2024年重庆市长寿区春招数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年重庆市长寿区春招数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在实数−1，3，12，3.14中，无理数是(

)A.−1 B.3 C.12 D.2.如图是由6个完全相同的小正方体搭成的几何体，其箭头所指方向为主视方向，则这个几何体的俯视图是(

)A.B.

C.D.3.如图，AB//ED，若∠1=70°，则∠2的度数是(

)A.70°

B.80°

C.100°

D.110°4.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为(

)A.132

B.7

C.152

5.反比例函数y=k2x(k为常数，k≠0)A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限6.已知k=2(5+A.2 B.3 C.4 D.57.如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，连接AC，AD，BD，若∠C=20°，∠BPC=70°，则∠ADC=(

)A.70°

B.60°

C.50°

D.40°8.如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2C3C4C5…叫作“正方形的渐开线”，其中C1C2，C2C3，C3C4A.(−1,−2022) B.(−2023,1) C.(−1,−2023) D.(2022,0)9.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在BC的延长线上，且CE=2.连接AE，∠DCE的平分线与AE相交于点F，连接DF，则DF的长为(

)A.104

B.2103

10.新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”，若二次函数y=x2−2x+c(c为常数)在−1<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是A.254<c<7 B.4<c<254 C.二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.计算：|−12|+(−2023)12.一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球已经搅匀，从布袋中任取1个球，取出红球的概率是______．13.正九边形的每一个内角是______度.14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(−3,0)，(0,4).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______．15.某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______．16.如图，在Rt△ABC中，AB=6cm，BC=8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC=1：2，则四边形DFEG的面积为______．17.若关于y的不等式组y−m3>03y+15≥y−1有解，且关于x的方程2m18.我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x−[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x=[x]+{x}.如：[1.3]=1，{1.3}=0.3，1.3=[1.3]+{1.3}.下列说法中正确的有______个.

①[2.8]=2；②[−5.3]=−5；③若1<|x|<2，且{x}=0.4，则x=1.4或x=−1.4；④方程4[x]+1={x}+3x的解为x=0.25或x=2.75．三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

(1)先化简，再求值：x−3x−1⋅(1−2x−10x2−9)，其中x是1、2、3中的一个合适的数．20.(本小题10分)

如图，已知线段AC和线段a．

(1)用直尺和圆规按下列要求作图．(请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法)

①作线段AC的垂直平分线l，交线段AC于点O；

②以线段AC为对角线，作矩形ABCD，使得AB=a，并且点B在线段AC的上方．

(2)当AC=4，a=2时，求(1)中所作矩形ABCD的面积．21.(本小题10分)

某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．

(1)请把图1中缺失的数据，图形补充完整；

(2)请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；

(3)若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．

22.(本小题10分)

某移动公司推出A，B两种电话计费方式．计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/(元/min)被叫A782000.25免费B1085000.19免费(1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；

(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；

(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．23.(本小题10分)

某中学数学兴趣小组的同学们，对函数y=a|x−b|+c(a,b,c是常数，a≠0)的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．

(1)当a=1，b=c=0时，即y=|x|.当x≥0时，函数化简为y=x；当x<0时，函数化简为y=______．

(2)当a=2，b=1，c=0时，即y=2|x−1|．

①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表：x…−2−101234…y…6m20246…其中m=______．

②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=2|x−1|的图象．

(3)当a=−2，b=1，c=2时，即y=−2|x−1|+2．

①当x≥1时，函数化简为y=______．

②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数y=−2|x−1|+2的图象．

(4)请写出函数y=a|x−b|+c(a,b,c是常数，a≠0)的一条性质：______.(若所列性质多于一条，则仅以第一条为准)24.(本小题10分)

图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m，BC=0.6m，∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m.如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB′C′处，AB′与水平面的夹角∠B′AD=27°．

(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B′到地面l的距离；

(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C′处经过，有没有碰头的危险？请说明理由.(结果精确到0.01m，参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，3≈1.732)

25.(本小题10分)

如图，直线y=−x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x=32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若0<m<32，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

(3)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN=2ME26.(本小题10分)

在平行四边形ABCD中(顶点A，B，C，D按逆时针方向排列)，AB=12，AD=10，∠B为锐角，且sinB=45．

(1)如图1，求AB边上的高CH的长；

(2)P是边AB上的一动点，点C，D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C′，D′，

①如图2，当C′落在射线CA上时，求BP的长；

②当△AC′D′是直角三角形时，求BP的长．

参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.A

6.B

7.D

8.A

9.C

10.B

11.2

12.1413.140

14.(2,0)

15.2400x+416.4cm17.−5

18.1

19.解：(1)x−3x−1⋅(1−2x−10x2−9)

=x−3x−1⋅x2−9−2x+10x2−9

=x−3x−1⋅(x−1)2(x+3)(x−3)

=x−1x+320.解：(1)①如图，直线l即为所求．

②如图，矩形ABCD即为所求．

(2)∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC=90°，

∵a=2，

∴AB=CD=2，

∴BC=AD=AC2−AB2=4221.解：(1)本次调查的学生人数为：20÷20%=100(人)，

最喜欢去A地的人数为：100−20−40−25−5=10(人)，

补全条形统计图如下：

(2)研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×40100=144°；

(3)1200×25100=300(名)，

答：估计最喜欢去22.解：(1)设方式A的计费金额y1(元)，方式B的计费金额y2(元)，

根据表格数据可知，当0≤t≤200时，y1=78；当t>200时，y1=78+0.25(t−200)=0.25t+28；

当0≤t≤500时，y2=108；当t>500时，y2=108+0.19(t−500)=0.19t+13；

综上，y1=78(0≤t≤200)0.25t+28(t>200)，y2=108(0≤t≤500)0.19t+13(t>500)；

(2)选择方式B计费，理由如下：

当每月主叫时间为350min时，

y1=0.25×350+28=115.5，

y2=108，

∵115.5>108，

∴选择方式B计费；

(3)令y1=108，得0.25t+28=108，

解得：t=320，

∴当23.(1)−x；

(2)①4；

②如图1所示：

(3)①−2x+4；

②如图2所示：

(4)当a>0，函数y=a|x−b|+c有最低点(b,c)．

24.解：(1)如图，作B′E⊥AD，垂足为点E，

在Rt△AB′E中，

∵∠B′AD=27°，AB′=AB=1，

∴sin27°=B′EAB′，

∴B′E=AB′sin27°≈1×0.454=0.454，

∵平行线间的距离处处相等，

∴B′E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15，

答：车后盖最高点B′到地面的距离为2.15m．

(2)没有危险，理由如下：

过C′作C′F⊥B′E，垂足为点F，

∵∠B′AD=27°，∠B′EA=90°，

∴∠AB′E=63°，

∵∠AB′C′=∠ABC=123°，

∴∠C′B′F=∠AB′C′−∠AB′E=60°，

在Rt△B′FC′中，B′C′=BC=0.6，

∴B′F=B′C′⋅cos60°=0.3．

∵平行线间的距离处处相等，

∴C′到地面的距离为2.15−0.3=1.85．

∵1.85>1.8，

∴没有危险．25.解：(1)在直线y=−x+4中，当x=0时，y=4，当y=0时，x=4，

∴点B(4,0)，点C(0,4)，

设抛物线的解析式为y=a(x−32)2+k，

把点B(4,0)，点C(0,4)代入可得：

a(4−32)2+k=0a(0−32)2+k=4，

解得：a=−1k=254，

∴抛物线的解析式为y=−(x−32)2+254=−x2+3x+4；

(2)由题意，P(m,−m2+3m+4)，

∴PN=−m2+3m+4，

当四边形CDNP是平行四边形时，PN=CD，

∴OD=−m2+3m+4−4=−m2+3m，

∴D(0,m2−3m) N(m,0)，

设直线MN的解析式为y=k1x+m2−3m，

把N(m,0)代入可得k1m+m2−3m=0，

解得：k1=3−m，

∴直线MN的解析式为y=(3−m)x+m2−3m，

又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为x=32，

∴M(3−m,−m2+3m+4)，

∴(3−m)2+m2−3m=−m2+3m+4，

解得m1=6+213(不合题意，舍去)，m2=6−213；

∴当m为6−213时，四边形CDNP是平行四边形；

(3)存在，理由如下：

∵对称轴为x=32，

设P点坐标为(m,−m2+3m+4)，

26.解：(1)在▱ABCD中，BC=AD=10，

在Rt△BCH中，HC=BCsinB=10×45=8．

(2)①如图，作CH⊥BA于点H，

由(1)得，BH=BC2−CH2=102−82=6，

作C′Q⊥BA交BA延长线于点Q，则∠CHP=∠PQC′=90°，

∴∠C′PQ+∠PC′Q=90°，

∵∠C′PQ+∠CPH=90°，

∴∠PC′Q=∠CPH，

由旋转知PC′=PC，

∴△PQC′≌△CHP(AAS)．

设BP=x，则PQ=CH=8，C′Q=PH=6−x，QA=PQ−PA=x−4．

∵C′Q⊥AB，CH⊥AB，

∴C′Q//CH，

∴△AQC′∽△AHC，

∴C′QCH=QAHA，

∴6−x8=x−46，

∴x=347，

∴BP=347，

②由旋转得△PCD≌△PC′D′，CD=C′D′

CD⊥CD′

又∵AB/​/CD，

∴C′D′⊥AB

情况一：当以C′为直角顶点时，如图．

∵C′D′⊥AB，

∴C′落在线段BA延长线上