28.2.3(1)切线性质与判定

28 2 3切线 0 d r 1 d r 切点 切线 2 d r 交点 割线 l d r l d r O l d r A C B 相离 相切 相交 问题1 下雨天 转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的 问题2 砂轮转动时 火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的 画一个圆O及半径OA 画一条直线l经过 O的半径OA的外端点A 且垂直于这条半径OA 这条直线与圆有几个交点 A l 直线l一定是圆O的切线吗 由此 你知道如何画圆的切线吗 思考 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 条件 1 经过圆上的一点 2 垂直于该点半径 A l 即 OA为 O的半径BC OA于A BC为 O的切线 结论 这条直线是圆的切线 切线的判定定理 思考 温馨提示 在此定理中 题设是 经过半径的外端 和 垂直于这条半径 两个条件缺一不可 否则就不是圆的切线 1 直线l垂直于半径OA 直线l是 O的切线吗 2 直线l经过半径OA的外端A 直线l是 O的切线吗 不是 不是 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 练习 1 经过半径的一个端点 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2 若一条直线与圆的半径垂直 则这条直线是圆的切线 3 过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线 判定一条直线是圆的切线的三种方法 利用定义 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线 利用定理 与圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线 利用切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 如果直线l是 O的切线 点A为切点 那么半径OA与l垂直吗 直线l是 O的切线 思考 2 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 圆心O到直线l的距离等于半径 OA是圆心O到直线l的距离 l OA A l BC为 O的切线 即 OA为 O的半径 BC OA于A 例1 如图 已知直线AB经过 O上的点A 且AB OA OBA 45 直线AB是 O的切线吗 为什么 分析 要证明一条直线是圆的切线 必须符合两个条件 其一是这条直线是否经过半径外端 其二是这条直线是否与这条半径垂直 若满足这两个条件 就能说明这条直线是圆的切线 解 直线AB是 O的切线 理由 AB OA 且 OBA 45 AOB 45 OAB 90 直线AB是 O的切线 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 练习1 AB是 O的直径 TB AB TAB 45 直线BT是 O的切线吗 为什么 解 直线BT是 O的切线 理由 TB AB 且 TAB 45 ATB 45 ABT 90 直线TB是 O的切线 作业1 如图已知直线AB过 O上的点C 并且OA OB CA CB求证 直线 是 O的切线 证明 连结OC OA OB CA CB AB OC 又 OC是半径 AB是 O的切线 证明 作OE BC于E 点O为 ABC平分线上一点OD AB于D OE OD 半径 BC与 O相切 作业 如图 点O为 ABC平分线上一点 OD AB于D 以O为圆心 OD为半径作圆 求证 BC是 O的切线 作OE BC于E 当已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时 辅助线 是过圆心作这条直线的垂线段 再证明这条垂线段的长等于半径 连结OC 当已知条件中直线与圆已有一个公共点时 辅助线 是连结圆心和这个公共点 再证明这条半径与直线垂直 作业1 如图已知直线AB过 O上的点C 并且OA OB CA CB求证 直线 是 O的切线 作业 如图 点O为 ABC平分线上一点 OD AB于D 以O为圆心 OD为半径作圆 求证 BC与 O相切 辅助线的方法 有切点 连半径 证垂直 无切点 作垂直 证半径 切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 判定一条直线是圆的切线的三种方法 利用定义 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线 利用定理 与圆心距离等与圆的半径的直线是圆的切线 利用切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 小结 辅助线的作法 有切点 连半径 证垂直无切点 作垂直 证半径 3 如图 PB切 O于点B PB 4 PA 2 求 O的半径 4 如图 PA PC分别切 O于点A C两点 B为 O上与A C不重合的点 若 P 50 求 ABC的度数 r 3 65 或115 P B O A P A B C O 证明 作OE AB于E AB是 O的切线 作业5 如图 O的半径为8厘米 圆内的弦AB为厘米 以O为圆心 4厘米为半径作小圆 求证 小圆与直线 相切 则AE BE 连结OA AB AE 又 小 O半径为4厘米 OE 作业6 如图 线段AB经过圆心O 交 O于点A C BAD B 30 边BD交圆于点D BD是 O的切线吗 为什么 解 连结OD 即 BD是 O的切线 BD是 O的切线 AC是 O的直径 理由 2OE AD BC CD 作业7已知 如图 ABCD为直角梯形 AB BC CD AD BC 求证 以CD为直径的圆与AB相切 过O作OE AB于E AB为 O的切线即以CD为直径的圆与AB相切 OE OD ABCD为直角梯形 DA CB CB AB DA AB DA OE CB O为DC的中点 证明 证明 连结OP AB AC B C OB OP B OPB OPB C OP AC PE AC PE OP 又 点p在 O上 PE为 0