牛吃草变形(学案)

“ 牛吃草问题 ” 的变形【例 1】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水， 3 小时淘完；如5 人淘水， 8 小时淘完.如果要求2 小时淘完，要安排多少人淘水？答案： 设 1 人 1 小时淘出的水量是“ 1 ” ，淘水速度是(58103)(83)2 ，原有水量(102)324 ，要求 2小时淘完，要安排242214 人淘水【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3 人 淘水40 分钟可以淘完；6 人 淘水16分钟可以把水淘完，那么，5 人淘水几分钟可以把水淘完？答案： 设 1 人 1 分钟淘出的水量是“ 1 ” ， 401624 分钟的进水量为34061624，所以每分钟的进水量为24241，那么原有水量为：314080 5 人淘水需要805120 (分钟 )把水淘完【例 2】画展 8:30 开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3 个入场口， 9 点就不再有人排队；如果开5 个入场口， 8 点 45 分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。答案： 设每分钟1 个入口进入的人数为1 个单位。8:30 到 9:00共 30 分钟3 个入口共进入33090 。 8:30 到 8:45共 15 分钟， 5 个入口共进入51575， 15 分钟到来的人数907515 ，每分钟到来15151 。8 ： 30 以前原有人33013060 。 所以应排了60160 （分钟），即第一个来人在7： 30【巩固】画展9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3 个入场口， 9 点 9 分就不再有人排队；如果开5 个入场口， 9 点 5 分就没有人排队求第一个观众到达的时间答案： 如果把入场口看作为“ 牛” ，开门前原有的观众为“ 原有草量 ” ，每分钟来的观众为“ 草的增长速度”，那么本题就是一个“ 牛吃草 ”问题设每一个入场口每分钟通过“ 1 ” 份人，那么4 分钟来的人为39552 ，即 1 分钟来的人为240.5 ，原有的人为：30.5922.5 这些人来到画展，所用时间为22.50.545(分 )所以第一个观众到达的时间为8 点 15 分 【例 3】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30 级台阶到达地面从站台到地面有级台阶答案： 本题非常类似于“牛吃草问题 ” ，如将题目改为：“ 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯20155 秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：21512010 阶，电梯的速度为1052 阶/ 秒，扶梯长度为20(12)60 （阶）。【巩固】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3 级梯级，女孩每秒可走2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100 秒，女孩走了300 秒。问：该扶梯共有多少级梯级？答案： 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级 女孩走的时间男孩每秒走的梯级 男孩走的时间）（女孩走的时间男孩走的时间）(23003100)(300100)1.5 ，自动扶梯的梯级总数女孩每秒走的梯级 女孩走的时间自动扶梯的速度 女孩走的时间23001.5300600450150 （级）所以自动扶梯共有150 级的梯级。【例 4】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15 千米， 3 小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35 千米， 1 小时可以追上；若开汽车，每小时行45 千米， 多长时间能追上。答案： 本题是 “ 牛吃草 ” 和行程问题中的追及问题的结合小明在312 小时内走了15335110千米，那么小精品资料明的速度为 1025 (千米 /时)，追及距离为155330 (千米 )汽车去追的话需要： 钟)304553 (小时 )45(分4【例 5 】快、中、慢三车同时从a 地出发沿同一公路开往b 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7 分钟、 8 分钟、 14 分钟追上骑车人已知快车每分钟行800 米，慢车每分钟行600 米，中速车的速度是多少？答案： 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(600148007)(147)400 ( 米/分 )，开始相差的路程为：(600400)142800 （米），所以中速车速度为：28008400750( 米分 )【巩固】有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2 倍追赶乙车，5 小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3 倍追赶乙车，3 小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？答案： 分析知道甲车相当于“ 牛” ，甲追赶乙的追及路程相当于“ 原有草量 ” ，乙车相当于 “ 新生长的草 ” 设甲车的速度为“ 1 ” ，那么乙车532 小时走的路程为25331，所以乙的速度为120.5，追及路程为：20.557.5 如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：7.510.515 ( 小时)【例 6】甲、乙、丙三车同时从a 地出发到 b 地去甲、乙两车的速度分别是每小时60 千米和每小时48 千米有一辆卡车同时从b 地迎面开来，分别在它们出发后6 小时、 7 小时、 8 小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度答案： 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为： (606487)(76)24 （千米 /时），全程： (6024)6504（千米），丙车速度为：50482439（千米/时）【巩固】小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去小新、正南两人的速度分别是每分钟20 米和每分钟16 米在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6 分钟、 7 分钟、 8 分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度答案： 当小新和风间相遇时，正南落后小新6201624 (米)，依题意知正南和风间走这24米需要 761 (分钟 )，正南和风间的速度和为：24124 ( 米分) ，风间的速度为：24168 ( 米分) ，学校到公园的距离为：247168(米)所以妮妮的速度为：1688813 (米分 )【例 7】一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10 分钟把水池的水排完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？答案： 设一个排水阀1 分钟排水量为“ 1” ，那么进水阀1 分钟进水量5 ，水池原有水量为10.53015 关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要1535 (分钟 )才能排完水池的水【巩固】 一个蓄水池有1 个进水口和15 个出水口， 水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开9 个出水口，9 小时可以把水排空如果打开7 个出水口， 18 小时可以把水排空如果是一满池水，打开全部出水口放水，那么经过时分水池刚好被排空答案： 本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为1 ，则进水口每小时的进水量为：(71899)(189)5 ，半池水的量为：(95)936 ，所以一池水的量为72 如果打开全部15 个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2 小时，即7 小时 12 分钟【例 8】北京密云水库建有10 个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，10 个小时后水位降至安全线根据抗洪形势，需要用2 个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？答 案 ： 此 题 是 牛 吃 草 问 题 的 变 形 ， 假 设 每 个 泄 洪 洞 每 小 时 泄 洪 的 量 为1 ， 则 水 库 每 小 时 增 加 的 水 量 为(130210)(3010)0.5，原有的水量超过安全线的部分有(10.5)3015 如果要用 2 个小时使水位降至安全线以下，至少需要开1520.58 个泄洪闸【巩固】有一个蓄水池装了9 根相同的水管，其中一根是进水管，其余8 根是出水管开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水后来， 想打开出水管，使池内的水全部排光如果同时打开8 根出水管， 则 3 小时可排尽池内的水； 如果仅打开5 根出水管，则需6 小时才能排尽池内的水若要在4.5 小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？答案： 设 1 根出水管1 小时排水的量为“ 1”，那么进水管每小时进水量为5683632 ，池内原有水量为82318 要在 4.5 小时内排尽池内的水，应当同时打开184.526 根出水管【巩固】由于环境恶化、气候变暖，官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门 30 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4 个闸门40 小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24 小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?答案： 设 1 个闸门1 小时的放水量为“1 ” ，那么每小时自然减少的水量为：40430540301 ，实际注入水量为：5130120 ；24 小时蓄水需要打开的闸门数是：1202416 (个)【例 9】甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12 个工人， 5 小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28 个工人， 3 小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2 台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)答案： 设 1 人 1 小时搬运的份数为“ 1 ” ，那么一台皮带运输机1 小时的工作量为2831255312 ，每个仓库存放的面粉总量为：12125120 那么 ,丙仓库现有2 台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，需要120212236 (人)【例 10】小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1 米，小方用3 次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2 米，小方用4 次恰好把桶装满。第三个桶距水缸有3 米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）答案： 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了24135 米路，所以从杯中流出的速度是150.2（杯 /米），于是 1 桶水原有水量等于330.22.4杯水，所以小方要2.4(130.2)6 次才能把第三个桶装满。【例 11】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250 个工人砌砖墙，6 天可以把砖用完，如果派160 个工人， 10 天可以把砖用完，现在派120 名工人砌了10 天后，又增加5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？答案： 开工前运进的砖相当于“ 原有草量 ” ，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草” ，工人砌砖相当于“ 牛在吃草 ” 所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“ 1 ” ，那么每天运来的砖为16010250610625 ，原有砖的数量为：2502561350 如果 120 名工人砌10 天，将会砌掉10 天新运来的砖以及950 原有的砖， 还剩 1350950400的原有的砖未用，变成1205125人来砌砖，还需要：400125254 (天)【例 12】某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15 个工人砌砖墙，14 天可以把砖用完，如果派20 个工人， 9 天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6 天后，调走6 名工人