线性代数期末复习题

线性代数b 复习资料（2014 ）(一)单项选择题精品资料1. 设 a， b 为 n 阶方阵， 且ab 2e ，则下列各式中可能不成立的是（a）(a) ab 1(b)abab 1(c)baba 1(d)(ba) 2e2. 若由 ab=ac必能推出b=c （ a ，b ， c 均为 n 阶矩阵）则a 必须满足（c）(a)a o(b)a=o(c)a0(d)ab03. a 为 n 阶方阵，若存在n 阶方阵 b，使 ab=ba=a ，则（d）(a) b 为单位矩阵(b) b 为零方阵(c)b 1a(d)不一定4. 设 a 为 n n 阶矩阵，如果r(a)n ,则 c(a) a 的任意一个行（列）向量都是其余行（列）向量的线性组合(b) a 的各行向量中至少有一个为零向量(c) a 的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(d) a 的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例5. 71已知向量组1 ,2 ,3 ,4 线性无关则向量组(c)(a)12 ,23 ,34 ,41 线性无关12341 线性无关12 ,23 ,34 ,41 线性无关(b)2 ,3 ,4 ,(c)(d)12 ,23 ,34 ,41 线性无关6. 下列说法不正确的是(a)(a) 如果 r 个向量1,2,r 线性无关，则加入k 个 向量1,2,k 后 ，仍然线性无关(b) 如果 r 个向量1,2,r 线性无关，则在每个向量中增加k 个分量后所得向量组仍然线性无关(c) 如果 r 个向量1,2,r 线性相关，则加入k 个向量后，仍然线性相关(d) 如果 r 个向量1,2,r 线性相关，则在每个向量中去掉k 个分量后所得向量组仍然线性相关7. 设 n 阶方阵a 的秩 rn ，则在 a 的 n 个行向量中a(a) 必有 r 个行向量线性无关(b) 任意 r 个行向量均可构成极大无关组(c) 任意 r 个行向量均线性无关(d) 任一行向量均可由其他r 个行向量线性表示8. 设方阵a 的行列式a0 ， 则 a 中 c(a) 必有一行（列）元素为零(b) 必有两行（列）成比例(c) 必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(d) 任一行向量是其余行（列）向量的线性组合9. 设 a 是 m n 矩阵，齐次线性方程组ax=0 仅有零解的充分必要条件是(a ) (a)a 的列向量线性无关(b) a 的列向量线性相关(c) a 的行向量线性无关(d) a 的行向量线性相关11 n 元线性方程组ax=b ， r（ a， b）1 ，10 ) 线性相关，则（c）由1,2 ,i 1 线 性表出。(a) 每个i (i1) 都能(b)每个i (i1) 都不能(c)有一个i (i1) 能(d)某一个i (i1) 不能13. 设a为3阶矩阵，将a的第二行加到第一行得到b，再将b 的第一列的 (1) 倍加到第 2 列得到 c，记 b110p010001则：（ a）cpap( b)cpap1（ c）cpt ap(d)cp a pt14. 若向量组,线性无关 ;,线性相关 ,则(c)(a) 必可由,线性表示 .(b)必不可由,线性表示(c)必可由,线性表示 .(d)必不可由,线性表示 .15 下列命题正确的是(d )(a) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(b) 线性相关的向量组中必有零向量(c) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(d) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关116 设向量组1 ,2 ,s 的 秩 为 r，则d(a) 必 定 rs(b) 向量组中任意小于r 个向量部分组无关(c) 向量组中任意r 个向量线性无关(d) 向量组任意r+1 个向量线性相关17 a 是 m n 矩阵, r(a)=r则 a 中必( b)(a) 没有等于零的r-1 阶子式至少有一个r 阶子式不为零(b) 有不等于零的r 阶子式所有r+1 阶子式全为零(c) 有等于零的r 阶子式没有不等于零的r+1 阶子式(d) 任何 r 阶子式都不等于零任何r+1 阶子式都等于零18 能表成向量10,0,0,1 ,20,1,1,1 ,31,1,1,1的线性组合的向量是（b）(a)0,0,1,1(b) 2,1,1,0(c) 2,3,1,0,1(d)0,0,0,0,019 已 知11,2,3 ,23,1,2,32,3,x则x= （d） 时1 ,2 ,3 线性相关。(a) 1(b)2(c)4(d) 520 向量组11,1,2,4 ,20,3,1,2 ,330,7,1441,1,2,0 的 秩为c（ a ）1（ b） 2（ c ）3（ d ） 421 设 a 为 n 阶方阵 ,且 a0 ， 则 c(a) a 中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(b) a 必有两行（列）对应元素乘比例(c) a 中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(d) a 中至少有一行（列）向量为零向量22 向量组1 ,2 ,s 线性相关的充要条件是( c)(a)1 ,2 ,s 中有一零向量(b)1 ,2 ,s 中任意两个向量的分量成比例(c)1 ,2 ,s 中有一向量是其余向量的线性组合(d)1 ,2 ,s 中任意一个向量均是其余向量的线性组合23 若向量可由向量组1 ,2 ,s 线性表出 ,则(c)(a) 存在一组不全为零的数k1 , k2 , ks , 使等式k11k22kss 成立(b) 存在一组全为零的数k1 ,k 2 , ks ,使等式k11k 22kss 成立(c) 向量,1 ,2 ,s 线性相关(d) 对的线性表示不唯一24 对于 n 元方程组，正确的命题是（d）(a) 如 ax=0 只有零解 , 则 ax=b 有唯一解(b) ax=0有非零解 , 则 ax=b 有无穷解(c) ax=b有唯一解的充要条件是a0(d) 如 ax=b 有两个不同的解, 则 ax=b 有无穷多解25 设矩阵am n 的 秩为r(a)=mn,i m 为 m 阶单位矩阵 ,下述结论正确的是c(a) a 的任意 m 个列向量必线性无关(b) a 的任意个m 阶子式不等于零(c) a 通过初等变换, 必可化为 ( i m ,0) 的形式(d) 若矩阵 b 满足 ba0,则 b0 .26 非齐次线性方程组ax=b 中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵a 的秩为 r ， 则（a ）(a) r=m时, 方程组 ax=b 有解(b) r=n时, 方程组 ax=b 有唯一解(c) m=n时, 方程组 ax=b 有唯一解(d) rs,则(d)(a) ( )线性无关(b) ( )线性相关(c) ( )线性无关(d) ( ) 线性相关32 设1 ,2 ,n 是 n 个 m 维 向 量 ，且nm,则此向量组1 ,2 ,n 必 定 ( a )(a)线性相关(b)线性无关(c)含有零向量(d)有两个向量相等33 矩阵 a 适合条件（d）时，它的秩为r(a)a 中任何 r+1 列线性相关(b) a 中 任何r 列线性相关(c) a 中有 r 列线性无关(d) a 中线性无关的列向量最多有r 个34 若 m n 阶矩阵 a 中的 n 个列线性无关则 a 的 秩（c）(a) 大于 m(b) 大于 n(c) 等于 n(d)等 于 m35 若矩阵a 中有一个r 阶子式d0 ，且 a 中有一个含d 的 r+1 阶子式等于零，则一定有r （ a）（a ）(a)r(b) r(c)=r(d) =r+136 要断言矩阵a 的秩为 r，只须条件（d）满足即可(a) a 中有 r 阶子式不等于零(b) a 中 任何r+1 阶子式等于零(c) a 中不等于零的子式的阶数小于等于r(d) a 中不等于零的子式的最高阶数等于r37.设 m n 阶矩阵 a ，b 的秩分别为r1 ,r 2 ，则分块矩阵 （ a，b）的秩适合关系式 （a）(a) rr1r 2(b) rr1r2(c) rr1r2(d) rr1r238 r(a)=n是 n 元线性方程组ax=b 有唯一解 (c)(a) 充分必要条件(b)充分条件(c)必要条件(d)无关的条件139 矩阵 a=11的特征值为0,2,则 3a 的特征值为 (b )1(a)2,2;(b) 0,6;(c) 0,0;(d) 2,6;140 a=11，则2i12 aa2的特征值为（b）(a)2,2;(b) 2,-2;(c) 0,0;(d) 4,-4;41 bp 1 ap ,是 a,b 的一个特征值,是 a 的 关于的特征向量 , 则 b 的关于的000特征向量是 ( c )(a)(b)p(c)p 1(d)p42 a 满足关系式a 22 aeo ，则 a 的特征值是c(a)=2(b)= 1(c)= 1(d)= 2 是043 已知 2 是 a=2222x2的特征值，其中b 0 的任意常数，则x=（d）2b(a) 2(b) 4(c) 2(d) 474144 已知矩阵a=471有特征值123,312 ，(a) 24(b)4 4x(c) 2(d) 4则 x= （d）（提示：用 特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17 ）45 设 a 为三阶矩阵，已知ae0 ， a2e0 ， a3e0 ，则a4ea(a) 6(b) 4(c) 2(d)446.设 a 为三阶矩阵，有特征值为1， -1 ， 2，则下列矩阵中可逆矩阵是（d）(a) e-a(b) e+a(c) 2e-a(d) 2e+a1（二）计算题与填空题1. a35 a6i0 ，则a（）（1a25i）62. 设 a 是34 矩阵, r a2, b021112111, 则 r ba 2 t3. 设 a为 3 阶矩阵，且 |a |2 ,则行列式|a3a 1 | （ -1/2 ）4.11tt3,20tt5,310t,当t0,2时, 向量组1,2 ,3线性t无关 .5 设1k5,1132 t ,211 t ,k（）时可被向量2组1 ,2 线性表出。（-8 ）10301111000113120110010110016.答案：1103490127. 设t122,1t111,211t1,31t11. 则是 否为向量组1 ,2 ,3 的线性组合？（是）8. 确定a,b 为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.x1x2x13x2 x1x22x3 5x3 ax33x402 x41.4 x41x17 x210x37 x4b答：当 a1, b4 时，解为1217131c1c22200020，其中c1 , c2 为任意非零常数;当 a1, b4 时，解为127112k0，其中 k 为任意常数 ;020方程组不存在唯一解.9. 已知a111111111，矩阵 x 满足*1a xa2x ，其中*a 是 a 的伴随矩阵， 求矩 阵 x .答： x1101011410110 求下列矩阵的特征值与特征向量.102（ 1）010201312(2)202.211答案：(1)11,21,33 ，对应于11 的全部特征向量是tk10,1, 0， k10 ；对应于21 的全部特征向量是tk2 1, 0,1， k20 ；对应于33 的全部特征向量是tk31, 0,1， k30 .(2)10,231,对应于10 的全部特征向量是1k1 11， k1 为非零常数；对应于231 的全部特征向量为1k2200k321， k2 ,k3 是不同时为零的常数；11. 三阶矩阵a的特征值为11,22,33 ,则 a; a 1,a* , a 1a2 的特征值为().(6;1123112,)k10112.设矩阵a121有一个特征向量为2 ，求 k 及 a 的三个特征值.01k11,;6,3,2;4,9.23答案： k3， a 的三个特征值为1,3, 4 .tttt13 已知向量组t12,1,2,1,21,1,5,7,31,2,3,8,41,1, a,6,53,0,4,7的秩为 3 ，求 a 及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案： a2,1,2 ,4为一个极大无关组，31204 ,51024 ,14 设向量组11,k,1 ,2k1,2,1 ,31,1, k ，(1) k 为何值时，1 ,2 线性相关？线性无关？(2) k 为何值时，1,2 ,3 线性相关？线性无关？(3) 当1 ,2 ,3 线性相关时，将3 表示为1 ,2 的线性组合 .答案： (1)k2 时线性相关，k2 时线性无关；(2) k1,2 或 2 时线性相关；k1且 k2 且 k2 时线性无关；(3) 当 k1时，3102 ； 当 k53.2时，3124415设a123012,211使得 方程组axb总 有 解的b是().1( k1022k2113k32)121116.已知向量(1, k , 1)t 是矩阵a121的逆矩阵a1的特征向量，求常数k112答案： k1,217 矩阵a321315323的迹为。（ 7）定义： 对于 n 阶方阵a(aij) ，矩对角线元素之和称为方阵a 的迹，记为tra ，即traa11a22ann ，定义2.15如果矩阵a经过有限次初等变换变成矩阵b ，则称 矩阵 a 与 b 等价 ，记作ab（三）证明题：1. 设 a为 mn 矩阵， b 为 ns 矩阵，且ab0，证明 rar bn.证设 b(1,2 ,s ) ， 则 ab( a1 , a2 , as ) ，由 ab0 得ai0, i1, 2,s ，所以矩阵b 的列向量都是方程组ax0 的解 .设 rar ， 如 r0 ，则结论显然成立. 如 rn ，则方程组ax0 仅有