，构造外公切线与平行 .两圆外切，构造内公切线与垂直 .两圆外切，构造内公切线与平行 .aaabcocao102coepeoddbbbc两圆相交构造公共弦，两圆同心， 作弦心距， 可证得 ac=db.连结圆心构造中垂线.pa、pb 是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.baadaaeoopebc opcdbfcpbc规则图形折叠出一一切一割出相似,并且构造弦切角.两割出相似 , 并且构造圆周角 .双垂出相似, 并且构造直角 .对全等，一对相似.deacafhadooeagbof