消元法在解题中的应用

题型一消元法在平面向量中的应用例 1设oa a， obb，occ， od d， oe e，且 2a b，c bd,2e 3b 4d，求证：点 c 是线段 ae 的中点破题切入点本题涉及到的向量比较多，观察结论，根据结论的要求，只需证明c (a e)，12因此，只要不断消元，即可得到向量c，a， e的关系证明因为 2ab，c bd，所以 b 2a， d c 2a，代入 2e 3b 4d， 可得 2e3 2a 4 (c 2a)，整理得 c (a e)，12所以点 c 是线段 ae 的中点题型二消元法在解析几何中的应用已知双曲线 a2 b2 1(a1 ，b0) 的焦距为 2c，离心率为e，若点 ( 1,0)与(1,0)到直线 a bx2y2xy例 24 1 的距离之和s5c，则 e 的取值范围是 消元法在解题中的应用方法精要 在一些较复杂的题目中，若含有两个或两个以上的未知数时，为了保证先求出其中的一种数量，往往要通过对某些数量的比较，设法先消去一个或几个未知量，从而把一道 数量关系复杂的题目变成简单的题目解出来，这种解题方法就是消元法用消元法解题时注意以下几点：1把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量 消 去 2如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同然后消去这个量 3解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意破题切入点根据已知的不等式找a， c 所满足的不等式，转化为关于离心率e 的不等式，通-可编辑修改 -过这个不等式解得双曲线的离心率的范围答案52 ，5| b ab| b ab|2ab4解析 sa2 b2 a2 b2c 5c， 2c25ab，即 4c4 25a2(c2 a2)，即 4c4 25a2 c2 25a4 0，即 4e4 25e2 25 0，54解得 e2 5，即52 e5.总结提高消元思想是中学数学的重要思想方法之一，它既可以显性的表现为具体的技能， 如降幂、减少变量的个数等，又指导着思维的方向，如对题设或结论的简化意识等，在解题的动态思维过程中，如能紧扣消元的数学思想，重视消元法的应用，就会尝到柳暗花明又一村带来的乐趣1已知定义在r 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足 f(x) g(x) ax a x 2(a0 ，且 a 1)，若 g(2) a，则 f(2)的值为 ()15172a 2b. 4 c. 4 d a答案b解析因为 f(x) g(x)ax ax 2， 则 f ( x) g(x) a x ax 2，联立可得g(x) 2，又因为 g(2) a，故 a 2.因为 f (2) g(2)a2 a 2 2， g(2) a，15则 f (2)a2 a 2 2 a 22 2 2 2 2.42(2013浙江 )已知 r， sin 2cos102，则 tan2的值为 ()4334a. b. c d 3443答案c10解析因为 sin2cos2，又 sin2 cos2 1，联立解得sin1010 ，sin或31010 ，cos31010，cos1010 ，sin1sin故 tan cos ，或 tan3，3cos2tan代入可得tan2 1 tan212 313 4，21 32tan或 tan2 1 tan22 33 1 32 .43. 设 m1 ，在约束条件y x， y mx， xy 1下，目标函数z x my 的最大值小于2，则 m 的取值范围为 ()a (1,12)b (12， )c (1,3)d (3， )答案a解析画出可行域，或分别解方程组yx， ymx，y x， xy 1，ymx，x y 1得到三个区域端点1(0,0)，( ，11)， (m1，)，当且仅当直线z x my 过点 (m，)时， z 取到最大值z22m 1m1m2 1m 1m 1 m1 b0) 的离心率e1，右焦点为f(c,0)，方程 ax2 2bxc 0 的两个实根2分别是 x1 和 x2，则点 p(x1， x2)到原点的距离为()77a.2b.2 c2d.4答案ac1解析因为 e ，所以 a 2c，2ab3由 a2 b2 c2，得，a2x1 x22bc1a2a 3， x1x2 ，12点 p(x1， x2)到原点 (0,0)的距离 dx2 x2x1 x2 2 2x1x2 2.5. 过抛物线 y2 8x 的焦点 f 作倾斜角为135的直线交抛物线于a，b 两点，则弦 ab 的长为 ()a 4b 8c 12d 16答案d解析抛物线 y2 8x 的焦点 f 的坐标为 (2,0)，直线 ab 的倾斜角为135，故直线ab 的方程为y x2 代入抛物线方程y2 8x，得 x2 12x 4 0.设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则弦 ab 的长 | ab|2| x1 x2| 16.6. 抛物线 y2 4x 的焦点为f，点 p(x， y)为该抛物线上的动点，又点a( 1,0)，则| pf| pa|的最小值是 ()1a. b. 222 c.3232 d.2答案b解析由题意知x0，则焦点 f(1,0)，| pf| x 1，| pa| x 1 2 y2 x 1 2 4x，当| pa| pa|4x4xx 0 时， | pf| 1；当 x0 时， 10 ， b0)的离心率e 2，过双曲线上一点m 作直线 ma ， mb 交双曲线于a， b 两点，且斜率分别为k1， k2，若直线ab 过原点，则k1k2 的值为 ()a 2b 3c.3d.6答案b解析由题意知ec 2，则 b2 3a2，双曲线方程可化为3x2 y2 3a2，设 a(m，n)，m(x，y)， ayny ny2 n23x2 3a2 3m2 3a2则 b( m， n)， k1 k2 x mxm x2 m2x2 m2 3.8已知圆c1： x2y22x 2y 2 0 和圆 c2： x2y2 4x 4y 1 0，则过两圆交点的公共弦所在直线方程为 答案2x 2y 1 0解析联立两圆的方程，消去二次项即得公共弦所在直线的方程2x 2y 1 0.9. 设 x， yr，且 xy 0，则 (x2 11)( 4y2 )的最小值为 y2 x2答案9解析(x211)(4y2) 51 4x2y2 5214x2y29，当且仅当 x2y21时“ ” 成立y2 x2x2y2x2 y2210. 设 oa a， ob b，occ， od d， m，n， p， q 是不同时为零的实数，如果manb pc qd 0，且 (mn)2(p q)2 0.求证： a， b，c， d 共线或 ab cd.证明因为 (m n)2 (p q)2 0， m， n，p， q 是不同时为零的实数， m n，p q，代入 ma nb pc qd 0 得 n(b a) q(dc)nab qcd， n 0， (否则 m， p， q 均为零 )，abq cd， n ab cd，即 a，b， c， d 共线或 ab cd.11. 如图，已知抛物线c： y2 2px(p0) 上横坐标为3 的一点，与其焦点的距离为4. (1)求 p 的值；(2)设动直线y x b(b3)与抛物线c 相交于 a、b 两点，问在直线l： y 2 上是否存在与b 的取值无关的定点m，使得 amb 被直线 l 平分？若存在，求出点m 的坐标；若不存在，请说明理由p解(1)由已知得 | 3 2| 4， p0 ， p 2.(2)令 a(x1，y1)， b(x2 ， y2 )，设存在点m(a,2)满足条件， 由已知得kam kbm，yy12y1 2y2 22212即有 x a x a 0， x1 4 ， x2 4 ；12整理得 y1y2(y1 y2) 4a(y1 y2) 2(y2y2) 16a 0；y xb， 由y2 4x得 y2 4y 4b 0，即 y1 y2 4， y1 y2 4b 有 4b( 4) 4a( 4) 2( 4)2 8b 16a 0， a 1，因此存在点m(1,2)，而当 b3 时线段 ab 在点 m( 1， 2)的左上方，满足题意12. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆c 的离心率为1，且经过点m(1，232)(1) 求椭圆 c 的方程；(2) 是否存在过点p(2,1)的直线 l1与椭圆 c 相交于不同的两点a，b，满足 pa pb pm2？若存在，求出直线l1 的方程；若不存在，请说明理由x2y2解(1)设椭圆 c 的方程为a2 b2 1(a b0) ，19a2 4b2 1，由题意得c1a ，2解得 a2 4， b2 3.a2 b2 c2，x2y2故椭圆 c 的方程为4 3 1.(2)假设存在直线l1 且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y k1(x 2) 1，代入椭圆c 的方程得，11(3 4k2)x28k1(2k1 1)x 16k2 16k1 8 0.因为直线l1 与椭圆 c 相交于不同的两点a， b， 设 a，b 两点的坐标分别为(x1， y1)， (x2， y2)，所以 8k1(2k1 1)2 4(3 4k2 )(16k2 16k1 8)11 32(6k1 3)0，所以 k1 又 x1x21. 28k1 2k1 113 4k2， x1x216k2 16k1 8113 4k2，因为 pa pm2，pb5即(x1 2)(x2 2) (y1 1)(y2 1) ，42 25