全国初中数学竞赛试题含答案

.4244小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币小倩对小玲说： “你若给我 2 元，我的钱数将是你的 n 倍”；小玲对小倩说： “你若给我 n 元，我的钱数将是你的 2 倍”，其中 n 为正整数，则 n 的可能值的个数是（ ）（ a） 1（ b） 2（ c） 3（ d） 4 5一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是 1， 2， 3，4， 5， 6掷两次骰子，;.设其朝上的面上的两个数字之和除以4 的余数分别是0，1，2，3 的概率为p0， p1， p2， p3 ，则 p0， p1， p2， p3 中最大的是（）中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5 小题，每小题7 分，共 35 分）1如果实数a， b，c 在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2| ab |(ca)2| bc | 可以化简为（）（第 1 题图）（ a）（ b）（ c）（ d）a2如果正比例函数y = ax（a 0 ）与反比例函数y =bx（ b 0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（3， 2），那么另一个交点的坐标为（）（ a）（2， 3）（ b）（ 3， 2）（ c）（ 2， 3） （ d）（ 3，2）3如果 a，b 为给定的实数，且1ab ，那么 1， a1， 2ab， ab1 这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）（ a） 1（ b） 2a1（c） 1（ d） 1（ a） p0（ b） p1（c） p2（ d） p3二、填空题（共5 小题，每小题7 分 ， 共 35 分 ） 6按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作 .如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是.（ 第 7 题 图 ） 7如图，正方形abcd的边长为215 ， e， f 分别是 ab， bc的中点， af与 de， db分别交于点 m， n，则 dmn的面积是.8. 如果关于x 的方程 x 2+kx+3 k 23k+ 9= 0 的两个实数根分别为x ， x ，那么2011x1的1242x22012值为9. 2 位八年级同学和 m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是： 每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分；平局各得 1 分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为 130 分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则 m 的值为 .10. 如图，四边形 abcd内接于 o， ab是直径， ad= dc. 分别延长 ba，cd，交点为 e. 作bf ec，并与 ec的延长线交于点 f. 若 ae = ao， bc = 6 ，则 cf的长为 .（第 10 题图）三、解答题（共4 题，每题 20 分，共 80 分）11. 已知二次函数yx2 （ m3） xm2 ，当1x3 时，恒有y0 ；关于 x 的方程 x2 （ m3） xm20 的两个实数根的倒数和小于910求 m 的取值范围12如图， o的直径为ab ， o 1 过点 o ，且与 o内切于点b c 为 o上的点， oc与 o1 交于点 d ，且 odcd 点 e 在 od 上，且 dcde ， be的延长线与o 1 交于点 f ，求证： boc do1f （第 12 题图）13已知整数a， b 满足： ab 是素数，且ab 是完全平方数.当 a 2012 时，求 a 的最小值.14求所有正整数n，使得存在正整数x1， x2， x2012 ，满足 x1x2x2012 ，且122012n .x1x2x2012中国教育学会中学数学教学专业委员会2012 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1. c解：由实数a，b， c 在数轴上的位置可知ba0c ，且 bc ，所以a2| ab |(ca) 2| bc |a( ab)(ca)(bc)a 2. da(3) ， (3)(2)b ，所以a2 ，b6 .x3，x3，解：由题设知，23y2 x，解方程组3得y6 ，yx2；y2.所以另一个交点的坐标为（3， 2） .注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2） .3. d解：由题设知，1a1ab12ab ，所以这四个数据的平均数为1(a1) (ab1)(2 ab)34a2b，(a1)(ab1)44a2b2444中位数为，于是44a2b34a2b1.4444. d解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元， x，y 均为非负整数.由题设可得x2n( y2)，yn2( xn)，消去 x 得(2y 7)n = y+4，2n =(2 y7)152 y7115.2 y7因为152 y7为正整数，所以2y 7 的值分别为1， 3，5，15，所以 y 的值只能为4， 5，6， 11从而 n 的值分别为8，3， 2， 1； x 的值分别为14， 7， 6， 75. d解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36 个，其和除以4 的余 数 分 别 是0 ， 1 ， 2 ， 3的 有 序 数 对 有9个 ， 8个 ， 9个 ， 10个 ， 所 以9891 0p0， p1， p2， p3，因此 p3 最大3 63 63 636二、填空题6 7x 19解：前四次操作的结果分别为3x 2， 3(3x 2) 2 = 9x 8， 3(9x 8) 2 = 27x 26， 3(27x 26) 2 = 81x 80.由已知得27x 26 487， 81x 80487.解得7 x 19.容易验证，当7 x 19 时， 3x2 4879 x8 487，故 x 的取值范围是7 x 197 8解：连接df，记正方形abcd 的边长为 2 a .由题设易知bfn dan ，所以adandn2，bfnfbn1由此得 an2 nf ，所以 an2af .3在 rt abf中，因为ab2a， bfa ，所以afab 2bf 25a ，（第 7 题）于是cosbafab25 .af5由题设可知ade baf，所以aedafb ，ame1800bafaed1800bafafb90 .于是amaecos25bafa ，5mnanam2 afam45 a ，s mndmn3154.s afdaf15又 s1(2a) (2 a)2a2 ，所以 s4 s8a2 .afd因为 a823215 ，所以1515s mnd8 .mndafd解：根据题意，关于x 的方程有2=k 4 ( 3 k 23k9 ) 0，422由此得(k 3) 0又(k 3) 2 0，所以 (k 3) 2=0，从而 k=3.此时方程为x 2+3x+ 9 =0，解得 x41=x32=.2x2011112故2012 =x2x239 8解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知2a3b130 ，由此得 0b 43.又ab(m1)(m 22)，所以 2a2b(m1)(m2) .于是0 b130(m1)(m2) 43，87 (m1)(m2) 130，由此得m8 ，或 m9 .当 m8 时， b40， a5 ；当 m9 时， b20，a35 ，ab55a，不合题设 .22故 m8 （第 10 题）10 322解：如图，连接ac， bd， od.由 ab是 o的直径知 bca = bda = 90 .依题设 bfc = 90 ，四边形abcd是 o的内接四边形，所以 bcf = bad,所以 rt bcf rt bad ，因此bcba .cfad因为 od是 o的半径， ad = cd，所以 od垂直平分ac， od bc，于是deoedcob2 .因此de2cd2ad，ce3ad .由 aed ceb ，知 deecaebe 因为 aeba，be3 ba，22所以2ad3adba3 ba， ba=22 ad ，故22cfadbc babc32.222三、解答题11. 解：因为当1x3 时，恒有y0 ，所以（ m3）2（4 m2） 0 ，2即（ m1）0 ，所以 m1（ 5 分）当 x1 时， y 0 ；当 x3 时， y 0 ，即(1)2(m3)(1)m2 0 ，且323(m3)m2 0 ，解得 m 5 （ 10 分）设方程 x2m3 xm20 的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得x1因为 119x2，所以m3 ， x1x2m2 x1x210x1x2m39 ，x1x2m210解得 m12，或 m2 因此 m12 （ 20 分）12. 证明：连接bd，因为 ob 为o1 的直径，所以odb90又因为 dcde ，所以 cbe是等腰三角形（ 5 分）设 bc 与ocob，所以o1 交 于 点 m ， 连 接om， 则omb90 又 因 为（第 12 题）boc2dom2dbc2dbfdo1f （ 15 分）又因为boc，do1f分别是等腰boc ，等腰do1 f 的顶角，所以 bocdo1f （ 20 分）213. 解：设a b = m （ m是素数）， ab = n（ n 是正整数） .因为(a+b)224ab = (a b) ，222所以(2a m) 4n = m ，2(2a m+2n)(2a m 2n) = m 2.（ 5 分） 因为 2a m+2n与 2a m2n 都是正整数，且2a m+2n 2am 2n (m 为素数 ) ，所以2a m+2nm ， 2a m 2n1.解得a(m1) 2， n4m21.4于是b = a m（ m1）2 4.（ 10 分）又 a2012，即(m1) 24 2012.又因为 m是素数，解得m89.此时， a(891) 24=2025.当 a2025 时， m89， b1936， n1980 .因此， a 的最小值为2025.（ 20 分）14解：由于x1， x2， x2012 都是正整数，且x1x2x2012 ，所以x1 1， x2 2， x2012 2012于是n2012 （ 10 分 ）当 n1 时，令 x12012， x222012， x20122