判别式与韦达定理

第三讲判别式与韦达定理教学内容 ：判别式与韦达定理教学目标 ：1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况；2、能熟练运用求方程中的参数值或取值范围；3、理解并掌握韦达定理的定义；4、熟练掌握一些常用代数式的变形；5、能利用韦达定理构造一元二次方程；6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解 。教学重点 ：1、与方程根的关系；2、韦达定理；3、常用代数式的变形；教学难点 ：1、 运用求方程中参数的值或取值范围；2、常用代数式的变形；教学方法 ：探究法、讲授法； 教学过程：8:208:30: 考勤，收发作业8:308:50: 进门考第一课时 8:509:20精品资料一、讲评作业二、 导入新课子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起来温习一下昨天我们学了什么？1、引导学生复习一元二次方程：定义一元二次方程特点解直接开方解法配方公式因式分解2、举例复习四种方法：（1） x2 =25（2） 2x2+4x-2=01223（3）xx0234（4）x25 x603、问公式引入判别式三、探索新知：1、回顾得出判别式的概念：b24ac 作用：判别一元二次方程根的个数.要先化为一般式2、算出下列一元二次方程的判别式3 x22 x24 x27 x203 x0x103、判别式与方程的根的关系0方程有两个不相等的实数根x1 , 2bb22a4ac0方程有两个相等的实数根0方程无实根bx1x22a4、说出刚刚的几个方程根的情况5、判别式我们昨天讲了今天又再专门拿出来讲，它到底有什么用呢？（1） 运用判别式，判别方程实数根的个数；（2） 利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围；（3） 通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题。（以后会讲）(1) 已知方程，判断根的情况：求，判断根的个数2x23x40解： a2,b3,c432424932230方程无实根（ 2）已知带参数的方程的根的情况，求参数：由根的情况得出的情况，进而解出参数已知一元二次方程x22 xm0（1） ）求 m 为何值时，方程有两个不相等的实；（2） ）求 m 为何值时，方程有两个相等的实根；（3） ）求 m 为何值时，方程无实根；（4） ）求 m 为何值时，方程有实根。解：（ 1）方程有两个不相等的实根0即：m0（2）方程有两个相等的实根0即：44 m0m1（ 3）方程无实根0即：44 m0m1（ 4）方程有实根0即：44 m0m1已知一元二次方程x22 xm0（1） ）求 m 为何值时，方程有两个不相等的实；（2） ）求 m 为何值时，方程有两个相等的实根；（3） ）求 m 为何值时，方程无实根；（4） ）求 m 为何值时，方程有实根。分析：当 m=0 时一元一次方程当 m0 时一元二次方程解：（ 1）方程有两个不相等的实根m0,044m0m1且m0（2）方程有两个相等的实根m0,0即：44 m0m1（ 3）方程无实根m0,0即：44 m0m1（ 4）当m0时，方程即：2x10, x12当m0时，方程为一元二次方程方程有实根0即：44m0m1m16、接下来，我们一起来看一段视频，让视频中的老师带着我们一起加深对的理解四、点点精讲例 1、（1）分析： 两个相等的实根=0 解：a.b.c.d.144411413012012214136144144041290(2)分析：根的情况：000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根解：a2414a2160方程有两个不相等的实数根2（3）解：=a34ac2a34ac无法确定【小结】000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根例 2分析：方程有实数根0证明：2因为=m24122m280所以方程总有实根例 3 .分析：方程有两个不相等的实数根0证明：2m34mm26m94mm22m92m180所以方程总有两个不相等的实数根例 4、分析： k=-1 时方程为一元一次方程k-1 时方程为一元二次方程解： k-1 时，方程即 -4x-4=0, 解得 x=1k-1 时，=(3k-1) 2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)20故方程总有实数根例 5、分析：直角三角形三边的关系：解：由勾股定理得 ;a2+c2=b2a2c2b 2将原方程化为一般式得： （a+b ）x2-2cx+(b-a)=0=4c2-4(a+b)(b-a)=0故方程有两个相等的实数根【小结】用判别方程的根时要先将方程化为一般式六、归纳总结01、00方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根2、算之前，要先化为一般式第二课时： 9:3010:30上节课我们说判别式的应用很多，可以利用判别式建立等式不等式，求方程中的参数值或取值范围，这节课我们就来看看到底怎么用的。例 6、分析：0方程有两个不相等的实数根0方程有两个相等的实数根0方程无实根解： b、d0方程有两个不相等的实数根例 7、分析：0方程有两个相等的实数根0方程无实根解：114a214a314a10, a410, a40, a14例 8、分析： 有两个不同的实根是一元二次方程二次项系数不为00解：依题意得：a022a1a11614aa516a10a且a0 16例 9、分析： 有两个相等实根是一元二次方程二次项系数不为0=0整数 m解：依题意得：m02m24m2m0m25m20m2,m2 不合题意舍去125m2例 10、分析： 有两个相等实根是一元二次方程二次项系数不为0=0解：a02b4ac0 ab2a4a4a22a2b24a4224a44a4a例 11、分析： 等腰三角形（ 1）a=b 方程有两个相等的实根,(2)a b ，a,b 中必有一个等于 2,2 为方程的解，三角形边的关系解：（1）当 a=b 时，=36-4 （n-1 ）=0 n=10,a=b=3满足提题意（ 2）当 ab 时， 4-12+n-1=0 n=9, 方程为 x2 -6x+8=0 x1 =2,x2 =42,2,4 不能构成三角形舍去所以 n=10方程 ax 2+bx+c=0(a 0)的求根公式 xbb24ac 2a不仅表示方程的系数a、b、c 决定根的值，而且反映了根与系数的关系。那么一元二次方程根与系数的关系还有其他表示方式吗？1 x23x202 x25x603 2x27x5024 3x8x40方程x1x2x1+ x2x1 x21 x22 x23x205x60-1-2-3223563 2x24 3x27x505-1752228x402284333归纳方程根与系数的关系：（ 1）x2pxq0x1x2p x1x2q（ 2） ax2bxc0bx1x2acx1 x2a这是我们在特殊情况下的两根之和、两根之积与系数的关系， 能不能证明呢？bb 2x12a4acbb 2, x22 a4acx1x2bb24acbb 24acbx1 x22a2aa bb24acbb 24acc2 a2aa刚刚同学们得到的两根之和与两根之积与系数的关系就是我们今天要学习的第二大块内容，韦达定理。因为它最早是被韦达发现的，所以用他的名字来命名，以示纪念， 韦达是法国数学家， 被尊称为“现代数学之父”，主要工作 方程论，最早系统引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达定理表示的是一元二次方程根与系数的关系，推导也不难，我们都能推出来，可惜我们生得晚，不然，说不定这个定理就以我们的名字命名了。韦达因韦达定理而出名了，那么韦达定理到底有什么用呢？应用 1、计算两根之和、两根之积：2x22x23x409x501 解： a2, b3,c49320方程无实根2 解： a2, b9, c5812009x1x225x1 x22韦达定理很简单就是x1x2cx1 x2aba ，表示的就是根与系数之间的关系，那么他就有一根前提，那就是方程必须有什么？也就是怎么样？应用 2、已知方程的一个根，求另一根已知方程2x2mx40的一个根 x2, 求另一个根 x12解：由韦达定理得：x1 x222x212这就之前简单了很多，大大节省了我们的计算量，也为我们节省了很多时间。有人说时间就是生命，时间就是金钱，所以说能为我们节省时间的韦达定理是很重要的，接下来我们一起来观看一段视频，看看别人是怎么理解韦达定理的例 12 、例 13、例 14 、韦达定理归纳小结：利用建立等式、不等式求方程中的参数值或取值范围韦达定理x1x2cx1 x2aba （0 ）应用：(1) 计算两根之和、两根之积：(2) 已知方程的一个根，求另一根第三课时： 10:4011:30上一节课我们一起学习了韦达定理，它表示了方程两根之和、两根之积与系数的关系，但预习了的同学也许会告诉我，我遇到的大多不是x21求两根之和、两根之积，而是像2x2 这样一些其他形式，二这就涉及到我们韦达定理的一些常用变形了，请同学们把以下式子化成用两根之和、两根之积表示的形式。应用 3、常用代数式的变形 ：1 x2x22xx2x x12121 2211x1x2x1x23x3x3x1 x23xx3x xxx12121 212xxx2x22xx2 x x42112121 2x1x225 x1x2x1 x22x1x2x1 x24 x1 x2121 2126 xmxmx xmxxm27 x1x22x1x222x1x24 x1 x211x1x22 x1 x282222x1x2x1 x2例 15、16、应用 4、利用韦达定理构造一元二次方程：若 a,b满足 a+b=p,ab=q,则 a、b 分别为关于一元二次方程x2-px+q=0例 17、18、归纳总结1、b 24ac2、0方程有两个不相等的实数根x1,2bb22a4ac0方程有两个相等的实数根0方程无实根bx1x22a3、（1）运用判别式，判别方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围；x1x24、cx1x2aba （0）5、应用 1、计算两根之和、两根之积： 应用 2、已知方程的一个根，求另一根应用 3、常用代数式的变形：应用 4、利用韦达定理构造一元二次方程：出门测试： 11:4012:00 课后辅导： 12:0012:30 教学反思：板书设计：一、判别式1、 =b2 -4ac定义一元二次方法特点02、00方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根 方程无实根解直接开方解法配方公式3因式分解（ 1）运用判别式，判别方程实数根的1 x21x22x21x22 x x1 21个数；21x1x2x1x2x x12（ 2）利用判别式建立等式、不等式，3 x31x32x31x23 x xx1 21x2x222x1x1x2x1x2求方