同余定理解法的其他情况

分三类:口诀套用，化余为一，其他“ 差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加”这是同余问题的口诀。所谓同余问题， 就是给出 “一个数除以几个不同的数” 的余数， 反求这个数， 称作同余问题。首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以4、5、6 为例，请记住它们的最小公倍数是60。1、差同减差 :用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数， 可以选除数的最小公倍数， 减去这个相同的差数， 称为:“差同减差”。例:“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3”，因为 4-1=5-2=6-3=3 ，所以取-3，表示为 60n-3 。【60 后面的“ n” 请见 4、，下同】2、和同加和 :用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同，此时反求的这个数， 可以选除数的最小公倍数， 加上这个相同的和数， 称为:“和同加和”。例:“一个数除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 6 余 1”，因为 4+3=5+2=6+1=7 ，所以取+7，表示为 60n+7 。3、余同取余 :用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，此时反求的这个数， 可以选除数的最小公倍数， 加上这个相同的余数， 称为:“余同取余”。例:“一个数除以 4 余 1，除以 5 余 1，除以 6 余 1”，因为余数都是1，所以取+1，表示为 60n+1 。4、最小公倍加 :所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面 1、2、3中的 60n) 都满足条件，称为:“ 最小公倍加 ”，也称为 :“公倍数作周期 ”。余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中， 推荐代入法和口诀法两大类。其中口诀法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差 的应用， 但是有时候会出现余不同，和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。剩余定理的原理比较繁琐， 不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练:【例 1】一个数被 3 除余 1，被 4 除余 2，被 5 除余 4，这个数最小是多少 ?则4， 5=203，5=15 3，4=123，4 ，5=60。为了使 20 被 3 除余 1，用 20 2=40 使 15 被 4 除余 1，用 153=45 使 12 被 5 除余 1，用 123=36 。然后，分别乘以他们的余数:40 1+45 2+36 4=274 ，因为， 27460 ，所以， 274-60 4=34 ，就是所求的数。【例 2】一个数被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，这个数最小是多少 ?在 1000 内符合这样条件的数有几个?题中 3、7、8 三个数两两互质。则7，8=563，8=24 3，7=213， 7，8=168 。为了使 56 被 3 除余 1，用 56 2=112 使 24 被 7 除余 1，用 245=120 使 21 被 8 除余 1，用 215=105 然后， 112 2+120 4+105 5=1229 。因为， 1229168 ，所以， 1229-168 7=53 ，就是所求的数。再用(1000-53)/168得 5,所以在 1000 内符合条件的数有5 个。【例 3】一个数除以 5 余 4，除以 8 余 3，除以 11 余 2，求满足条件的最小的自然数。则8，11=885，11 =55 5，8=405，8，11=440 。为了使 88 被 5 除余 1，用 88 2=176 使 55 被 8 除余 1，用 557=385 使 40 被 11 除余 1，用 40 8=320 。然后， 176 4+385 3+320 2=2499 ，因为， 2499440 ，所以， 2499-440 5=299 ，就是所求的数。【例 4】有一个年级的同学， 每 9 人一排多 5 人，每 7 人一排多 1 人，每 5 人一排多 2 人，问这个年级至少有多少人?题中 9、7、5 三个数两两互质。则7，5=359， 5=45 9， 7=639，7 ，5=315 。为了使 35 被 9 除余 1，用 35 8=280 使 45 被 7 除余 1，用 455=225 使 63 被 5 除余 1，用 632=126 。然后， 280 5+225 1+126 2=1877 ，因为， 1877315 ，所以， 1877-315 5=302 ，就是所求的数。对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法，华图公务员考试研究中心希望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决。来源:华图教育剩余定理的一般情况 :一个数，除以 7 余 3，除以 8 余 6，除以 5 余 2，求满足这些条件的所有三位数。卡卡西解析 :-一个数除以 7 余 3，可以把这个数字表示为7a+3 ，同理有 5b+28d+6 7a+3=5b+27a+1=5ba=2b=3最小公倍数 35 35c+17=8d+632c+8+3c+3=8d( 因为 32c+8肯定是 8 的倍数，所以不予再考虑)3c+3=8d c=735*7+17=262262+280n一个整数除 300 、262 、205 ，得到相同的余数，问这个整数是几?分析:根据同余的性质 :此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差的公约数。-解:300-262=38262-205=57(28， 57)=1912 +22 + 32 +20012+20022除以 7 的余数是 。-方法一:根据公式 :12+22+n2=n(n+1)(2n+1)/6方法二: 7=01， 7=04， 7=12， 7=22， 7=34， 7=51， 7=7(余数为 0) ， 7 与 7 余数相同，同样地， 7 与 7 余数相同，.所以，每 7 个连续自然数的平方之和除以 7 的余数为 1+4+2+2+4+1 除以 7 的余数，而(1+4+2+2+4+1) 7=2( 余数 为 0)，而 2002 7=286 ，所以原式能被 7 整除，即除以 7 的余数为 0今天星期一， 1998 的 1986 次方天后星期几 ?-1998 的 1986 次=(265*7+3)1986次=3 的 1986