高中平面几何常用定理总结

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1. 勾股定理（毕达哥拉斯定理） （广义勾股定理） (1) 锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积 的两倍(2) 钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍2. 射影定理（欧几里得定理）23. 中线定理（巴布斯定理）设abc的边bc的中点为p ，则有精品资料2abac22( apbp 2 ) ；中线长： ma2222b2ca24. 垂线定理： abcdac 2ad 2bc 2bd 2 高线长： ha2p( p aa)( pb)( pc)bc sin a ac sin bb sin c 5. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如abc 中， ad 平分bac，则 bddcab ；（外角平分线定理） ac角平分线长： ta2bcp( pa)2bc cos a （其中 p 为周长一半）bcbc26. 正弦定理：a sin ab sin bc sin c2r ，（其中 r 为三角形外接圆半径） 7. 余弦定理： c2a 2b22ab cosc 8. 张角定理：sinbac adsinbad acsindacab9. 斯特瓦尔特 (stewart)定理：设已知abc 及其底边上 b、c 两点间的一点 d，则有 ab2dc +ac2bdad2bc bcdcbd10. 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半（圆外角如何转化？）11. 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角12. 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13. 布拉美古塔（ brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形abcd 中， acbd，自对角线的交点p 向一边作垂线，其延长线必平分对边14. 点到圆的幂：设p 为o 所在平面上任意一点，po=d，o 的半径为r，则 d2 r2 就是点 p 对于o 的幂过 p 任作一直线与 o 交于点 a、b， 则 papb=|d2 r2|“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的 一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦 (就是两两的根轴 )所在直线交于一点15. 托勒密（ ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即 acbd=ab cd+adbc ，(逆命题成立 )（广义托勒密定理） ab cd+ad bcac bd16. 蝴蝶定理： ab 是o 的弦， m 是其中点，弦 cd、ef 经过点 m，cf、de 交 ab 于 p、q，求证： mp=qm17. 费马点： 定理 1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角 形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理 2三角形每一内角都小于120 时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120 ，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”， 当三角形有一内角不小于120 时，此角的顶点即为费马点18. 拿破仑三角形：在任意 abc的外侧，分别作等边 abd、bce、 caf，则 ae、ab、cd 三线共点，并且aebfcd，这个命题称为拿破仑定理以abc的三条边分别向外作等边 abd、bce、caf， 它们的外接圆 c1、a1、b1 的圆心构成的外拿破仑的三角形，c1、a1、b1 三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；abc 的三条边分别向 abc的内侧作等边abd、bce、caf，它们的外接圆c2、a2、b2 的圆心构成的内拿破仑三角形， c2、a2、b2 三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形这两个拿破仑三角形还具有相同的中心19. 九点圆（ ninepointround 或欧拉圆或费尔巴赫圆） ：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点， 这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1） ）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2） ）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3） ）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理20. 欧拉（ euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上21. 欧拉（ euler）公式：设三角形的外接圆半径为r，内切圆半径为 r，外心与内心的距离为d，则 d2 =r2 2rr22. 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和23. 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1 的两部分；g( x axb3xc , y ay b3yc )重心性质：（ 1）设 g 为abc 的重心，连结 ag 并延长交 bc 于 d，则 d为 bc 的中点，则ag : gd2 : 1 ；（2） ）设 g 为abc 的重心，则s abgs bcgs acgs abc ；13（3） ）设 g 为abc 的重心，过 g 作 debc 交 ab 于 d，交 ac 于 e，过 g 作 pfac 交 ab 于 p，交 bc 于 f，过 g 作 hkab 交 ac于 k，交 bc 于 h，则 defpkh2 ; defpkh2 ；bcca（4） ）设 g 为abc 的重心，则ab3bccaab bc 2 ga 23ga 2gb 2ca 2gc 23gb 21 ( ab 23ab 2bc 23gc 2 ；ca 2 ) ； pa 2pb 2pc 2ga 2gb 2gc 23pg 2 （ p 为abc 内任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即ga 2gb 2gc 2最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则g 为abc 的重心）24. 垂心：三角形的三条高线的交点；xaah ( cos abxbcos bccos caxcy a, cos abybcos bcyccos c)a cos ab cos bc cos ca cos ab cos bc cos c垂心性质：（ 1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的 2 倍；（2） ）垂心 h 关于abc 的三边的对称点，均在 abc 的外接圆上；（3） ） abc 的垂心为 h，则abc， abh，bch，ach 的外接圆是等圆；（ 4） 设o， h分 别 为 abc的 外 心 和 垂 心 ， 则baoha , ccboab , hbcohc a25. 内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；i ( axaabxb bcxcc, ayaabybbcyc ) c内心性质：（1）设 i 为abc 的内心，则 i 到abc 三边的距离相等，反之亦然；（2）设i为abc的内心，则bic901a,2aic901b,2aib901c ；2（3） 三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若a 平分线交 abc外接圆于点k，i为线段ak 上的点且满足 ki=kb，则 i 为abc 的内心；（4） 设 i 为abc 的内心， bca, acb, abc,a 平分线交 bc 于 d，交abc 外接圆于点 k，则 aiidakikkikdbc ； a（5） 设 i 为abc 的内心， bca, acb, abc, i 在bc,ac, ab上的射影分别为 d,e, f， 内 切 圆半 径 为 r， 令 p1 (a2bc)， 则 s abcpr； aeafpa; bdbfpb; cecdpc ；abcrpaibici 26. 外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；o( sin 2 axasin 2 asin 2bx bsin 2bsin 2cx csin 2c, sin 2ayasin 2asin 2bybsin 2bsin 2cy c ) sin 2c外心性质：（ 1）外心到三角形各顶点距离相等；（2） ）设 o 为abc 的外心，则boc2a 或boc3602a ；（3） ） rabc 4 s；（ 4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和27. 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设abc的三边 bca, acb, abc, 令 p1 (ab2c) ，分别与bc, ac, ab 外侧相切的旁切圆圆心记为i a, i b , i c，其半径分别记为r a , rb , r c 旁心性质：（ 1）类似的式子）；1bi ac901a,2bi bcbi c c1a,（对于顶角 b，c 也有2（ 2）i ai b i c(a 2c) ；（ 3）设ai a 的连线交 abc 的外接圆于 d，则 di adbdc（对于bi b , ci c 有同样的结论）；（ 4） abc是iaibic 的垂足三角形，且 iaibic 的外接圆半径abc 的直径为 2rr 等于28. 三角形面积公式：s abc1 aha21 ab sin c 2abc 4r2 r 2 sinasinb sin ca 24(cot ab 2cot bc2cot c )prp( pa)( pb)( pc) ，其中ha 表示 bc 边上的高， r 为外接圆半径， r 为内切圆半径， p1 (a2bc) 29. 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：r4rsina sin b sin c ; r4rsina cos bcosc, rb4rcos asinb cosc, rc4rcos acos bsin c ;a222rabr, rr2, rc22r; 1222111 .222tanb tan c 22tana tan c 22tana tan br a22r brcr30. 梅涅劳斯（ menelaus）定理：设 abc 的三边 bc、ca、ab 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为p、q 、r则有bpcqar pcqarb1（逆定理也成立）31. 梅涅劳斯定理的应用定理1：设abc的a的外角平分线交边ca 于 q，c 的平分线交边 ab 于 r， b 的平分线交边 ca 于 q，则 p、q、r 三点共线32. 梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意abc 的三个顶点 a、b、c 作它的外接圆的切线，分别和bc、ca、ab 的延长线交于点p、q、r，则 p、q、r 三点共线33. 塞瓦(ceva)定理：设 x、y、z 分别为abc 的边 bc、ca、ab 上的一点，则 ax、by、cz 所在直线交于一点的充要条件是azbxcyzbxcya=1 34. 塞瓦定理的应用定理：设平行于abc的边 bc 的直线与两边ab、ac 的交点分别是d、e，又设 be 和 cd 交于 s，则 as 一定过边 bc 的中点 m35. 塞瓦定理的逆定理： （略）36. 塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点37. 塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设abc 的内切圆和边bc、ca、ab 分别相切于点 r、s、t，则 ar、bs、ct 交于一点38. 西摩松（simson ）定理：从 abc 的外接圆上任意一点p 向三边 bc、ca、ab 或其延长线作垂线，设其垂足分别是d、e、r，则 d、e、r 共线，（这条直线叫西摩松线simson line ）39. 西摩松定理的逆定理： （略）40. 关于西摩松线的定理1： abc 的外接圆的两个端点p、q 关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上41. 关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4 点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点42. 史坦纳定理：设 abc 的垂心为 h，其外接圆的任意点p，这时关于abc 的点 p 的西摩松线通过线段ph 的中心43. 史坦纳定理的应用定理：abc 的外接圆上的一点p 的关于边 bc、ca、ab 的对称点和 abc 的垂心 h 同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点p 关于abc 的镜象线44. 牛顿定理 1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线45. 牛顿定理 2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心， 三点共线46. 笛沙格定理 1：平面上有两个三角形 abc、def ，设它们的对应顶点（a 和 d、b 和 e、c 和 f）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线47. 笛沙格定理 2：相异平面上有两个三角形abc、 def，设它们的对应顶点（ a 和 d、b 和 e、c 和 f）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线48. 波朗杰、腾下定理：设 abc 的外接圆上的三点为 p、q、r，则 p、q 、 r 关 于 abc 交于 一 点 的 充 要 条 件 是 ： 弧 ap+ 弧 bq+ 弧cr=0(mod2 ) 49. 波朗杰、腾下定理推论 1：设 p、q、r 为abc 的外接圆上的三点， 若 p、q、r 关于abc 的西摩松线交于一点， 则 a、b、c 三点关于 pqr 的的西摩松线交于与前相同的一点50. 波朗杰、腾下定理推论 2：在推论 1 中，三条西摩松线的交点是 a、b、c、p、q、r 六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点51. 波朗杰、腾下定理推论 3：考查abc 的外接圆上的一点 p 的关于abc 的西摩松线，如设qr 为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点 p、q、r 的关于abc 的西摩松线交于一点52. 波朗杰、腾下定理推论 4：从 abc 的顶点向边 bc、ca、ab 引垂线， 设垂足分别是 d、e、f，且设边 bc、ca、ab 的中点分别是 l、m、n， 则 d、e、f、l、m、n 六点在同一个圆上， 这时 l、m、n 点关于关于 abc 的西摩松线交于一点53. 卡诺定理：通过 abc 的外接圆的一点p，引与abc 的三边 bc、ca、ab 分别成同向的等角的直线pd、pe、pf，与三边的交点分别是d、e、f，则 d、e、f 三点共线54. 奥倍尔定理：通过 abc 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与abc 的外接圆的交点分别是 l、m、n，在abc 的外接圆上取一点p，则 pl、pm、pn 与abc 的三边 bc、ca、ab 或其延长线的交点分别是 d、e、f，则 d、e、f 三点共线55. 清宫定理：设 p、q 为abc 的外接圆的异于 a、b、c 的两点， p 点的关于三边 bc、ca、ab 的对称点分别是 u、v、w，这时， qu、qv、qw 和边 bc、ca、ab 或其延长线的交点分别是 d、e、f，则 d、e、f 三点共线56. 他拿定理：设 p、q 为关于abc 的外接圆的一对反点，点 p 的关于三边 bc、ca、ab 的对称点分别是 u、v、w，这时，如果 qu、qv、qw 和边 bc、ca、ab 或其延长线的交点分别是 d、e、f，则 d、e、f 三点共线（反点： p、q 分别为圆 o 的半径 oc 和其延长线的两点，如果oc 2=oq op则称 p、q 两点关于圆 o 互为反点）57. 朗古来定理：在同一圆周上有 a1、b1 、c1 、d1 四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点 p，作 p 点的关于这 4 个三角形的西摩松线，再从p 向这 4 条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上58. 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心59. 一个圆周上有 n 个点，从其中任意 n 1 个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点60. 康托尔定理 1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n2 个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点61. 康托尔定理 2：一个圆周上有a、b、c、d 四点及 m、n 两点，则 m 和 n 点关于四个三角形 bcd、cda、dab、 abc 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做m、n 两点关于四边形abcd 的康托尔线62. 康托尔定理 3：一个圆周上有 a、b、c、d 四点及 m、n、l 三点，则m、n 两点的关于四边形abcd 的康托尔线、l、n 两点的关于四边形abcd 的康托尔线、 m、l 两点的关于四边形abcd 的康托尔线交于一点这个点叫做 m、n、l 三点关于四边形abcd 的康托尔点63. 康托尔定理 4：一个圆周上有 a、b、c、d、e 五点及 m、n、l 三点， 则 m、n、l 三点关于四边形bcde、cdea、deab 、eabc 中的每一个康托尔点在一条直线上