反比例函数知识点及典型例题

反比例函数知识点及考点：（一）反比例函数的概念：知识要点：1 、一般地，形如y =k( k 是常数 , k = 0 )的函数叫做反比例函数。x注意：（ 1 ）常数k 称为比例系数，k 是非零常数；（ 2 ）解析式有三种常见的表达形式：（ a ）y =k （ k 0 ） ，（ b ）xy = k （ k 0 ） （ c） y=kx -1（ k 0 ）x例题讲解：有关反比例函数的解析式111x1（ 1 ）下列函数， x( y2)1 .yx1 yx2 . y y 2 x y；其中是 y 关于23xx 的反比例函数的有： 。（ 2 ）函数 y(a2) xa22 是反比例函数，则a 的值是（）a 1b 2c 2d 2 或 21（ 3 ）若函数ym 1 ( m 是常数 )是反比例函数，则m ，解析式为 x（ 4 ）如果 y 是 m 的反比例函数，m 是 x 的反比例函数，那么y 是 x 的（）a. 反比例函数b 正比例函数c一次函数d 反比例或正比例函数练习：（ 1）如果 y 是 m 的正比例函数，m 是 x 的反比例函数，那么y 是 x 的（）（2）如果 y 是 m 的正比例函数，m 是 x 的正比例函数，那么y 是 x 的（）k（ 5 ）反比例函数y( k0）的图象经过（2 ， 5）和（2 ，n ），x求 1 ） n 的值；2）判断点b（ 42 ，2 ）是否在这个函数图象上，并说明理由（ 6 ）已知 y 与 2 x 3 成反比例，且x1 时， y 2，求 y 与 x 的函数关系式4（ 7 ）已知函数yy1y2 ，其中y1 与 x 成正比例 ,y2 与 x 成反比例，且当x 1 时， y 1；x 3 时， y 5 求：（ 1）求 y 关于 x 的函数解析式；（ 2）当 x 2 时， y 的值( 二)反比例函数的图象和性质： 知识要点：1 、形状：图象是双曲线。2 、位置：（1 ）当 k0 时,双曲线分别位于第 象限内；（ 2）当 k0 时, ,y 随 x 的增大而 ；（ 2 ）当 k0 时, ,y 随 x 的增大而 。4 、变化趋势：双曲线无限接近于x、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5 、对称性：（1 ）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点 ；（ 2）对于 k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y =例题讲解：反比例函数的图象和性质：6和 y =x6）来说，它们是关于x 轴， y 轴 。x（ 1 ）写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限（ 2 ）若反比例函数y( 2m1) xm22的图象在第二、四象限，则m 的值是（）a 、 1 或 1;b 、小于1的任意实数 ;c、 1;、不能确定2（ 3 ）下列函数中，当x0 时， y 随 x 的增大而增大的是（）a y3 x4b y21 x23c. y4xd. y12 x（ 4 ）已知反比例函数y的图象上有两点a（xx1 ，y1 ）， b（x2 ，y2 ）， 且 x1x2 ，则 y1y2 的值是（）a 正数b负数c非正数d 不能确定（ 5 ）若点（x ， y ） 、 （ x ，y ）和（x ， y ）分别在反比例函数y2的图象上，且112233xx1x20x3 ，则下列判断中正确的是（）a y1y2y3b. y3y1y2c y2y3y1 k1d y3y2y1（6）在反比例函数y的图象上有两点x( x1，y1 )和 ( x2， y2 ) ，若 x10x2 时， y1y2 ，则 k 的取值范围是（ 7 ）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:甲:函数的图象经过第二象限;乙:函数的图象经过第四象限;丙:在每个象限内 ,y 随 x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数:.（ 8 ）作出反比例函数y4 的图象，结合图象回答：x(1) 当 x 2 时， y 的值；(2) 当 1 x 4 时， y 的取值范围；(3) 当 1 y 4 时， x 的取值范围ypnm0x3（三）反比例函数与面积结合题型。知识要点：yp1 、反比例函数与矩形面积：nk若 p(x，y)为反比例函数y(k0) 图像上的任意一点如图1 所示，过 p作xmoxpm x 轴于 m，作 pny 轴于 n，求矩形pmon 的面积 .分析： s 矩形 pmon= pmpnyxxy图 1 yk x, xy=k, s = k .2 、反比例函数与矩形面积：yk若 q(x，y)为反比例函数y(k0) 图像上的任意一点如图2 所示，过 q 作 qaxxkbqoax轴于 a(或作 qb y 轴于 b)，连结qo ，则所得三角形的面积为：s qoa =（或2sqob =k图） .说明： 以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.2（ 1 ）如图 3，在反比例函数y6 （ x 0）的图象上任取一点p ，过 p 点分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分x别为 m、n，那么四边形pmon 的面积为ymnox图 4yaobxc图 6图 5图 7k（ 2 ） 反比例函数y的图象如图4 所示，点m 是该函数图象上一点，mn x 轴，垂足为n.如果 smon =2 ，x这个反比例函数的解析式为 2(3) 如图 5 ，正比例函数ykx (k0) 与反比例函数y的图象相交于a、 c 两点，x过点 a 作 ab x 轴于点 b，连结 bc 则 abc 的面积等于（）a 1b 2c 4d 随 k 的取值改变而改变（ 4 ）如图 6，a、b 是函数 y为 s ，则（）2 的图象上关于原点对称的任意两点，bc x 轴， ac y 轴， abc 的面积记xa s2b. s4c. 2s4d. s4（ 5 ）如图 7，过 y 轴正半轴上的任意一点p，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数y4 和y x2的图象交于点xa 和点 b，若点 c 是 x 轴上任意一点，连接ac、bc，则abc 的面积为（）( 四)一次函数与反比例函数(1) 一次函数 y= 2x+1 和反比例函数y=的大致图象是（）a 、b 、c、(2) 一次函数 ykxk(k0) 和反比例函数yk ( k x0) 在同一直角坐标系中的图象大致是()k2（ 3 ）一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y2=x（ k 1?k2 0 ）的图象如图所示，若y1 y 2，则 x 的取值范围是（）a 、2 x 0 或 x 1b 、2 x 1c、x2 或 x 1d 、x2 或 0 x 1（ 4 ）正比例函数xy和反比例函数y 22的图象有个交点x（ 5 ）正比例函数y=k 1x(k 10) 和反比例函数y= k2x(k 20) 的一个交点为(m,n), 则另一个交点为 .（ 6 ）设函数y= 2x与 y=x1 的图象的交点坐标为（a，b），则 11 的值为abk(7) 如图， rt abo 的顶点 a 是双曲线y与直线 yxmx? 在第二象限的交点，ab 垂直 x 轴于 b，且 sabo 3 ，2则反比例函数的解析式(8) 若反比例函数yk 与一次函数y 3x b 都经过点 (1 ，4) ，则 kb x（第（ 7）题）m（ 9 ）如图，已知a （ 4， a），b （ 2， 4）是一次函数y kx b 的图象和反比例函数y的图象的交x点（ 1 ）求反比例函数和一次函数的解祈式；（ 2 ）求 a0b 的面积(10) 如图 ,在平面直角坐标系中，直线yxk 与双曲线y2k在第一象限交于点a，x与 x 轴交于点c， ab x 轴，垂足为b，且s aob1 求：（ 1 ）求两个函数解析式；（ 2）求 abc 的面积（ 11 ）平面直角坐标系中，直线 ab 交 x 轴于点 a，交 y 轴于点 b 且与反比例函数图象分别交于 c、d 两点， 过点 c 作 cm x 轴于 m ，ao=6 ，bo=3 ，cm=5 求直 线ab 的解析式和反比例函数解析式（五）反比例函数的应用： 例题讲解：1. 一个水池装水12 立方米，如果从水管中每小时流出x 立方米的水，经过y 小时可以把水放完，那么y 与 x的函数关系式是 ，自变量x 的取值范围是 2. 三角形的面积为6cm 2 ，如果它的一边为ycm ，这边上的高为xcm ，那么 y 与 x 之间是 函数关系， 以 x 为自变量的函数解析式为 3. 长方体的体积为40cm 3，此长方体的底面积y(cm 2)与其对应高x(cm) 之间的函数关系用图象大致可以表示为下面的 () 4. 下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是() (a) 小明完成百米赛跑时，所用时间t(s) 与他的平均速度v(m/s) 之间的关系(b) 长方形的面积为24，它的长y 与宽 x 之间的关系(c) 压力为 600n 时，压强p(pa) 与受力面积s(m 2 )之间的关系(d) 一个容积为25l 的容器中，所盛水的质量m (kg) 与所盛水的体积v(l) 之间的关系5. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：体积 x(ml)10080604020压强 y(kpa)6075100150300则可以反映y 与 x 之间的关系的式子是()(a) y 3000 x(b) y 6000 x(c)y3000(d)x6000yx6. 甲、乙两地间的公路长为300km ，一辆汽车从甲地去乙地，汽 车 在 途中的平均速度为v(km/h) ，到达时所用的时间为t (h)，那么t 是v 的函数，v 关于 t 的函数关系式为 7. 农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房 ( 如图所示 )，则需要塑料布y(m 2)与半径r(m) 的函数关系式是 (不考虑塑料埋在土里的部分) 8. 有一面积为60 的梯形，其上底是下底长的三分之一，若下底长为x，高为 y，则 y 关于 x 的函数关系式是()(a) y45 (x0)x(b) y30 ( x0)x(c) y90 ( x0)x(d) y15 ( x0)x9. 一个长方体的体积是100cm 3，它的长是y(cm) ，宽是 5cm ，高是 x(cm) (1) 写出长 y(cm) 关于高 x(cm) 的函数关系式，以及自变量x 的取值范围；(2) 画出 (1) 中函数的图象；(3) 当高是 3cm 时，求长10 一个气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p(kpa) 是气体体积v(m 3)的反比例函数，其图象如图所示(1) 写出这一函数的解析式；(2) 当气体体积为1m 3 时，气压是多少？(3) 当气球内的气压大于140kpa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？11 某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克 )与时间 x(分钟)成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例 (如图所示 )，现测得药物8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 毫克，请根据题图中所提供的信息解答下列问题：(1) 药物燃烧时y 关于 x 的函数关系式为 ，自变量 x 的取值范围是 ；药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为 (2) 研究表明，当空气中每立方米的含药量小于1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 分钟后，学生才能回到教室；(3) 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？练习1. 反比例函数的概念（1） 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）a y=3xbc 3xy=1d（2） 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（）ab cd 2 图象和性质（1）已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k= 若 y 随 x 的增大而减小，那么k= （ 2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第 象限（ 3）若反比例函数经过点（， 2 ），则一次函数的图象一定不经过第 象限（ 4）已知 a b 0，点 p（a ，b ）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是 （ ）a第一象限b 第二象限c第三象限d第四象限（ 5）若 p（ 2， 2）和 q（ m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）a第一、二、三象限b 第一、二、四象限c第一、三、四象限d第二、三、四象限（ 6 ）已知函数和（ k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）a. b cd 3 函数的增减性（ 1）在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（）a 正数b负数c 非正数d 非负数（2 ）在函数（ a 为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（）a b cd（3 ）下列四个函数中：； ； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（）a 0 个b 1 个c 2 个d 3 个（4 ）已知反比例函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当x 0 时，这个反比例函数的函数值y 随 x 的增大而（填 “增大 ”或“减小 ”）4. 解析式的确定（1 ）若与成反比例，与成正比例，则y 是 z 的 （ ）a 正比例函数b 反比例函数c 一次函数d不能确定（ 2）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（ 2 ，m ），则 m= ，k= ， 它们的另一个交点为 （ 3 ）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值（ 4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为p （ x 0，3）求 x 0 的值； 求一次函数和反比例函数的解析式5. 面积计算（ 1 ）如图，在函数的图象上有三个点a、b、c，过这三个点分别向x 轴、 y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、，则（）a bcd第（ 1）题图第（ 2 ）题图（2） ）如图， a、 b 是函数的图象上关于原点o 对称的任意两点，ac/y轴， bc/x 轴， abc的面积 s ，则（）a s=1b 1 s 2c s=2d s 2（3） ）如图， rt aob 的顶点 a 在双曲线上，且 s aob=3 ，求 m 的值第（ 3）题图第（ 4）题图（4） ）已知函数 的图象和两条直线 y=x ， y=2x 在第一象限内分别相交于 p1 和 p2 两点，过p1分别作 x 轴、 y 轴的垂线 p1q1 ，p1r1 ，垂足分别为 q1 ， r1 ，过 p2 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 p2 q 2， p2 r 2 ，垂足分别为 q 2 ， r 2 ，求矩形 o q 1p1 r 1 和 o q 2p2 r 2 的周长，并比较它们的大小（ 5）如图，正比例函数y=kx （ k 0 ）和反比例函数的图象相交于a 、c 两点，过a 作 x