高中数学求参数取值范围题型与方法总结归纳

参数取值问题的题型与方法一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例1已知当xR时，不等式a+cos2x54sinx+恒成立，求实数a的取值范围。解：原不等式即：4sinx+cos2x3即a+2，上式等价于或，解得a8.另解：a+cos2x54sinx+即a+12sin2x0,( t1,1)恒成立。设f(t)= 2t24t+4a+则二次函数的对称轴为t=1,f(x)在1，1内单调递减。只需f(1)0,即a2.(下同)例3设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1:从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线垂直于x轴时，可求得；当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得，解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 =.由 , 解得 ，所以 ，综上 .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式。我们可以构造关于的对称关系式.解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得（*）则 令，则，在（*）中，由判别式可得 ，从而有 ，所以，解得.结合得. 综上，.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例4（江苏、天津）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1x42p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解：不等式即(x1)p+x22x+10,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.三、解析几何中确定参变量的取值范围历来是各级各类测试及高考命题的热点。例10已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程及点Q的横坐标的取值范围.分析： 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.解：设，则由可得：，解之得： （1）设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：（2） 代入（1），化简得：(3)与联立，消去得：在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 故知点Q的轨迹方程为： （）.2已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。分析1：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：1、，直线l在l的上方且到直线l的距离为；2、把直线l的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式；3、分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：关于x的方程有唯一解。解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为： ，于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程 由可知：方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .用导数求参数范围7.已知函数（）当时，求的单调区间；（）若对任意， 恒成立，求实数的取值范围解：（I）当时，由得得的单调递增区间为，单调递减区间为，（II）若对任意， 使得恒成立， 则时，恒成立，即时，恒成立，设，则 ，设， 在上恒成立，在上单调递增，即在上单调递增，在有零点，在上单调递减，在上单调递增，即，8.已知函数()求函数的单调区间;()是否存在实数,使不等式对恒成立。【解】()，当时,函数在内是增函数,即函数的单调增区间为，当时,令得,且时,又时,所以函数递增区间为,递减区间为.()假设存在这样的实数,使不等式对恒成立，即恒成立.令,则,且恒成立当时,则函数在上单调递减,于是与矛盾,故舍去.当时,，而当时,由函数和都单调递减.且由图象可知,趋向正无穷大时,趋向于负无穷大.y=lnx(x1)y=ax2-ax(a0)xOy这与恒成立矛盾,故舍去.当时,等价于() 记其两根为(这是因为)，易知时,而时,(i)若时,则函数在上递减,于是矛盾,舍去; (ii)若时,则函数在上递增,于是恒成立.所以,即,解得，综上可知,存在这样的实数,使不等式对恒成立9.设函数() 当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性.（）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围. 解：()函数的定义域为.当时，令得.当时，当时，无极大值.（） ；当，即时， 在上是减函数；当，即时，令得或令得当，即时，令得或令得 综上，当时，在定义域上是减函数；当时，在和单调递减，在上单调递增；当时，在和单调递减，在上单调递增（）由（）知，当时，在上单调递减，当时，有最大值，当时，有最小值.而经整理得 由得，所以27. 已知函数是常数，且当和时，函数取得极值（）求函数的解析式；（）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围解：（），依题意，即解得，（）由（）知，曲线与有两个不同的交点，即在上有两个不同的实数解，设，则，由0的或，当时，于是在上递增；当时，于是在上递减.依题意有.实数的取值范围是.31.已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1，+)上是增函数； (2)求函数在1，e上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.解：（1）当时，当，故函数在上是增函数（2），当，若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时。若，当时，；当时，此时是减函数； 当时，此时是增函数故若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为（3）不等式，可化为, 且等号不能同时取，所以，即，因而（），令（），又，当时，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是导数的综合应用例10、（山东卷）已知函数，其中，为常数（）当时，求函数的极值；（）当时，证明：对任意的正整数，当时，有【解析】：（）解：由已知得函数的定义域为，当时，所以（1）当时，由得，此时当时，单调递减；当时，单调递增（2）当时，恒成立，所以无极值综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为当时，无极值（）证法一：因为，所以当为偶数时，令，则（）所以当时，单调递增，又，因此恒成立，所以成立当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令，则（），所以当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立综上所述，结论成立证法二：当时，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令，则，当时，故在上单调递增，因此当时，即成立故当时，有即（四川）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点. （1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值. （2）设过定点M(0, 2)的直线与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围. 解析（1）设P(x, y)，又 x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2。时，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1. （2）直线x=0不满足条件，可设直线,由 ,，令，得。又，故cos0， .即，又， k24，即2k0,数列满足，若对成立，试求a的取值范围。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），现证：时，对成立。(1) n=1时，成立;(2)假设n=k(k1)时，成立，则，即n=k+1时，也成立，时，a的取值范围是。22.正项数列 （1）求； （2）试确定一个正整数N，使当nN时，不等式成