湖南省长郡中学、雅礼中学等长沙名校联盟-2016学年高一数学暑假第一次阶段性测试试题

2015 年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷注意事项：数学（湖南卷版）本试卷包括三个大题，共6 页，总分150 分，考试时量120 分钟1. 答题前， 请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3. 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；5. 答题卡上不准使用涂改液涂改。一、选择题（每小题5 分，共 50 分）1. 已知数列 an 是等差数列，且a 2a 3a10a1148，则a 6a 7 等于（）a.12b.18c.24d.302. 下列命题中，错误的个数有 个平行于同一条直线的两个平面平行.平行于同一个平面的两个平面平行.一个平面与两个平行平面相交，交线平行.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交.a. 0个b. 1个c. 2个d. 3 个13. 已知圆c: x2y22x8 y80 与圆c: x2y24 x4 y2 0 相交，则圆c1 与圆2c2 的公共弦所在的直线的方程为（）a. x2 y10b. x2 y10c. x2 y10d. x2 y104. 把正方形abcd 沿对角线ac 折起 , 当以 a, b, c, d 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 bd 和平面 abc 所成的角的大小为（）a 90b 60c 45d 305. 设偶函数f （x）的定义域为r，当 x0,)时 f （x）是增函数，则f (2),f (),f (3)的大小关系是（）a. f () f (3) f (2)b. f () f (2) f (3)c. f () f (3) f (2)d. f () f (2) f (3)6. y31cossin 22的最大值为（）a. 1 2b. 32c. 1d. 27. 若任取x , xa, b,且xx,都有 f( x1x2 )f ( x1 )f ( x2 )成立，则称f (x)是121222a,b 上的凸函数试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（）yyyyabxabxabxabxabcdnn 18. 已知 n 次多项式f ( x) anx anx a x a ，用秦九韶算法求f ( x ) 的值， 需要进行 1100的乘法运算、加法运算的次数依次是（）an， nb 2n， ncn( n1) ， nd n 1，n 1 29. 设向量 a 与b 的夹角为，定义 a 与 b 的“向量积”：ab 是一个向量，它的模ababsin，若 a3,1 , b1,3，则 ab（）a 2b3c 23d 410. 已知等比数列 a中， a =2n 1 , 则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和 snn3n的值为（）na3 n b 3(3 n c 914二、填空题（每小题5 分，共 25 分）3(9 n1)d4dcab11. 函数 ylog （2log 13x）的定义域为 dc12. 如图，在长方体abcd a1b1c1d1 中，棱锥 a1 abcd的体积ab与长方体的体积之比为 13. 按照程序框图 ( 如右图 ) 执行，第3 个输出的数是 14. 已知函数f (x)sin( x)cos( x) 是偶函数， 且0, ，则的2值为 15. 在abc 中， a600, b1, 面积为3 ，则abc sin asin bsin c三、解答题（共75 分）16（本小题满分12 分）已知函数f ( x)sin 2x3 sinxsinx （0 ）的最小正周期为2（）求的值；（）求函数f ( x) 在区间2 3，0上的取值范围17（本小题满分12 分）如图，在三棱锥p abc中， pc底面 abc，ab bc， d， e 分别是 ab， pb的中点（）求证：de平面 pac.（）求证：ab pb；（）若pc bc，求二面角p abc 的大小pecadb( 第 17 题)18（本小题满分12 分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1， 2， 3， 4 的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等（）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（）求取出的两个球上标号之积能被3 整除的概率19（本小题满分13 分）已知函数f ( x)cos2x ， g( x)1 121sin 2 x 2（）设x x0 是函数y f ( x) 图象的一条对称轴，求g (x0 ) 的值；（）求函数h(x)f ( x)g(x) 的单调递增区间20（本小题满分13 分）设关于 x 的一元二次方程ax 2ax10nnnn 1() 有两根和，且满足6263 .（）试用an 表示an 1 ；（）求证：数列2an是等比数列；3（） 当 a17时，求数列6an的通项公式，并求数列 na n 的前 n 项和tn .21. （本小题满分13 分）已知 f ( x)x(xa )( xb) ，点 a(s, f(s), b(t, f(t)（）若 ab1 , 求函数f ( x) 的单调递增区间；（） 若函数f的解析表达式；(x) 的导函数f ( x) 满足： 当|x | 1时， 有|f(x) | 3 恒成立， 求函数2f ( x)（） 若 0ab,函数f ( x) 在 xs和 xt 处取得极值， 且 ab23 , 证明： oa 与 ob 不可能垂直 .2015 年长沙名校联盟高一年级暑假第一次阶段性测试试卷数学参考答案1c2b3b4c5a 6c7c8a9a10d11（ 0， 1）12 1 ：313 51415 15o 或 75o416. (x)3 sin 2x1 cos 2x1sin2x1 22262因为函数f ( x) 的最小正周期为，且0 ，所以2，解得1（）由（）得2f (x)sin2x1 因 为0 x2， 所 以72 x， 所 以6236661 s i nx2 ，因1此0 sin2 x1 3 ，即f ( x) 的取值范围为0 3，26622217. (1)证明：因为d， e分别是 ab， pb的中点，所以 de pap因为 pa平面 pac，且 de平面 pac，所以 de平面 pace(2) 因为 pc平面 abc，且 ab平面 abc，c所以 ab pc又因为 ab bc，且 pc bccad所以 ab平面 pbcb又因为 pb平面 pbc，所以 ab pb(3) 由 (2) 知， pbab， bc ab，所以， pbc为二面角 pab c的平面角( 第 17 题)因为 pc bc， pcb90，所以 pbc45，所以二面角pab c的大小为4518. 解：设从甲、乙两个盒子中各取1 个球，其数字分别为x，y.用( x， y) 表示抽取结果，则所有可能的结果有16 种，即(1 ， 1) ， (1 ， 2) ， (1 ， 3) ， (1 ，4) ， (2 ，1) ， (2 ，2) ， (2 ，3) ， (2 ，4) ，(3 ， 1) ， (3 ， 2) ， (3 ， 3) ， (3 ，4) ， (4 ，1) ， (4 ，2) ， (4 ，3) ， (4 ，4).(1) 设“取出的两个球上的标号相同”为事件a， 则 a (1 ，1) ， (2 ，2) ， (3 ，3) ， (4 ，4) 事件 a由 4 个基本事件组成，故所求概率p( a) 4 1 164(2) 设“取出的两个球上标号的数字之积能被3 整除”为事件b，则 b (1 ，3) ， (3 ，1) ， (2 ，3) ， (3 ，2) ， (3 ， 3) ， (3 ， 4) ， (4 ， 3)事件 b由 7 个基本事件组成，故所求概率p( a) 7 .1619. 解：（ i ）由题设知f ( x)11cos(2x) 因为 xx0 是函数yf ( x)26图象的一条对称轴，所以2x0k，6即 2 x0kkz ）（6所以 g ( x )11 sin 2x11 sin( k 00)226当 k 为偶数时，g( x0 )11sin113 ，2644当 k 为奇数时，g( x0 )11 sin 115 2644（ ii ） h( x)f (x)g( x)11cos 2x11 sin 2 x2621cos2 xsin 2 x313 cos2x1 sin 2 x326222221 sin2 x3 2 x2k，即 x k（ kz ）时，232k当 2k5 2321212函数 h(x)1sin2 x3 是增函数，232故函数h( x)的单调递增区间是5（ kz ）k， k 121220. 20解：（ 1）根据韦达定理，得由 6263an 11，,anan得6an 1211a3 ，故 an 1nanan23（ 2）证明：an 121112(aann) ，32323若 a20 ，则 a20 ，从而 aa2 ，nn 133n 1n3这时一元二次方程ax2ax10 无实数根，故a20 ，nn 1n 1321an 1321所以，数列ana22n3是公比为3的等比数列2（ 3）设 bnan2，则数列3bn是公比 q1的等比数列，2又 b1a12721，3632n 1n所以 bb qn 1111，n1222所以 annn21， a32n2132nan2 nn3 2 nn 2nn2则由错位相减法可得tn322 n321解： (i) f(x)=x-2x2+x,f(x)=3x-4x+1,2因为 f(x)单调递增，所以 f(x ) 0，2即 3x -4x +10,解得， x1,或 x 1 ,3故 f(x)的增区间是 (- ，1 ) 和32(ii)f(x)=3x-2(a+b)x+ab.当 x时，恒有 |f(x)| 32故有3 f(1) 3 ，223 f(- 1) 3 ，223 f(0) 3223323即323 ab 22(ab).2(ab) 32