高三极坐标与参数方程综合练习题

.高三极坐标与参数方程综合练习题1. (2016 全国， 23)在直角坐标系 xoy 中，圆 c 的方程为 (x6)2y225.(1) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c 的极坐标方程；xtcos，(2) 直线 l 的参数方程是ytsin(t 为参数)，l 与 c 交于 a、b 两点，|ab|10，求 l 的斜率.2. (2015 全国， 23)在直角坐标系 xoy 中，直线 c1：x 2，圆 c2：(x1)2 (y2)21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1) 求 c1，c2 的极坐标方程；4(2) 若直线 c3 的极坐标方程为( r)，设 c2 与 c3 的交点为m，n，求c2mn 的面积.;.3. (2016全国，23)在直角坐标系 xoy 中，曲线 c1 的参数方程为x3cos，(y sin为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线4c2 的极坐标方程为sin 22.(1) 写出 c1 的普通方程和 c2 的直角坐标系方程；(2) 设点 p 在 c1 上，点 q 在 c2 上，求 |pq|的最小值及此时p 的直角坐标 .4. (2014 辽宁，23)将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线 c.(1) 写出 c 的参数方程；(2) 设 l：2xy20 与 c 的交点为 p1，p2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段p1p2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.5.(2015 湖南， 16)已知直线 l：x532 t，1(t 为参数)，以坐标原点为极点，xy32t轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标方程为2cos. (1)将曲线 c 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点 m 的直角坐标为 (5，3)，l 与曲线 c 的交点为 a，b，求|ma| |mb|的值.6. 已知直线 l 的参数方程为x 1 ，2t2(t 为参数)，若以直角坐标系xoy 的 o 点3y 2 2 t为极点， ox 方向为极轴， 选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 c 的极坐4标方程为 2cos .(1) 求直线 l 的倾斜角；(2)若直线 l 与曲线 c 交于 a， b 两点，求 |ab|.67. (2016 高考全国模拟一 )在平面直角坐标系xoy中，圆 c 的参数方程为(为参数 )倾斜角的直线 l 经过点 p(1，2).(1) 写出圆 c 的标准方程和直线l 的参数方程；(2) 设直线 l 与圆 c 相交于 a， b 两点，求 |pa| |pb|的值.x4cos y4sin8. (2016 南昌模拟 )已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点o 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线 l 的极坐标方程为：2 sin 10，曲线 c： 4x 2cos，(为参数 )，其中 0， 2 ).y 2 2sin(1) 试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线c 的普通方程；(2) 若点 p 为曲线 c 上的动点，求点p 到直线 l 距离的最大值 .x2y2x 2 t，9. (2014 全国卷)已知曲线 c： 4 9 1，直线 l：(1) 写出曲线 c 的参数方程，直线l 的普通方程；y 2 2t (t 为参数 ).(2) 过曲线 c 上任一点 p 作与 l 夹角为 30的直线， 交 l 于点 a，求|pa|的最大值与最小值 .10. (2017 全国卷)在直角坐标系 xoy 中，直线 l1 的参数方程为x 2m，x2t， ykt(t 为参数)，直线 l2 的参数方程为y m(m 为参数 ).设 l 1 与 l2 的交点为 p，当 kk变化时， p 的轨迹为曲线c. (1)写出 c 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：(cos sin )20，m 为与 c 的交点，求 m 的极径.11. 以坐标原点 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 c 的极坐标方程为 4cos，曲线 m 的直角坐标方程为x 2y20(x0).(1) 以曲线 m 上的点与点 o 连线的斜率 k 为参数，写出曲线m 的参数方程；(2) 设曲线 c 与曲线 m 的两个交点为a， b，求直线 oa 与直线 ob 的斜率之和 .12. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c的极坐标方程为 2cos 6sin 1 0，直线l的参数方程为1x32t，3(t 为参数 ).y3 2 t(1) 求曲线 c 的普通方程；(2) 若直线 l 与曲线 c 交于 a， b 两点，点 p 的坐标为 (3，3)，求|pa|pb|的值.高三极坐标与参数方程综合练习题参考答案1. 解(1)由 x cos ，y sin可得圆 c 的极坐标方程212cos110. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 (r).设 a，b 所对应的极径分别为1， 2，将 l 的极坐标方程代入c 的极坐标方程得 212cos110.于是 12 12cos ， 1211.|ab| |12|（1 2）2412144cos2 44.8，3.由|ab|10 得 cos2 3tan 153或3.所以 l 的斜率为15152. 解(1)因为 xcos，ysin ，所以 c1 的极坐标方程为cos 2， c2 的极坐标方程为 2 2cos4sin 40.4(2)将 代入 22cos 4sin 40，得 23240，解得 122，2 2.故 122，即|mn|2.由于 c2 的半径为 1，所以 c2mn 为等腰直角三角形，1所以 c2 mn 的面积为 2.x233. 解(1)c1 的普通方程为y21.c2 的直角坐标方程为x y40.(2)由题意，可设点p 的直角坐标为 (3cos，sin).因为 c2 是直线，所以 |pq|的最小值即为 p 到 c2 距离 d()的最小值，d()|3cossin 4|22 sin 2 .3当且仅当 2k6 (kz )时，d()取得最小值，最小值为2，此时 p 的直31角坐标为2，2 .4. 解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为c 上点(x， y)，yxx1，2222依题意，得y2y1，由 x1y11 得 x 221，xcos t即曲线 c 的方程为 x2y1. 故 c 的参数方程为(t 为参数 ).x2(2)由y2 4 1， 4 x1，x0，解得：或y2sin t2xy20y0y2.1不妨设 p1(1，0)，p2(0，2)，则线段 p1 p2 的中点坐标为2， 1 ，所求直线斜率111为 k2，于是所求直线方程为y12 x2 ，化为极坐标方程，并整理得32cos 4sin 3，即 4sin 2cos .5. 解(1)2cos 等价于 22cos .将 2x2y2， cos x 代入即得曲线c 的直角坐标方程为x2 y22x 0.2 tx53 ，(2)将1y32t代入式，得 t253t180.设这个方程的两个实根分别为t1， t2，则由参数 t 的几何意义即知，|ma| |mb|t1t2|18.6. 解(1)直线的参数方程可以化为x tcos 60，2y 2 tsin 60，2根据直线参数方程的意义，直线l 经过点 0，2，倾斜角为 60.2(2)直线 l 的直角坐标方程为y3x 2 ，2 22 22cos 4 的直角坐标方程为x 2 y 21，所以圆心222 到直线 l 的距离 d64 .210所以|ab| 2.7. 解(1)消去 得圆的标准方程为x2y216.直线 l 的参数方程为x1y2，tcos 6tsin 6 .x132 t2t即(t 为参数 ). y2132x1t223212(2)把直线 l 的方程1y2 2t代入 xy 16.得 1 2 t 22t 16.即 t2(23)t11 0.所以 t1t2 11，即|pa| |pb|11.8. 解(1)2 sin 410， sin cos 10，直线 l 的直角坐标方程： xy 100.由曲线 c：x2cos ，y22sin (为参数)，得曲线 c： x2(y2)24.(2)由(1)可知， x2(y2)24 的圆心 (0，2)，半径为 2.圆心到直线的距离为：|1 01210|d12（ 1）2 42，点 p 到直线 l 距离的最大值： 422.x2cos ，9. 解(1)曲线 c 的参数方程为y3sin(为参数 ).直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 c 上任意一点 p(2cos，3sin )到 l 的距离为 d5 3sin 6|.d255 |4cos4则|pa| sin 305|5sin() 6|，其中 为锐角，且 tan 3.5；当 sin() 1 时， |pa|取得最大值，最大值为2255.当 sin()1 时， |pa|取得最小值，最小值为2510.解(1)由 l 1：x2t， ykt(t 为参数)消去 t，化为 l1 的普通方程 y k( x 2)，同理得直线 l 2 的普通方程为 x2ky， 联立，消去k， 得 x2 y24(y0). 所以 c 的普通方程为x2y24(y0).(2)将直线 l 3 化为普通方程为x y2，xy2，联立 x2y24得32x 2，2y 2 ，222182 x y 4 45，与 c 的交点 m 的极径为5.211.解(1)由x 2y20（x0），得y kx21x2k ，x 2k1，2k y2k1.1故曲线 m 的参数方程为2k y2k1k为参数，且 k2 .(2)由 4cos ，得 24cos ， x2y24x.x2，2k1222将y2k2k1代入 xy 4x 整理得 k 4k30， k1k24.故直线 oa 与直线 ob 的斜率之和为 4.112.解(1