高数——大一复习总结

;.;.高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数函数基础（高中函数部分相关知识）（）无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设fx为有界函数，g x 为无穷小， 则 limfxgx0（定理四） 在自变量的某个变化过程中，若 fx为邻域（去心邻域） （ ）无穷大， 则 f1x 为无穷小； 反之， 若 fx为无ua,x | xa穷小，且fx0 ，则f1 x为无穷大ua,x | 0xa【题型示例】计算：limxx0fxgx（或 x）第二节数列的极限数列极限的证明（）1. fx m 函数fx在 xx0 的任一去心【题型示例】已知数列xn，证明 limxnax邻域 ux0 ,内是有界的；【证明示例】n 语言（fx m ，函数fx在 xd 上有界；）1. 由 xna化简得 ng，2. limg x0 即函数 g x是 xx0 时的无穷小；xx0 ng2. 即对0 ，ng，当 nn 时，始终（ lim g xx0 即函数 g x是 x时的无穷小； ）有不等式xna成立，3. 由定理可知limxx0fxgx0 limxna（ limxfxgx0 ）x第三节函数的极限 xx0 时函数极限的证明（）第五节极限运算法则极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则【题型示例】已知函数fx，证明limfxa（定理二）乘除法则【证明示例】语言xx0关于多项式px 、 q x商式的极限运算1由fxa化简得0xxg，gp x01mx00设：a xma xm 1a2即对0 ，g，当0xx0时，q xbnb xn 1b1nnm始终有不等式fxa成立，则有 limp xa0nm limfxaxq xb0xx00nm x时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数fx，证明lim fxaxf x0g xgx00【证明示例】x 语言1. 由fxa化简得xg，fxlimxx0 gx0gx00, fx00 xg00gx0fx002. 即对0 ，xg， 当 xx 时，始终有不等式fxa成立，（特别地，当fxlimxx0 gx0（不定型）时，通常分0 lim fxax第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大的本质（）子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）2函 数 fx无穷小limfx0【题型示例】求值limx3函 数 fx无穷大limfxx3 x9【求解示例】解：因为x3，从而可得x3 ，所以原x 12 x3x 1x 12 x122解：limlimlim1式limx3limx3lim11x2 x1x2x12x 12 x1x3 x29x3x3x3x3 x362 x 12x 12x 12x 12 x 1x3lim1222 x 1lim122其中 x3 为函数fx2的可去间断点x92 x 12x12 x 12 x1倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：02 x 122lim2 x 12x 12 x 1lim2 x 12x 12 x 10x3lim1e解： limx3limlim112 x 12 x1x3 x29 l x32x9x3 2 x6lime2 x 12x 212x 1ee连续函数穿越定理（复合函数的极限求解） （）（定理五）若函数fx是定义域上的连续函数，那第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）么， limfxflimx等价无穷小（）xx0xx0u sin u tanu1. u arcsinu arctanu ln(1u )【题型示例】求值：limx3e12x3x9x3x3162 1 u 2 12cosu【求解示例】lim2lim2（乘除可替，加减不行）x3x9x3 x966【题型示例】求值：limln 1xx ln 1x第六节极限存在准则及两个重要极限【求解示例】x0x3x夹迫准则（ p53）（）解：因为 x0,即x0,所以原式lim ln 1xx ln 1x第一个重要极限：limsin x11xln 1xx 01xxx3x2x11x0xlimlimlimx 0x x3x 0 x x3x 0 x33x0,， sin xxtanx limsin x1第八节函数的连续性2x0x函数连续的定义（）x1lim1limfxlimfxfxlimlimx010xx0xx0x0 sin xx0 sin xlimsin x间断点的分类（p67）（）xx0x跳越间断点（不等）（特别地，limxx0sin( xx0 )1） xx0第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）单调有界收敛准则（p57）（）第二类间断点无穷间断点（极限为）1x（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）第二个重要极限：lim1exx【题型示例】设函数fxe2 x， x0 应该怎样选（一般地，g xlimfxlim fxlim g x，其中axx0limfx0 ）择数 a ，使得【求解示例】fx成为在 r 上的连续函数？【题型示例】求值：【求解示例】x 1lim2x3x2x1f01f0f0e2 0a0 ae1e a2. 由连续函数定义limfxlimfxf0e2x0x0 ae第九节闭区间上连续函数的性质零点定理（）【题型示例】 证明： 方程 fxgxc 至少有一个根【题型示例】求函数【求解示例】由题可得f1 xfx的导数为直接函数，其在定于域d1介于 a 与 b 之间【证明示例】1（建立辅助函数）函数xfxgxc 在上单调、可导，且fx0 ；复合函数的求导法则（）f1xfx闭区间a, b 上连续；【题型示例】设y【求解示例】ln earcsinx 2 1x2a2，求 y2ab0 （端点异号）1arcsin x2 122解： yexa3. 由零点定理，在开区间a,b内至少有一点，使2earcsin x 1x2a2得0 ，即fgc0（ 01 ）x21224. 这等式说明方程fxgxc 在开区间内至少有一个根第二章导数与微分a,bearcsin1x2 1x2a2earcsinx2 121 x12xxa2 x2a2第一节导数概念高等数学中导数的定义及几何意义（p83）（）arcsin1earcsinx2 122x2 12x212x222【题型示例】 已知函数fxex1x0在x0，exa2x2xaaxbx01arcsin x2 122earcsinx2 1xx2222处可导，求a ， b【求解示例】0f0e01e012e xa第四节高阶导数x12xxa1f0f0e1 ，af0b0 f nxfn 1x（或d n yd ny1）（）f0e12dxndx n 12由函数可导定义【题型示例】求函数yln 1x 的 n 阶导数f0f0a1f0f0f0b2 a1,b2【求解示例】y11x1 ，1x【题型示例】求yf x在 xa 处的切线与法线方程1y1x211x，（或：过yfx 图像上点a, fa处的切线与法线23方程）【求解示例】y11x121x1. yfx ， y |x afay n(1)n 1(n1)！(1x) n2. 切线方程：yfafaxa第五节隐函数及参数方程型函数的导数法线方程：yfa1xa隐函数的求导（等式两边对x 求导）（）fa【题型示例】试求：方程yxey 所给定的曲线c ：第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则函数和（差） 、积与商的求导法则（）yy x 在 点 1e,1的切线方程与法线方程y1. 线性组合（定理一） ： (uv)uv【求解示例】由yxe两边对 x 求导特别地，当1时，有 (uv)2. 函数积的求导法则（定理二）： (uv)uvu vuv即 yxey 1化简得 y 11eyy3. 函数商的求导法则（定理三）：u u vuvv v2 y1e11e1第三节反函数和复合函数的求导法则反函数的求导法则（）切线方程：y1x1e1e法线方程：y11ex1ex0 ，函数 fx在闭区间0, x 上连续，在开区参数方程型函数的求导x【题型示例】设参数方程ytd 2 y，求tdx2间0,上可导，并且fx1；1x2 由拉格朗日中值定理可得，0, x 使得等式【求解示例】 1. dydxdytd 2 ydxt2. dx 2tln1xln10111x0 成立，第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节函数的微分化简得ln1xx ，又0, x ，11基本初等函数微分公式与微分运算法则（） f1 ， ln 1x11 xx，dyfxdx即证得：当x1 时， exe x第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理引理（费马引理） （）罗尔定理（）【题型示例】 现假设函数fx 在 0,上连续，在0,第二节罗比达法则运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1. 等价无穷小的替换（以简化运算）2. 判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件上可导，试证明：0,，0a 属于两大基本不定型（,）且满足条件，使得 fcosfsin0 成立0fxfx【证明示例】1（建立辅助函数）令xfxsin x则进行运算：limlimxa gxxa gx（再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出）显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；b 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） 0型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：lim xln x2又0f0 sin00fsin0x0【求解示例】1即00解：lim xln xlimln xlimln xlimx3. 由罗尔定理知x0x01l x0x21x0x10,，使得 fcosfsin0 成立xx拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x1时， exex1 lim x0a x0【证明示例】（一般地，lim xln x0 ，其中,r ）1（建立辅助函数）令函数fxex ，则对x0x1 ，显然函数fx在闭区间1, x上连续，在开区间型（通分构造分式，观察分母）1, x上可导，并且fxex ；2由拉格朗日中值定理可得，1,x 使得等式【题型示例】求值：【求解示例】lim11x0sin xxx1eex1e 成立，11xsin xxsin x解：limlimlim21x11x0sin xxx0x sin xx0x又 ee ，e ex1 ee xe，00化简得 exe x ，即证得：当x1 时， exex0xlimsin xlim 1cos x 0 lim1cosxlim sin x0【题型示例】证明不等式：当x0 时， ln 1xxl x002xx02xl x02xx02【证明示例】1（建立辅助函数）令函数f xln 1x ，则对 0 型（对数求极限法）【题型示例】求值：lim x000xx0【求解示例】(1)0(2)01(3)x解：设yx ,两边取对数得：ln yln xx ln xln x 1xx0通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）对对数取 x0时的极限：limln ylim ln xlimln x取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）x 0x 01l x 01取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）xx第三节泰勒中值定理（不作要求）1第四节函数的单调性和曲线的凹凸性limxlim xx01x 020，从而有lim ylim eln y x 0x 0lim ln yex 0e01连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数fx2x39x212 x3 的x 1 型（对数求极限法）1【求解示例】单调区间【题型示例】求值：limcosxsin x x1函数fx在其定义域r 上连续，且可导x0【求解示例】1ln cos xsin x fx6x218x12解：令 ycosxsin xx , 两边取对数得ln y,2令 fxx6x1x20，解得：x11, x22对 lny求x0时的极限，limln ylimln cos xsin x3（三行表）00ln cos xsin xx 0xcos x0xsin x10x,111,222,fx00limlim1,从而可得l x 0xln ylim ln yx 0 cos x1sin x10fx极大值极小值lim y= lim eex 0eex 0x00型（对数求极限法）4函数fx的单调递增区间为,1 , 2,； 单调递减区间为1,2【题型示例】求值：limtan x1【题型示例】证明：当【证明示例】x0 时， exx1【求解示例】x0x1（构建辅助函数）设xexx1 ，（ x0）解：令 ytan x1, 两边取对数得ln ytan x ln1,2. xex10 ，（ x0 ）xxx00对 lny求x0时的极限，lim ln ylimtan x ln13. 既证：当x0 时， exx1x0x0x1【题型示例】证明：当【证明示例】x0 时， ln 1xxlimln xlimln xlimx1（构建辅助函数）设xln 1xx ，（ x0 ）x01tan x0lx01tan xx0sec2 x tan2 x2x110 ，（ x0 ）1xsin 2 x 0sin 2 x2sin xcos xx00limlimli m0,x0xl x0xx013既证：当x0 时， ln 1xxln ylim ln y0从而可得lim y= lime ex 0e1x0x0运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）连续函数凹凸性（）【题型示例】 试讨论函数y凹凸性及拐点【证明示例】13x2x3 的单调性、 极值、y3x26 x13xx2【求解示例】1. 函数fx在其定义域1,3上连续，且可导y6x66x1 fx3x23y3 xx2. 令20x解得：10, x222令 fx3 x1x10 ，y6x10x13（四行表）(,0)0(0,1)1(1,2)2(2,)00x y y3y1(1,3)5解得： x11,x213（三行表）x11,111,3fx00fx极小值极大值4函数 y13x2x 单调递增区间为(0,1) , (1,2)4又f12, f12, f318单调递增区间为(,0) , (2,) ；23 fxmaxf12, fxminf318函数y13xx 的极小值在x为 f01，0 时取到，第六节函数图形的描绘（不作要求） 第七节曲率（不作要求）极大值在 x2 时取到，为23f25 ；第八节方程的近似解（不作要求）第四章不定积分3函数 y13xx 在区间 (,0) , (0,1) 上凹， 在区间 (1,2) , (2,) 上凸；第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念（）函数 y13x2x 的拐点坐标为1,3原函数的概念：第五节函数的极值和最大、最小值函数的极值与最值的关系（）设函数fx的定义域为d ，如果xm 的某个邻假设在定义区间 i 上，可导函数 f x 的导函数为 f x ，即当自变量 x i 时，有 f x f x 或df x f x dx 成立，则称 f x 为 f x 的一域uxmd ，使得对xuxm，都适合不个原函数等式 fxfxm，原函数存在定理： （）如果函数fx在定义区间i 上连续，则在i 上我们则称函数fx在点xm ,f xm处有极大必存在可导函数fx使得 fxfx，也就是值 fxm；说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）令 xmxm 1 , xm 2 , xm 3 ,., xmn不定积分的概念（）则函数fx在闭区间a, b 上的最大值m 满足：在定义区间i 上，函数fx 的带有任意常数项mmaxfa , xm 1, xm 2, xm 3,., xmn, fb；c 的原函数称为fx 在定义区间i 上的不定积分，设函数fx的定义域为d ，如果xm 的某个邻域即表示为：fx dxfxc（称为积分号，fx称为被积函数，fxdx 称uxmd ，使得对xuxm，都适合不等为积分表达式，x 则称为积分变量）式 fxfxm，基本积分表（）我们则称函数fx 在点xfx处有极小值不定积分的线性性质（分项积分公式）（）fxm；m,mk1 fxk2 gxdxk1fx dxk2gx dx第二节换元积分法令 xmxm1 , xm2 , xm3 ,., xmn第一类换元法（凑微分）（）则函数fx在闭区间a, b 上的最小值m 满足：（ dyfxdx 的逆向应用）mminfa , xm1, xm2, xm3,., xmn ,fb；fxx dxfxdx【题型示例】求函数fx3xx3 在1,3 上的最值【题型示例】求【求解示例】1a2x2 dx第三节分部积分法分部积分法（）设函数 ufx ， vgx具有连续导数， 则其解：1dx1dx11dx1 arctanxc分部积分公式可表示为：udvuvvdua2x 2【题型示例】求【求解示例】1xa1xaa1dx 2 x1aaa22分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指”运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分： （ vdxdv ）使用分部积分公式：udvuvvdu解：1dx11d 2 x11d 2 x12x12x1c22 x122 x1展开尾项vduv u dx ，判断a. 若v u dx 是容易求解的不定积分，则直接计第二类换元法（去根式）（）（ dyfxdx 的正向应用）对于一次根式（a0,br ）：t 2b算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b. 若v u dx 依旧是相当复杂，无法通过a 中方axb ：令 taxb ，于是 x，a则原式可化为t法求解的不定积分，则重复、，直至出现 容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数c对于根号下平方和的形式（a0 ）：x 222ax：令xa tant （t），22【题型示例】求【求解示例】ex dx于是 tarctanx，则原式可化为asect ；解： exx 2dxx2ex dxx2 dexx2 exex dx2a对于根号下平方差的形式（a0 ）：x 2ex2x ex dxx 2ex2x dexa. a2x2 ：令 xa sint （t），x 2ex2 xex2exdxx2 ex2xex2excxxx于是 tarcsin x ，则原式可化为22a cost ；【题型示例】求【求解示例】exsin xdxxa解： e22sin xdxe dcos xe cosxcos xd eb. xa：令xasect （ 0t），2ex cos xex cos xdxex cosxexdsin x于是 tarccos a，则原式可化为a tant ；ex cos xex sin xsin xdexxxxxx1e cos xe sin xesin xdxxx【题型示例】求2 x1dx （一次根式）即： exsin xdxecosxe sin xsin xde【求解示例】exsinxdx1 exsin xcos xc解：1dxt2 x 11 tdtdttc2x1c2t2x1【题型示例】求1 2 1xt22dx tdta 2x2 dx （三角换元）第四节有理函数的不定积分有理函数（）pxpxa xma xm 1a设：01m2【求解示例】qxq xb xnb xn 1b解：a2x2 dxx a sin t (t) 22xa2cos2 tdta1cos 2t dt01np xt arcsina对于有理函数，当 px 的次数小于qx 的22at1dx a cos ta2sin 2tctqxsin t costcpx222次数时，有理函数是真分式；当px的次数qx大于 qx 的次数时，有理函数p x是假分式q x第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质定积分的定义（）有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）p xbfx dxanlimfixii将有理函数的分母 qx 分拆成两个没有0 i 1q x公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示k（ fx 称为被积函数，fx dx 称为被积表达式，x则称为积分变量， a 称为积分下限， b 称为积分上限，为一次因式二次质因式xa；而另一个多项式可以表示为lx2pxq，（ p 24q0 ）；a,b 称为积分区间）定积分的性质（）bb即： qxq1xq2xfx dxfu duaa一般地：mxnmxn，则参数 anmmafx dx0abbax2bxcax2b xckfxdxkafx dxa则参数 paab , qca a（线性性质）bk1 fxk2gxdxk1a（积分区间的可加性）bf x dxk2abg x dxa则设有理函数p x的分拆和式为：q xbcbfx dxfx dxfx dxaacp xp1xp2x若函数fx 在积分区间a, b 上满足fx0 ，kq xxalx2pxqb则fx dx0 ；a其中（推论一）p1xa1a2.ak若函数fx 、函数 gx 在积分区间a, b 上满k2kxaxaxaxa足 fxgx，则b bfx dxgx dx ；aa2p2xm 1 xn1m 2 xn2bblx2pxqx2pxqx2pxq（推论二）fx dxafx dxa.参 数m l xnllx2pxqm 1a1, a2 ,., ak ,nm 2,.,nml由 待 定 系n积分中值定理（不作要求） 第二节微积分基本公式牛顿 - 莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数fx 是连续函数fx 在区间a,b 上的一个原函数，则12l数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解x2bfx dxfbfaa变限积分的导数公式（）（上上导下下导）【题型示例】求【求解示例】dx （构造法）x1dxdxxft dtfxxfxx2xx1 xx111【题型示例】求lim1cos xt 2edtdxdxx1dxx0x2