大一(上)-微积分-知识点(重点)

大一（上）微积分知识点第一章函数一、ab=, 则 a、b 是分离的。二、设有集合a、b，属于 a 而不属于 b 的所有元素构成的集合，称为 a与 b 的差。a-b=x|xa且 xb（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致；摩根律：交的补等于补的并。四、笛卡尔乘积：设有集合a和 b，对xa,yb，所有二元有序数组（ x,y）构成的集合。五、相同函数的要求：定义域相同对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意：1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数 的定义域关于原点不对称， 则函数无奇偶性可言， 那么函数既不是奇函数也不是偶函数；2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的xd( f ) ， f (x)f ( x)成立，则f (x) 为偶函数；若对所有的xd( f ) ，f (x)f (x) 成立，则f (x) 为奇函数；若f (x)f (x) 或 f (x)f ( x) 不能对所有的 xd( f) 成立，则f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数；3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数； 一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零） ； 两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。第二章极限与连续一、一个数列有极限， 就称这个数列是收敛的， 否则就称它是发散的。二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。三、无穷小量的几个性质：1、 limf(x)=0，则2、若 limf(x) =limg( x) =0，则 limf ( x)g( x)03、若 limf(x) =limg( x) =0，则 limf ( x) g( x)04、若 g(x) 有界（ | g(x)|m），且 limf(x) =0，则 limf(x) g(x ）=0四、无穷小量与无穷大量的关系：1若 y 是无穷大量，则y是无穷小量；1若 y（ y0) 是无穷小量，则y是无穷大量。五、无穷小量的阶数比较（假设limf (x)limg( x)0 ) ：lim若lim若f ( x)g ( x)f ( x)g( x)0称 f(x)是较 g（ x) 高阶的无穷小量；称 f(x)是较 g（ x) 低阶的无穷小量；lim若limf(x)g(x)f ( x)c(c10)称 f(x)是较 g（x) 同阶的无穷小量；若g( x)称 f(x)是较 g（ x) 等价的无穷小量，记为f ( x) g( x) 。六、极限的运算法则：lim (xy) =limxlim ylimx=lim yx lim ylimc y =c lim y limnxn =(limx) lim1xn =(lim1x) nlim x ylim x lim ylim y0七、求极限的几种技巧：当极限过程是 x时，除以最高次项； 当带有根号时，进行有理化；当遇到分式的加、减运算时，进行通分；当极限过程是 x时，分子最高次项的指数低于分母最高次项的指数时，结果为 0；分子最高次项的指数高于分母最高次项的指数时， 结果为；分子、分母最高次项的指数相等时，结果为最高次项的系数比。八、两个重要极限：limsin x x1( x0)limtan x x1( x0)lim( 11 )xxe( x)lim( 11x) xe( x0)九、等价无穷小量（乘积的时候才可以换）：sin x x(x0)tan x x( x0)arcsin x x( x0)arctan x x(x0)21cos x x(x0) 2n 1x1 x ( x0) nln(1x) x(x0)ex1 x( x0)十、证明在某一点xo 处连续：需证明limf ( x)f ( xo )( xxo )十一、出现函数的间断点的情况：在点 xo 处f（ x）没有定义；limf (x)( xxo ) 不存在；虽然 f(xo ) 有定义，且limf (x)( xxo ) 存在，但limf ( x)( xxo )f (xo )十二、间断点分类：1、第一类间断点：如果函数f（ x）在点 xxo 处的左、右极限都存在，但不全等于f（ xo )，就称点 xxo 为f（ x）的第一类间断点。可去间断点（属于第一类间断点） ：函数间断点的左、右极限存在并相等， 只是不等于该点的函数值， 那么我们可以重新定义函数在间断点的值，使得所形成的函数，在该点连续。跳跃间断点（属于第一类间断点） ：函数间断点的左、右极限存在但不相等。2、第二类间断点： 如果函数f（ x）在点 xxo 处的左、右极限至少有一个不存在，就称点xxo 为f（ x）的第二类间断点。无穷间断点（属于第二类间断点） ：只要左右极限有一个为。振荡间断点十三、介值定理：如果函数f（ x）在闭区间a, b上连续， m和 m分别为f（ x）在a, b上的最小值和最大值， 则对介于 m与 m之间的任一实数c（即 mcm ），至少存在一点a,b，使得 fc 。推论：如果函数f（ x）在闭区间a,b上连续，且fa 与 fb 异号，则至少存在一点a, b，使得 f0 。第三章第四章导数与微分1、 yx 在 x0 处不可导（ yx1 就在 x1 处不可导 )第五章不定积分一、基本积分公式表：1、0dxc（c为常数）xa dx2、xa 1a1c(a1)1 dx3、xln xcax dx1axc(a0, a1)4、ln a、5ex dxexc6、sin xdxcosxc7、cosxdxsinxccsc28、xdxcot xc、9sec2xdxtan xcdxarcsin xc10、1x211、dxarctan xc 1x212、tan xdxln cosxc13、cot xdxln sin xc14、15、secxdx cscxdxln secx ln cscxtanxccot xcdx1 arctan xc(a0)16、17、a 2x2dxa 2x2aa1 ln ax2aaxc( a0)18、dxa 2x2arcsin xac(a0)19、dxx2a2ln xx2a 2c (a0)20、a 2x2 dxaarcsin x22 axa 22x 2c(a0)n二、一般地，如被积函数含有axb ，令 n axb =t ，可以消去根号，如被积函数含有 n x ， m x ，令k x =t ，k 为 m与 n 的最小公倍数，可同时消去两个根号。三、三角代换：被积函数含有a 2x2，可作代换 xa sin t 或 xacost被积函数含有a 2x2