并联电路中的电阻关系

【学习要求】四、并联电路中的电阻关系五、欧姆定律的应用精品资料1 知道什么是并联电路，能区别串联电路和并联电路。2 理解并联电路中各个导体的电流、电压、电阻跟电路的总电流、总电压、总电阻的关系。3 能运用欧姆定律求解并联电路的常见问题。【知识讲解】一、知识回顾1 电路的联接有两种基本方式，一种是将元件逐个顺次地联接起来，叫做串联；另一种是将元件并列地连接起来， 叫做并联。2 串联电路电流无分支，并联电路中电流要分成两条或多条支路；串联电路可以同时控制，而并联电路可以分别控制。二、并联电路1 问题的提出修电子仪器时，需要一个5 千欧的电阻，而手头只有20 千欧、 10 千欧等多个电阻，那么可以把20 千 欧 或 10 千欧的电阻组合起来代替？并联电阻的知识，可以帮助我们解决这类问题，也可以用几个阻值大一些的电阻组合起来形成一个总电阻来代替一个阻值小的电阻。2 电阻的并联，把几个电阻并列地连接起来叫电阻的并联.如图我们学过并联电路的部分特点a. 并联电路干路中的电流等于各支路中的电流之和i i1 i2b. 并联电路里，各支路两端的电压相等u u1 u 2利用上面并联电路中两个特点和欧姆定律，可以推导出电阻并联后的总电阻与各个电阻之间的关系。如图所示：设并联电阻的阻值为r1 、r 2，并联后的总电阻为r ，由于各支路的电阻r 1、r 2 两端的电压都等于u， 根据欧姆定律，可求得：支路电流i1u和r1ui 2ur2干路上的电流i，其中r 为并联电路的总电阻r i i1 i2即 uuurr1r2又 u u 1 u 2故 111rr1r23 结论：这表明并联电路的总电阻的倒数，等于各并联电阻的倒数之和。提出的问题，现在可以知道了，把两只10 千欧的电阻并联起来就可以得到5 千欧的电阻了。从决定电阻大小的因素来看，把几个电阻并联起来，总电阻比任何一个电阻都小，这相当于增大了导体的横截面积。三、对11rr11的理解r2 并联电路的总电阻比任何一个分电阻都小，即： r r 1， r r 2 ，可以理解为电阻并联时，相当于增加了导体的横截面积，而横截面积越大，导体电阻越小；例如，一个6 欧和一个3 欧的电阻并联后，总电阻为2 欧，小于任何一个并联电阻。 并联电阻越多，相当于横截面积越大，所以总电阻越小；例如，一个6 欧、一个3 欧和一个2 欧的电阻并联后，6 欧与 3 欧的等效电阻为2 欧，再与2 欧的电阻并联，总电阻为1 欧，同样小于任何一个并联电阻。 如果并联电路的某一个电阻变大，此时总电阻也会变大。一个 6 欧和一个3 欧的电阻并联后，总电阻为2 欧；当用另一个 6 欧的电阻代替3 欧的时，等效电阻变为3 欧，变大了。 n个阻值为r的电阻并联后，总电阻r为r 总，则 r 总ni 1r 2四 分流作用：并联电路中通过各导体的电流强度跟它的电阻成反比：i 2r 1因为， i 1r1u1i 2 r 2u2 ，而u1u2所以， i1r1i 2 ri 1r 22，即：i 2r 1可见在并联电路中，电阻越小通过电流强度越大。重、难点分析1 、串、并联电路的判断。对电路的判断，常用有以下三种方法：（ 1 ）根据电路结构或控制特点直接判断对比较简单的电路可直接根据串联、并联电路的定义或控制特点判断。（ 2 ）假设电流法（电流路径法）在电路中明显是干路的地方假设有电流流过，根据电流的有无分支情况确定电路的联接方式。如图2 所示，该电路的联接方式是怎样的？假设电流法是：假设电流由a 流入 b 流出，电流流到c 点时出现分支，一部分流过r 1 到达 d 点，另一部分逐个顺次地流过r 2、r 3、 r4 ，同样到达d 点再流向b。所以， ab 间电路的连接方式：r2 、r 3、r 4 串联，然后与r 1 并联。插入动画1请同学们思考：在r 2、r 3 的两端加导线如图3 示，此时，电路的联接情况是怎样的？（ 3 ）等效变形法（移线法）这种方法认为导线无电阻，可以任意伸长缩短；导线可以沿着导线上移动（不能经过用电器和电源的开关），经过如此变形得到的电路与原电路是等效电路。插入动画2本题也可以用“电流路径法”进行分析，请同学们自己试一试。2 怎样分析有关电路变化的题目?有关电路变化的题目指的是“由于开关的启闭、滑动变阻器滑片移动引起电路电阻的改变，从而使电路中的电流、电压变化 的问题，一般分析此类问题的方法是：（ 1）明确电路的接法，是串联，并联还是混联。为了看清电路的连接情况，应把电表拿掉，即电压表可看作是断路，电流表可看作是短路。（ 2）明确电表测量的是哪一段电路(或哪一个导体)的电流，还是哪一段电路(或哪一个导体)上的电压（ 3）明确电路变化前后，电阻、电压和电流各量中哪些发生了变化，哪些量不变。【典型例题】例 1在图所示的电路中，电路两端电压u 恒定， r 1=3 欧， r 2=6 欧， i=3 安，试求这段电路的总电阻，通过r1、r 2 的电流及这段电路两端的电压。解析先求出 r 1、r 2 并联的总电阻为r 总。再由公式u 总=ir 总，求出电路两端的电压，进而求出每一支路上的电流。解法一根据并联电阻的公式：111111所以rr1r2r36故 r=3 根据欧姆定律u=i r=3 安2 欧=6 伏由并联电路特点u=u 1 =u 2u=6 伏iu11r1所以iu 2r 26伏2安，3欧6伏1安6欧解法二并联电路各支路两端的电压相等，结合欧姆定律可得，u=i 1 r1 =i 2 r 2i1r16欧2i 2r 2i 12i 23欧1ii 1i 23i 23安i 21安， i 12安ui 1 r1ru总i2安3欧6伏6伏2欧3安说明：（ 1）解题中出现i 1i 2r2是一个很有用的结论。它表示在并联电路中，各支路上电流分配跟电阻成反比。r1r1是 r 2 的几倍， i1 就是 i 2 的几分之一。在解题过程中直接运用这一结论，可简化解题的过程。（2 ）利用并联电路特点和欧姆定律解题时，除注意i 、u、r 的对应关系外，还应从不同角度思考解题途径，从而提高思维的灵活性。例 2证明在两个电阻并联，其总电阻小于分电阻阻值最小的1 个电阻。已知： r 1 和 r2 ，且 r1 r 2，并联后的总电阻为r 。求证： rr 1,所以r1r1r21, rr 2例 3在图所示的电路中，电源电压恒定，当开关闭合时，电路中各电表的示数如何变化?解析当开关闭合时，电阻r2 与电阻r1 并联，电路的总电阻减小，电流表a 的示数增大。因为r 1 两端的电压是电源电压，且保持不变，所以通过r1 的电流不变，电压表的示数和电流表a1 的示数郡不变。例 4如下图所示电路，已知a 1 的示数为3a,a 的示数为5a ， r 1=9 ，求 r2 的阻值及a2 表的示数。r1a1ar2a2解析： 这是一个典型的运用欧姆定律和并联电路性质的题。欲求r 2 ，必须知道u2 和 i2 ，但这两个数据都不是直接已知的， 需要分别求解；由并联电路性质可知：u2 =u 1 ，u 1 可根据对r 1 运用欧姆定律求解，u 1 =i 1r 1=27 伏； i2=i i1 =2 安， 然后利用欧姆定律可解得：r 2 =13.5 欧。小结： 在正确识图的基础上，灵活运用并联电路性质和欧姆定律求解未知量。例 5如图 56 所示的电路中，电压u 保持恒定， r1 :r 2 2:3 。当 k 断开和k 闭合两种情况安培表的读数之比是（）a 3:5b 5:3c 3:2d 2:3分析：开关 k 断开时， 电流表测量 r 1 的电流； 而开关闭合后， 电流表测量是总的电流。 根据并联电路中电流与电阻成反比， i1 ： i2 =r 2 ：r1 =3 ：2，那么开关断开与闭合安培表的读数之比就是r 1 中的电流 i 1 与干路电流 i2 之比， i1 ：i2 = i 1：（ i1 + i2 ）=3 ： 5 。所以，本题选 a。答案 ： a小结 ：认清电路是关键；灵活运用比例法能起到事半功倍的效果。例 6请分析图5-6 、图 5-5 中电路的连接方式，和电流表电压表测量的对象。分析 ：电压表由于其对电流的阻碍作用很大，在电路中通常视为开路；而电流表它对电流的阻碍作用通常很小，在电路中通常视导线。那么图5-6 可以等效替代为图5-7 ，而图5-5 则可以等效替代为图5-9 。此时，图5-7 为 r1 、r 2、r 3 三个电阻串联，两个缺口位置为电压表的位置，显然v1 测量是r1 、r 2 两端的电压，v 2 测量是r 2、r 3 两端的电压；而图5-9 则 与图4 相同，为三个电阻并联，流过a1 表的电流同时也流过r 2、r 3 ，所以， a 1 测量的是r 2、r 3 的总电流；而流过a2 的电流是先流过r 1 和 r2 的，所以， a 2 测量的是r 1 、r2 的总电流。小结 ：学会处理电路中电流表和电压表的问题和电路结构的分析。例 7如图所示的电路。r 1 =30 欧，r3 =50 欧，a 1 的示数为0.5 安，a2 的示数为0.7 安，求 r2 和 ab 两端的电压是多少？分析 ：已经知道r 1、r2、r 3 为并联电路，a1 测量是r 2 和 r 3 的总电流，a 2 测量是r 1 和 r2 的总电流。设r 1 中的电流为i1， r 2 中的电流为i2， r 3 中的电流为i3 则 i1+i 2=0.7i2+i 3=0.5 ，两式相减，i1-i 3=0.2 ，即 i1=i 3+0.2由欧姆定律：i1 r 1 =i2 r 2 =i 3r 3将上式代入则有(i 3+0.2)r 1 =i 3r 3 即：（ i3 +0.2 ）30=50 i3 解得： i3=0.5 安所以， i2 =0.2 安i1=0.5 安所以，由欧姆定律：u 2 =15 伏r2 =75 欧例 8如图所示， r 1 =10 欧， r 2=20 欧， r 3 =30 欧。电源电压恒定不变。若 s 1 闭合， s 2 断开时电流表的读数为0.3 安 。问: 电源的电压是多少？ 当 s 1 与 s2 均断开时， 电流表的读数是多少？r1 两端的电压是多少？ 当 s1 与 s 2 均闭合时，电流表的读数又是多少？通过r 3 电流强度是多少?r1r3s2s1r2a分析 ：本题是一典型由开关形成不同电路的题型，因此，弄清电路的连接形式是关键。当s1 闭合， s 2 断开时，电路如下图- 例5-1 ，此时电流表示数为0.3 安 ；r1r3s2s1r2as1r2ar2=20欧i=0.3a图- 例5-1显然，电源电压等于r 2 的 电 压 u=6 伏 。 当 s 1 、 s2 都断开时，电路如图-例 5-2 所示图- 例5-1r1r3s2s1r2ar1r1=10欧r2ar2=20欧i= ？图- 例5-2此时， r 1 与 r2 串联，总电阻r 12 =30 欧，所以， i=0.2 安当 s 1 、 s2 都闭合时，电路如图- 例 5-3 所 示图- 例5-2r1r3s2r3s2s1r2ar3=30欧s1r2ar2=20欧图- 例5-3图- 例5-3此时， r 2 与 r3 并联，电流表测量r 2 的电流， i2 =0.3 安；通过r3 的电流i3 =0.2 安 。小结 ：一般的思路是：根据不同情况将电路图和对应的物理量分别表示出来；在不同的电路图中间找到解题的联系点；运用串联、并联特点解题。例 9如图 46 所示的电路，滑动变阻器的滑片p 固定在它的中点时，连入电路的电阻值为r ，当只闭合k 1 时 ， r 与 r1上的电压之比是1： 2；当只闭合k 2 时， r 与 r2 上的电压之比是1 ： 4，如果把滑片p 移到 a 端，则（）a k 1 、k 2 闭合时，通过r 1 与 r 2 的电流之比是1 ： 2b k 1 、k 2 闭合时，通过r 1 与 r 2 的电流之比是2 ： 1c 只闭合k1 时，滑动变阻器ab两端的电压与电阻r1两端的电压之比是1： 1d 只闭合分析 ：k2 时，滑动变阻器ab两端的电压与电阻r2两端的电压之比是1： 1本题是一由开关和滑阻共同改变电路结构的典型题，它在前一例题的基础之上增加了滑动变阻器的情况，但解题的基本思想方法不变，同样是根据不同情况将电路图和对应的物理量分别表示出来；在不同的电路图中间找到解题的联系点；运用串联、并联特点解题。【中考链接】1 （ 2000云南曲靖）把两个电阻r1 、r 2 并联起来，它们的总电阻是r 。（ 1 ）用欧姆定律推导r 与 r 1、 r2 的关系（ 2 ）分析、解释r 与 r1 、r 2 的大小关系解析：考查并联电路的总电阻与各支路电阻关系的推导和分析解释很好，促使我们了解知识的来龙去脉，（1） 先作示意图加深对知识的理解，更能正确运用。设ab间总电阻为r，两端电压为u时，干路电流为i，两支路电流分别为i 1、i 2 ，两支路电阻分别为r1、r2对各支路用欧姆定律，对干路用欧姆定律，得得i 1iuru 1 ， i 2u 2r1r2干路电流 ii1i 2u r由于 uu 1u 2r1r2u1u 2故111rr1r2即 总电阻的倒数等于各支路电阻的倒数和。i 1r1i 2r2（2）由1r得riaub11r1r2r1或r2r2r1r1r2r1r2由于r10 、r20（皆为正数）所以1r1r1r20（分数为小于1的正数）任何正数乘以小于1的正数的积必然减小。故r2 r1r2r1 r1即是r r1同理r1 r1r2r2r2即是r r2可见并联电路的总电阻电阻并联，相当于增大值比任一支路电阻值都了它的截面，因此减小小。了对电流的阻碍作用。2 （ 2001苏州）如图所示电路中，电源电压为6 伏，当开关s 闭合后， 只有一支灯泡发光，且电压表v 的示数为6 伏，产生这一现象的原因可能是（）sl1l2va灯 l1 处短路b 灯 l2 处 短路c 灯 l1 处断路d灯 l2 处断路答： b3 （ 1999重庆市）如图所示，电压u 恒定，当开关s 闭合时a 的读数为0.3 安；当 s 断开时， a 的读数为0.1 安，伏特表 v 的读数为6 伏，则灯泡l1 和灯泡 l2 的电阻分别是r1 = ， r 2= 。vsl1l2a u解析：此题考查欧姆定律的应用，并能分析开关s对电路的影响。s闭合时，导线将灯泡l 2短路，电灯中只有l 1发光，由欧姆定律iu得 r1u ri 1s断开时，灯uv2l 1、l 2串联，由欧姆定律得r串ii6伏0.1安60欧而且知道了uv6伏r1ui 16伏0.3安20欧则r 2r串r160欧20欧40欧答 ： 20 欧 ， 40 欧4 （ 2000北京市崇文区）如图，电源电压保持不变，灯丝电阻不随温度变化，开关s 1、 s2 由闭合到断开，电流表的示数的变化和灯l 亮度的变化是（）r1s2s1ar2a电流表的示数变小，灯 l 变亮b电流表的示数变小，灯 l 变暗c 电流表的示数变大，灯 l 变亮d 电流表的示数变大，灯 l 变暗解析：考查开关对电路的影响，能正确使用欧姆定律分析判断。开关s1、s2闭合时， r1短路。灯 l与r 2 并联，灯 l两端为电源电压，电流表示数为iu，i 灯ur 并r l开关s 、s断开时， r断路，灯 l与r串联，电流表示数 iu，1rr22i i，此时i1uu ur串i i串并灯灯灯rl即电流表示数变小，灯答： bl变暗5 （ 2001厦门市）如图所示的电路中，电源电压为6 伏，保持不变。此时r 1 =10 欧， r 2=5 欧，经过r 1 的电流 i1 =0.4安，则流经r 2 的电流 i2= 安，干路电流i= 安。r1r2psr解析：由并联电路的特点i 1r1i 2 r 2得i 2i 1r 1r 20.41050.8安干路ii1i 21.2安答 ： 0.8 安 ， 1.2 安6 （ 2001河北省）如图所示，电源电压保持不变，闭合开关后，灯l 能够发光，在滑片p 向右滑动过程中，下列判断正确的是（）la1a. 灯 l 变亮，电压表v 的示数变大。b. 灯 l 变暗，电压表v 的示数变小。c 电流表a1 的示数变大，电流表a2 的示数变小。d 电阻 r 0 上电流变大，电压表v 的示数变大。解析：pr vsa2r0考查滑动变阻器对电路的影响，能正确进行电路分析，局部电阻变化、影响到整体电阻变化，从而电路结构，应用串、并影响整体电流变化和局联电路的特点和欧姆定部电压、电流的变化。律，是解决这类问题的正确分析关键。若干电流表，电压表在电路中时可作简化处理。去掉电流表，将两端用导线连接，作短路处理；去掉电压表，两端作断路处理。电路为l与r并联后，与r0串联的典型串、并联电路，滑片 p向右滑中， r增大。r增大，干路电流 i（u ）减小， r 两端电压 u（ir ）减小，电压表示数r总2020总v （uu2）增大，灯l的电流 （i1u ）增大，灯r ll变亮。答： a、c7 (2004 年，北京东城区 )有两个定值电阻 r 和 r 若把它们并联起来接在电源两端时，通过电阻r 的电流 i 与通过 电 阻 r 的 电 流 i2 之 比 为 i i2 =4 5 ； 若 将 它 们 串 联 起 来 接 在 同 一 电 源 两 端 时 ， 下 列 判 断 正 确 的 是 ()a. 电阻 r 两端的电压与电阻 r 2 两端的电压之比为 4 : 5 b通过电阻 r 与通过电阻 r 2 的电流之比为 4 : 5c 通过电阻 r 与通过电阻 r 2 的电流之比为 1 : 1 d 通过电阻 r与通过电阻 r 2 的电流之比为 5 : 4 答案： c8 (2003 年，威宁市 ) 一只阻值为10 的电阻与一只阻值为10 k 的电阻并联后的总电阻的阻值() a近似等于l0 k b. 大 于 10 ， 小于10 k c 近似等于10 d 大于 100 ，小于 1 k 答案： c9 （ 2003年，四川省）如图所示的电路中，电源电压保持不变，电流表标有“0 0 .6a 3a ”， a、b 为两个接线柱。现 将两只阻值相同的电阻按串联或并联方式连接后接在a 、b 两点间。 当第 1 次电阻以某种连接方式接入时，电流表选0 0 .6a 量程即可；当第2 次电阻以另一种连接方式接人电路时，电流表必须换为0 3a 量程。则关于电阻的连接方式以及两次电流表的示数关系，下列判断正确的是：（）a第 l 次两只电阻以串联方式接入，两次电流表示数之比为i1 : i2=1 : 4 b第 1 次两只电阻以串联方式接入，两次电流表示数之比为i1 : i2 =1 : 2c 第 1 次两只电阻以并联方式接入，两次电流表示数之比为i1 : i2 =1 : 4d 第 1 次两只电阻以并联方式接入，两次电流表示数之比为i1 : i2 =1 : 2答案： a10 (2004 年，本溪市 )如图电路， 闭合开关s ，当滑片 p 向下滑动时， 图中电压表v 示数，电流表 a 1 的示数，电流