高中数学(平面向量)综合练习含解析

.高中数学 (平面向量 )综合练习含解析;.1. 在 abc中， abc ， acb 若点 d 满足 bd2dc ，则 ad（）21abcb3352cbc3321bcd331 b2 c332. 已知oa1, ob3 ， oa ob0 ，点c 在aob 内，且aoc30 ，ocmoanob m, nr ，则 m 等于（）n1a 3b3c3d3 33. 若向量a, b, c 满足 ab ，且 ac ，则 ca2b（）a 4b 3c 2d 04. 已知向量m( a,2), n(1,1a) ，且 mn ，则实数 a（）a1b 2 或1c 2d25. 已知向量a(1,2) ，向量 b( x,2) ，且 a( ab) ，则实数x 等于a4b 4c 0d 96. 已知 | a | 1，| b | 2 ，且 a(ab) ，则向量 a 与向量 b 的夹角为（）ab64cd 2 337. 已知平面向量a ， b 满足aab3 ，且 a2 ， b1 ，则向量 a 与 b 夹角的正弦值为（）a1b322c 12d 328. 在平行四边形abcd中，ad2 ，bad60 ，e 为 cd 的中点若adbe1 ，则 ab 的长为 ()a6b 4c 5d 69 o 为 平 面 上 的 定 点 ， a ， b ， c是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 若(oboc )(oboc2oa)0 ，则abc 是（）a. 以 ab为底面的等腰三角形b. 以 bc为底面的等腰三角形c. 以 ab为斜边的直角三角形d. 以 bc为斜边的直角三角形10在abc中， mb则有（）1 ab ，且对 ab边上任意一点n，恒有 nbncmbmc ，4a abbcb abacc abacd acbc11点 p 是abc 所在平面内的一点，若cbpapb (r) ，则点p 在（）aabc 内部b ac边所在的直线上c ab 边所在的直线上d bc边所在的直线上12在abc 中，角 a， b， c 所对的边分别为a ， b ， c ， cb6 ， cba2 ，且 o 为此三角形的内心，则ao cb（）a 4b 5c 6d 713. 在abc中， bca, acb,| a |2,| b |3, a b3 则 c 的大小为（）a 30b 60c 120d 15014. 在abc 中， a 、b 、c 的对边分别为a 、b 、c ，且 b cos c3 acosbcosb，ba bc2 ，则abc 的面积为（）a. 2b 3 2c 22d 4215. 若非零向量a, b 满足 | ab | | ab |2 | a | ，则向量 b与 ab 的夹角为.16. 在平面直角坐标系中，设m , n, t 是圆 c : (x1)2y24 上不同三点，若存在正32实数 a, b ，使得 ctacmbcn ， 则aab2abb a1的取值范围为17. 已知向量a(1,3) ，向量a, c 的夹角是， a c32 ，则 | c |等于18. 已知正方形abcd ，过正方形中心o的直线 mn 分别交正方形的边ab,cd 于点m、n ，则2mn最小值为 bn 219. 若a, b 均为非零向量， 且a2ba, b2ab ，则 a,b 的夹角为20. 在等腰梯形abcd中，已知ab/dc， abc=60，1bc=2ab=2，动点 e 和 f 分别在线段 bc和 dc上，且 be =bc，df =1dc ，则 ae bf 的最小值为221. 已知abc 是边长为1 的正三角形，动点m 在平面abc 内，若 amab0 ，| cm |1 ，则 cmab 的取值范围是22. 向量 a(1,1)，且 a 与 ab 的方向相反，则ab的取值范围是23. 如图，在三棱锥中dabc 中，已知 ab2 ，acbd3 ，设 ada ，bcb ，2cdc ，则cab的最小值为124. 已知 a 点坐标为 (1,0) ，b 点坐标为 (1,0) ，且动点 m 到 a 点的距离是4 ，线段 mb的垂直平分线l 交线段 ma 于点 p （ 1）求动点 p 的轨迹 c 方程（ 2）若 p 是曲线 c上的点，求 kpapb 的最大值和最小值25. abc中，内角为 a，b，c，所对的三边分别是a，b，c ，已知 b 211ac ，cos b3 4（ 1）求tan a；tan c（ 2）设 ba bc3, 求 ac 226. 已知函数fx1，点 o 为坐标原点 , 点122016sin1sin2sin2016x1ann, fn(nn * ) ,向量 i0,1 ，n 是向量oan与 i 的夹角，则coscoscos的值为27. 已知向量 a(sin3x,), b 2(cos x,1).（ 1）当a / b时，求22cosxsin 2x 的值；（ 2）求f (x)(ab)b 在, 0上的值域228. 如图，在平面直角坐标系中，方程为x2y2dxeyf0 的圆 m 的内接四边形 abcd 的对角线ac和bd 互相垂直，且ac和bd 分别在 x 轴和 y 轴上（ 1）若四边形abcd 的面积为40，对角线 ac 的长为 8， abad0 ，且adc 为锐角，求圆的方程，并求出b, d 的坐标；（ 2）设四边形abcd 的一条边 cd 的中点为 g ， ohab ，且垂足为h ，试用平面解析几何的研究方法判断点o、g、h是否共线，并说明理由29. 在直角坐标系xoy 中，已知点a(1,1),b(2,3),c (3,2)，点 p(x, y)在abc 中三边围成的区域（含边界）上，且opabac (,r) （ 1）若2 ， 求 op ；3（ 2）用x, y 表示并求的最大值x2y230. 已知椭圆c : a 2b 21(ab0) , 过左焦点f1 (1,0)的直线与椭圆c 交于 m 、n 两点，且f2 mn 的周长为 8 ；过点p(4, 0) 且不与 x 轴垂直的直线l 与椭圆 c 相交于 a 、 b 两点（ 1）求椭圆 c 的方程；（ 2）求 oa ob 的取值范围；（ 3）若 b 点关于 x 轴的对称点是e ，证明：直线ae 与 x 轴相交于定点.参考答案1. c【解析】试题分析：如图所示，在abc 中， adabbd又bd2 dc，;.bd2 bcbcacabbcadab2 bcc2 bc2 b1 c33333故选 c考点：向量加法2. a【解析】试题分析：如图所示，建立直角坐标系则oa1,0 ,ob0,3 ,ocmoanobm,3n,tan303n3m3m3 故选 bn考点：共线向量【名师点睛】 本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题 解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果3. d【解析】试题分析：设ab，则由已知可得c(a2b)c ac(2b)c ac(2b)21ca0考点：向量的运算4. b【解析】试题分析：由已知mn，则 a(1a)21a2a20a1,a2考点：共线向量5. d【解析】 试题分析：ab1x,4由 a(ab)1,21x,41x80x9考点；向量垂直的充要条件6. b【解析】r试题分析： 由题意得a (ab)02a ba1cosa,ba b| a | | b |2 ，所以向量 a 与2r向量 b 的夹角为4 ，选考点：向量夹角7 d【解析】试题分析：212aab3 aab3a b1cosa, ba, b23.选 d考点：向量夹角8 d【解析】试题分析：adbead（ba+ adde )ad（- ab + ad1 ab)ad（ ad1 ab )22412abcos41 ab1232考点：向量数量积9 b【解析】，因此 ab6. 选 d试 题 分 析 ： 设bc的 中 点 为d ， (oboc )(oboc2oa)0 ， cb(2od2oa)0 ， cb2 ad0 ， cbad ，故 abc的 bc边上的中线也是高线故abc是以 bc为底边的等腰三角形，故选b 考点：三角形的形状判断10. d【解析】试题分析：以a 为原点，ab 为 x 轴，建立直角坐标系，设b(4,0),c( a, b)， n ( x,0) ，则m (3,0)，mbmc(1,0)(a3, b)a3，nbnc(4x,0)(ax, b)(4x)( ax) ，2a42(a4)2(4x)( ax)x(a4) x4 a( x)4a，24(a4) 2a4由题意4aa43 （或23 ），解得 a2 ，所以 acbc 故选 d考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1平面直角坐标系中，以原点为起点的向量oa a ，点a 的位置被 a 所唯一确定，此时a 的坐标与点a 的坐标都是（x， y）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（x， y）向量 oa点 a（ x， y ）要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如a（ 1， 2）， b（ 3，4），则 ab （ 2， 2） 3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度本题建立坐标系后，nbnc(4x,0)(ax,b)(4x)( ax) ，问题转化为函数f ( x)(4x)( ax) 的最小值是a3 或在 x3 时取得最小值， 由二次函数的性质结论易得11. b【解析】试题分析：由cbpapb 得 cbpbpa，即 cppa，所以 cp 与 pa 共线， 故选 b考点：向量的线性运算，向量的共线12. c【解析】试题分析：如下图所示，过o 作 odab 于 d ， oeac 于 e ， aocbao( abac )aoabaoac| ad | |ab | ae | |ac |，又 o 为abc 内心， | ad| | ab |ae | |ac | | ad | c| ad | b ，abc(| bd | bc | ce |)cba22| ad |， aocbao( abac )aoabaoac(cb)( cba) 26 ，故选 c考点： 1三角形内心性质； 2平面向量数量积【思路点睛】 平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查， 在解题时运用向量的运算， 数量积的几何意义， 同时， 需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件， 常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化， 一般会与函数， 不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势13. b【解析】试题分析：aba bcos c3 ，解得cos c1c，所以260 0 ，故选 b考点：平面向量数量积的应用14. c【解析】试题分析：由b co csa3cbos c，根b据正弦定理可得sibncc osa 3sbincc ob，sinbc3sina cos bsina,cos b1；再根据3ba bc2，得cacos b ，ac6 ，所以abc 的面积为1 ac2sin b22 ，故 c 为正确答案考点： 1、正弦定理； 2、向量的数量积【思路点晴】 本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于中档题； 由 bcosc3acosbc cosb ，根据正弦定理求出cosb 的值，进而求出 sin b的值； 再根据1ba bc2，利用两个向量的数量积的定义求得ac 的值， 最后根据面积公式acsin2b 求出abc 的面积即可15. 156【解析】试题分析：如图所示，设aba, adb ，两个非零向量满足| ab | | ab |2 | a | ，则四边形 abcd是矩形，且ab1cosbac，bacoab，oadac236而向量 b 与 ab 的夹角即为oad ，故向量 b与 ab 的夹角为6考点：向量的夹角的计算16 (2,)【解析】试题分析： 由题意，ctcmcn2，设 cm,cn夹角为，对 ctacmbcn两边平方，整理得44a 22 abcmcn4b 21a22ab cosb21cos221 ab1ab，可得到1ab1,ab1或ab1，以为 a 横坐标 ,b 为纵坐标 ,表示出满足上面条件的平面区域如图阴影部分所示，则a3ab22abb1a2b22bb1a22b1b11，aaa它表示点a, b 到点0,1 的距离的平方及点a, b 与点0,1 连线斜率的和，由可行域可 知 当 点a,b位 于 点1, 0 时 取 到 最 小 值2 ， 但 由 题 意a,b 为 正 实 数 ， 故a3ab22abba1 的取值范围为(2,)【名师点睛】本题主要考查向量的运算，简单的线性规划，及目标函数的实际意义等知识， 属难题解题时由两个难点，一个是根据题意得到可行域明亮一个是目标函数的实际意义， 需要一定的数学功底考点：17 2【解析】 试题分析：acaccosa, c=2ccos 32 c2考点：向量的运算18 35【解析】试题分析：以正方形中心o 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边长为2 个单22，由ymn4m4位，则b(1,m1)m,(n,m1),m( ，因此bn 2(1m)248( m2y(14mm)21)0得4 2m52或m52(舍)，因此函数在(52,1)单调增，在(1,52) 单调减，即m52 时，函数取最小值35yamboxdnc考点：利用导数求函数最值【思路点睛】函数最值存在的两条定论 1闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点 2开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值“单峰”利用导数探求19 3【解析】22试题分析：a2ba, b2aba2ba0, b2ab0a 2b ab ，因此 cosa b| a |b |1 ,.23考点：向量夹角20 46l3【解析】试题分析：由题意得ab4, cd2aebf( abbe )( bccf )abbcbebcabcfbecf| ab | | bc| cos120| be | | bc |ab | | cf|be|cf |cos 6042(1 )224(11 )22(11 )21222213641326446l3 ，当且仅=63当时取等号， 即 ae bf的最小值为46l3考点：向量数量积，基本不等式求最值21 1,1 )2【解析】b(1,0), c(,) ，设试题分析：如图，以a 为原点，ab 为 x 轴建立直角坐标系，则1322m ( x,y) ， amab( x, y)(1,0)x0 ，由 cm1 得 ( x1 ) 2( y3 )21，所以2211311x0 ，所以cmab(x, y)(1,0)x1,) 22222ycmabx考点：向量的数量积，数量积的坐标运算【名师点睛】1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时， 可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多2. 平面直角坐标系中，以原点为起点的向量oa a ，点 a 的位置被 a 所唯一确定， 此时 a的坐标与点a 的坐标都是（x， y）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（x， y）向量 oa点 a（x ， y ）要把点的坐标与向量的坐标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如a（ 1，2）， b（3， 4），则 ab （ 2， 2）3. 用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度22 (,2)【解析】试题分析：因为a 与 ab 的方向相反，所以a 与 b 共线，且方向相反设b ka(k ,k )（ k0）， 又 ab(1k,1k ) 与 a 方 向 相 反 ， 所 以 1k0 ， k1 ， 所 以a bkk2k2 考点：向量的数量积，共线向量，数量积的坐标运算23 2 【解析】试题分析： 设 ada ，cbb ，dcc ， ab2 ， | abc| 2 4a 2 b2 c 222( a bb cc a)4，又ac3b ，d(ac)(b c)3 ， abbc3ca a2b2c22(3c2 )=4c2a 2b 22 ， ab222 ab22 ，当且仅当2ab1ab1ab 时，等号成立，即c2ab1的最小值是2 考点： 1空间向量的数量积；2不等式求最值【思路点睛】 向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数， 不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势224（ 1） xy21；（ 2） kmax4 ， kmin3 43【解析】试题分析：（ 1）根据题意知 | pa | pb | | pa | pm|42 ，所以 p 的轨迹是以a, b 为焦点的椭圆，且2a4, 2c2 ，所以轨迹的方程为x2y21；（ 2 ）设点p( x0 ,y0 ) 则43yx22001 ，根据两点之间的距离公式得：k( x1)2y 2( x1)2y 2 ，化简430000得： k14x042，又有椭圆的范围知2x02 ，求函数的最值试题解析：（ 1） | pa | pb | | pa | pm |4 ；又 | ab |2 ， p 的轨迹是以a, b 为焦点的椭圆， 2a4, 2 c2 ， b 2a 2c23 ，22所求轨迹方程为xy143x 2y 200（ 2）解：设点p ( x , y ) 则00143k( x1)2y 2(x1)2y 2(2x2)000001 x 22x41 x 22 x4(21 x )(21 x )41 x 2440000000224当x00 时， kmax4当x02 时， kmin3考点： 1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值【方法点晴】 本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误25（ 1） 47 ；（ 2） 3 7【解析】试题分析： （ 1 ）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：sin2bsinasinc ，又cos b3，所以4si（n ac）sinb77，所以44si（n ac）=sinasinc，展开两边同除以 sinasinc 即可；（ 2）因为 ba bc3 ， cos b3，所以accosb3 ac3 ，则 b2ac2，由余弦定理得cos b2442a2c2b 22aca2c22( ac) 22ac23，所以（ac）29， ac3 444试题解析：（ 1）b2acsin2bsinasinccosb37且b为三角形内角?si（n ac） sinb4411cos acos c47tan atan csin asin c7（ 2） ba bc33， cosb24 ac cosb34ac3 ，2则 b2ac2a 2c2b2a 2c22(ac) 22ac23 cos b2ac444（ac）29， ac3考点： 1、正弦定理； 2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式2016262017【解析】n试题分析：由题意可得90n是直线oan的倾斜角，cos nsin(90n )ta（n 90）fn111，sinncos(90n )nnn1nn1cos 1sin1cos2sin2cos sin2016201611111120161.12232016201720172017考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算227（ 1） 2cosxsin 2 x20；（ 2）13f ( x)的值域为2 , 122【解析】试题分析：（ 1）利用向量平行的坐标运算，同角三角函数间的关系，得到tanx 的值，然后2化简 2cos xsin2x 即可（ 2 ）先表示出f ( x)(ab )b2sin2x，再根据x 的范围求出函数（fx）的24最大值及最小值 试题解析：（ 1）a| b， 3 cos x2sin x0 ，tan x322cos 2 xsin 2 x2cos 2 x2sin x cosx22 tan x20 （ 2）absin 2 xcos2 x11tan2 x13(sin xcos x,) 2f ( x)(ab) b2sin(2 x)24x0 ，32 x，1sin(2 x)22444422f ( x)1函数f ( x)的值域为2 , 12222考点：正弦函数的性质xy228（ 1）【解析】2325 ，b 0,8 , d(0,2) （ 2）共线试题分析：（ 1）利用四边形abcd 面积得直径bd10，因而半径为5，利用弦 ac=8可求得圆心 m到直线 ac距离为 3，即圆心 m0,3，方程为x2y3 225 ，可得圆在y 轴上的交点b 0,8 , d(0,2) （ 2）判断三点o、g、h是否共线， 一般利用斜率进行判定，即判断 kogkoh是 否 成 立 ， 而 aboh ， 因 此 只 需 判 断ko gk a b1 是 否 成 立 ， 设2a a,0 ，b0,b ， cc,0 ，dd,0则转化为判断bdac 是否成立：对于圆m 的一般方xy程22dxeyf0 ，a，c 为 x2dxf0 两根， b，d 为 yeyf0 两根，从而由韦达定理得acfbd ，因此三点共线acbds试题解析：解： （ 1）不难发现，对角线互相垂直的四边形abcd 面积2，因为 s40, ac8 可得 bd10又 因 为abad0 ， 所 以a 为 直 角 ， 而 因 为 四 边 形 是 圆 m 的 内 接 四 边 形 ， 故bd2r10, r5 ， 连 接 ma ， 求 得 mo3 ， 所 以 m0,3， 故 圆 m的 方 程 为x2y3 225 ，令 x0, y8或2 ，求得b 0,8, d(0,2)证：设四边形四个顶点的坐标分别为a a,0 ，b0, b ，cc,0 ，dd,0 则可得点 g 的坐标为c , dog 22，即c , d 22又 aba,b ， 且 aboh ，故使g、o、h共线，只需证ab og0 即可2而 abogbdac ，且对于圆m 的一般方程x2y2dxeyf0 ，当 y0 时，可得 x 2dxf0 ，其中方程的两根分别为点a 和点 c 的横坐标，2于是有x a xcacf 同理，当x0 时，可得yeyf0 ，其中方程的两根分别为点b 和点 d 的纵坐标，于是有yb ydbdf ，所以，abogbdac 20 ，即 abog ，故 g、o、h必定三点共线考点：圆的方程，直线与圆位置关系29（ 1） op22 ；（ 2）的最大值为1【解析】试题分析：（ 1）直接求出向量的坐标，即可计算模的大小； （ 2）由向量相等的定义可得,，试 题 解 析 ：（ 1 ） 由 已 知 ab(1,2), ac(2,1)， 所 以 op2 ab2 ac(2,2)，33op22 ，（2 ）由