近世代数期末考试试卷及答案

.一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。1、设 g 有 6 个元素的循环群， a 是生成元，则g的子集（）是子群。;.a、 ab、a, ec 、 e, a 3d 、 e, a, a 32、下面的代数系统（g， *）中，（）不是群a、g为整数集合， * 为加法b、g为偶数集合， * 为加法c、g为有理数集合， * 为加法d、g为有理数集合， * 为乘法3、在自然数集n上，下列哪种运算是可结合的？（）a、a*b=a-bb、a*b=maxa,b c、 a*b=a+2bd、a*b=|a-b|4、设1 、2 、3 是三个置换， 其中1 =（12）（23）（13），2 =（24）（14），3 =2（ 1324），则3 =（）2a、1b、12c 、2d、215、任意一个具有2 个或以上元的半群，它（）。a、不可能是群b、不一定是群c、一定是群d、是交换群二、填空题( 本大题共10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、凯莱定理说：任一个子群都同一个-同构。2、一个有单位元的无零因子称为整环。3、已知群 g 中的元素 a 的阶等于 50，则a 4 的阶等于 -。4、a 的阶若是一个有限整数n，那么 g与-同构。5、a=1.2.3b=2.5.6那么 ab=。6、若映射既是单射又是满射，则称为-。an7 、叫 做 域 f的 一 个 代 数 元 ， 如 果 存 在 f的 -a 0 , a1 , an 使 得a 0a1n0 。8、a 是代数系统( a,0) 的元素，对任何 xa均成立 xax，则称 a 为-。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合g 作成一个群，如果满足g对于乘法封闭；结合律成立、-。10、一个环 r对于加法来作成一个循环群，则p 是-。三、解答题（本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、设集合a=1,2,3g是 a 上的置换群， h 是 g的子群， h=i,(1 2)，写出 h的所有陪集。2、设 e 是所有偶数做成的集合，“”是数的乘法，则“”是 e 中的运算，（ e，）是一个代数系统，问（e，）是不是群，为什么？3、a=493, b=391,求(a,b), a,b和 p, q 。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、若 是群，则对于任意的a、b g，必有惟一的xg使得 a*x b。2、设m是一个正整数，利用 m定义整数集 z上的二元关系：a? b当且仅当 mab。近世代数模拟试题三一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。1、6 阶有限群的任何子群一定不是（）。a、2 阶b、3 阶c、4 阶d、 6阶2、设 g是群， g有（）个元素，则不能肯定g是交换群。a、4 个b、5 个c、6 个d、7 个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。a、偶数b、奇数c、4 的倍数d、2 的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）a、（n,）b、（ z,）c、（2,3,4,6,12,|（整除关系）d、 (p(a),)5、设 s3(1)，(12) ，(13) ，(23) ，(123) ，(132) ，那么，在 s3 中可以与 (123)交换的所有元素有（）a、(1) ， (123) ，(132)b、12) ，(13) ，(23)c、(1) ， (123)d、s3中的所有元素二、填空题( 本大题共10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是 -的，每个元素的逆元素是-的。2、如果 f 是 a 与 a 间的一一映射，a 是 a 的一个元，则f1fa-。3、区间1 ， 2 上的运算 abmina, b的单位元是 -。4、可换群 g中|a|=6,|x|=8,则|ax|= 。5、环 z8 的零因子有-。6、一个子群h的右、左陪集的个数-。7、从同构的观点，每个群只能同构于他/ 它自己的 -。8、无零因子环r中所有非零元的共同的加法阶数称为r的-。9、设群 g 中元素 a 的阶为 m ，如果 a ne ，那么 m 与 n 存在整除关系为 -。三、解答题（本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、用 2 种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、s1， s2 是 a 的子环，则s1 s2 也是子环。 s1+s2 也是子环吗？3、设有置换(1345)(1245) ，( 234)( 456)s6 。1求和1；2确定置换和1的奇偶性。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分） 1、一个除环r只有两个理想就是零理想和单位理想。2、m为含幺半群，证明b=a-1 的充分必要条件是aba=a 和 ab2 a=e。近世代数模拟试题一参考答案一、单项选择题。1、c；2、d；3、b；4、c；5、d；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空3 分，共 30 分) 。1、1,1 , 1,0 ,1,12,1 ,2,0 ,2,1；2、单位元； 3、交换环； 4、整数环； 5、变换群； 6、同构;7 、零、 -a；8、s=i 或 s=r ；9、域； 三、解答题（本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分） 1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：(1653)( 247)(8)(123)( 48)(57 )( 6)可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积：(13)(15)(16)( 24)( 27)(13)(12)( 48)( 57)b2、解：设 a 是任意方阵，令1 ( a2a )c，1 ( a2a )，则 b是对称矩阵，而 c 是反对称矩阵，且abc 。若令有 ab1c1 ，这里b1 和c1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则bb1c1c ，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即： bb1 ， cc1 ，所以，表示法唯一。3、答：（ m m ，m ）不是群，因为m m 中有两个不同的单位元素0 和 m。四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、对于 g 中任意元x，y，由于(xy)2e ，所以 xy( xy) 1y 1 x 1yx （对每2个 x， 从 xe 可得 x1x）。2、证明在 f 里ab 1b 1 aa (a, b br, b0)有意义，作f 的子集q所有 a b(a, br,b0)q 显然是 r的一个商域证毕。近世代数模拟试题二参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分) 。1、c；2、d；3、b；4、b；5、a；二、填空题 ( 本大题共 10 小题，每空3 分，共 30 分) 。1、变换群； 2、交换环； 3、25；4、模 n 乘余类加群； 5、2 ；6、一一映射； 7、不都等于零的元；8、右单位元； 9、消去律成立； 10、交换环；三、解答题（本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解： h的 3 个右陪集为： i,(12) ，(12 3 ) ，(13) ，(13 2 ) ， (2 3 )h的 3 个左陪集为： i,(1 2)，(1 2 3 )，(2 3)，(1 3 2 )，(1 3 )2、答：（ e，）不是群，因为（e，）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：a=b+102 b=3 102+85102=185+17由此得到(a,b)=17, a,b=a b/17=11339。然后回代： 17=102-85=102-(b-3 102)=4102-b=4(a-b)-b=4a-5b.所 以 p=4, q=-5.四、证明题（本大题共2 小题，第 1 题 10 分，第 2 小题 15 分，共 25 分）1、证明设 e 是群 的幺元。令x a 1*b ，则 a*x a*(a 1*b) (a*a 1)*b e*b b。所以， xa1*b 是 a*x b 的解。若 x g也是 a*x b 的解，则 x e*x (a 1*a)*xa1*(a*x) a1*b x。所以， xa1*b 是 a*x b 的惟一解。2、容易证明这样的关系是 z 上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合 z 记为 zm，每个整数 a 所在的等价类记为 a= x z； mxa或者也可记为 a， 称之为模 m剩余类。若 ma b 也记为 ab(m)。当 m=2时， z2 仅含 2 个元： 0 与1 。近世代数模拟试题三参考答案一、单项选择题 ( 本大题共 5 小题，每小题3 分，共 15 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、 多选或未选均无分。1、c；2、c；3、d；4、d；5、a；二、填空题( 本大题共10 小题，每空 3 分，共 30 分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一； 2、a ；3、2；4、24；5、；6、相等； 7、商群； 8、特征； 9、m n ；三、解答题（本大题共3 小题，每小题10 分，共 30 分）1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1 种，四白一黑1 种，三白二黑2种，等等，可得总共8 种。2、证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b s1s2 有a-b, abs1s2：因为 s1，s2 是 a 的子环，故a-b, abs1 和 a-b, abs2 ， 因 而 a-b, abs1 s2 ，所以 s1 s2是子环。s1+s2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解： 1 (1243)( 56) ，(16524)