最新平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例 1(1)(2014天)津已知菱形abcd 的边长为2， bad 120 ，点 e， f 分别在边bc， dc 上， bc 3be，dc d.f若ae af 1，则 的值为 .(2)已知圆 o 的半径为1， pa，pb 为该圆的两条切线，a， b 为切点，那么 pa pb的最小值为()a. 42b. 32c. 422d. 3 22变式训练1(2015 湖北)已知向量 oa ab， | oa | 3，则 oa ob .题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例 2(1)(2015重)庆若非零向量a，b 满足| a| 223| b| ，且(a b) (3a 2b)，则 a与 b 的夹角为 ()34a.b.2c. 4d. (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于，| a| 2， | b| 3，则 2a b 与 a 2b 的夹角的余3弦值等于 ()1111a.26b. 26c.12d. 121 变式训练2(2014 课标全国) 已a知，b，c 为圆 o 上的三点，若 ao(ab ac)，则ab2ac与 的夹角为 .题型三利用数量积求向量的模例 3(1)已知平面向量a和 b，| a| 1，| b| 2，且 a 与 b 的夹角为120 ，则|2 a b| 等于 ()a.2b.4c.25d.6(2)已知直角梯形abcd 中，ad bc， adc 90 ，ad 2，bc 1，p 是腰 dc 上的动点， 则| pa 3pb| 的最小值为 .1变式训练3(2015 浙江)已知 e1， e2 是平面单位向量，且e1e22.若平面向量b 满足 be1 b e2 1，则 | b| .高考题型精练1.(2015山东)已知菱形abcd 的边长为 a， abc 60 ，则bd cd等于 ()a.33a2b. a22433c. a2d. a2422.(2014浙江)记 max x， y x， xy， y， xy，min x， y y， x y， x， x y，设 a， b 为平面向量，则()a.min| ab| ， | a b| min| a| ， | b|b.min| ab| ， | ab| min| a| ， | b|c.max| a b| 2， | a b| 2 |a| 2| b| 2d.max| a b| 2， | ab| 2 |a| 2 | b| 23.(2015湖南)已知点 a， b， c 在圆 x2 y2 1 上运动，且ab bc.若点 p 的坐标为 (2,0)，则| pa pb pc| 的最大值为 ()a.6b.7c.8d.9aobbopp4. 如图，在等腰直角abo 中， oa ob 1， c 为 ab 上靠近点a 的四等分点，过c 作 aboa的垂线 l，p 为垂线上任一点，设 ， ， ，则 p(ba)等于 ()112a.b.233c. 2d. 25. 在平面上， ab ab ，| ob | | ob | 1，apab ab .若| op| 1| oa | 的取值范围121212，则2是()a.(0，5572 b.( 2 ， 2 c.(52 ，2d.(72 ，26. 如图所示， abc 中， acb 90 且ac bc 4，点 m 满足 bm3ma，则cm cb等于()a.2b.3c.4d.67.(2014安徽)设 a， b 为非零向量， | b| 2| a| ，两组向量x1， x2， x3，x4 和 y1， y2， y3， y4 均由 2 个 a和 2 个 b 排列而成 .若x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4y4 所有可能取值中的最小值为4| a| 2， 则 a 与 b 的夹角为 ()23a.b.3c.6d.08.(2014江苏)如图， 在平行四边形abcd 中，已知 ab 8，ad 5，cp 3pd ，ap bp 2，则 的值是 .abad9. 设非零向量a，b 的夹角为，记 f(a， b)acos bsin .若 e1 ， e2 均为单位向量，且e1e23 2 ，则向量f(e1， e2)与 f(e2， e1 )的夹角为 .10. 如图，在 abc 中，o 为 bc 中点，若 ab 1，ac3，ab，ac 60 ，则| oa| .11. 已知向量a(sin x，3)， b (cos x， 1).当 a b 时，求 cos2x sin 2x 的值；412. 在 abc 中， ac 10，过顶点c 作 ab 的垂线，垂足为d， ad 5，且满足 ad 5 db .11(1)求| ab ac| ；x(2)存在实数t 1，使得向量 abtacy ， tabac ，令 kxy，求 k 的最小值 .平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例 1(1)(2014天)津已知菱形abcd 的边长为2， bad 120 ，点 e， f 分别在边bc， dc 上， bc 3be，dc d.f若ae af 1，则 的值为 .(2)已知圆 o 的半径为1， pa，pb 为该圆的两条切线，a， b 为切点，那么 pa pb的最小值为()a. 42b. 32c. 422d. 3 22答案(1)2(2)d解析(1)如图，ae af (ab be)ad df ) (ab 1 bc)ad 1 dc) ab ad 1 ab dc 1(3(3bc ad 1 bcdc3111442102 2 2 cos 120 2 2 2 2 2 2 cos 1202 ，33 333 3又 ae af 1，102 3 31， 2.(2)方法一设| pa| | pb| x， apb ， 1x则 tan ，21tan2 2x2 1从而 cos 2.1 tan22x 1pa pb | pa| |pb| cosx2 1x4 x2 x2 22x 1x 1x22x22x2 12 x2 1 2 32 2 3，x 1当且仅当x2 12，pa即 x22 1 时取等号，故 的最小值为22 3.pb方法二设 apb ， 0 ，1则| pa| | pb| .tan 2papbpa | | |cos pb1 ()2cos tan 2cos22 (1 2sin2 ) sin2222 2 sin 2 2sin 2.sin22令 x sin2， 0 x 1， 2 x 2x则pa pbx1 2x x 32 2 3，1当且仅当2xx，即 x22 时取等号 .故pa pb的最小值为22 3.方法三以 o 为坐标原点，建立平面直角坐标系xoy， 则圆 o 的方程为x2 y2 1，设 a(x1， y1)， b(x1 ， y1)， p(x0,0)，则pa pb (x1 x0， y1) (x1 x0， y1)x2 2x1x0x2 y2.101由 oapa? oa pa (x1， y1) (x1x0， y1) 01101? x2 x x y20，11又 x2 y2 1， 所以 x1x0 1.101从而 pa pb x22x1 x0 x2 y2101 x2 2 x2 (1 x2)10 2x2 x2 32 2 3.故pa pb的最小值为22 3.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b 的数量积ab 与代数中 a，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0 时得不到 a 0 或 b 0，根据平面向量数量积的性质有 | a| 2a2 ，但| ab| |a| |b|.变式训练1(2015 湖北)已知向量 oa ab， | oa | 3，则 oa ob .答案9解析因为 oa ab，所以 oa ab 0.所以 oa ob oa2 (oa ab) oa oa aboa| | 2 032 9.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例 2(1)(2015重)庆若非零向量a，b 满足| a| 223| b| ，且(a b) (3a 2b)，则 a与 b 的夹角为 ()4a.b.23c. 4d. (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于3，| a| 2， | b| 3，则 2a b 与 a 2b 的夹角的余弦值等于 ()11a.26b. 2611c.d. 1212答案(1)a(2)b解析(1)由(ab) (3a 2b)得(ab) (3a 2b) 0，即 3a2 ab 2b2 0.又|a| 223| b| ，设 a， b ，即 3| a| 2 | a| |b| cos 2| b| 2 0，8 | b| 2322| b| 2 cos 2| b| 2 0.3 cos242 .又 0， .(2)记向量 2ab 与 a 2b 的夹角为，又(2a b)2 422 32 4 2 3cos313，(a 2b)2 22 432 4 2 3cos 352，(2a b) (a 2b) 2a2 2b2 3a b 8 18 9 1，故 cos a ba 2b126|2 a b| |a 2b|，1即 2ab 与 a 2b 的夹角的余弦值是.26点评 求向量的夹角时要注意： (1)向量的数量积不满足结合律， (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角 .1 变式训练2(2014 课标全国) 已a知，b，c 为圆 o 上的三点，若 ao(ab ac)，则ab2与ac的夹角为 .答案90 1 解析 ao(ab ac)，2点 o 是 abc 中边 bc 的中点， bc 为直径，根据圆的几何性质得ab与ac的夹角为90 .题型三利用数量积求向量的模例 3(1)已知平面向量a和 b，| a| 1，| b| 2，且 a 与 b 的夹角为120 ，则|2 a b| 等于 ()a.2b.4c.25d.6(2)已知直角梯形abcd 中，ad bc， adc 90 ，ad 2，bc 1，p 是腰 dc 上的动点， 则| pa 3pb| 的最小值为 .答案(1)a(2)5解析(1)因为平面向量a 和 b， | a| 1，| b| 2，且 a 与 b 的夹角为120 ， 所以 |2 a b| a2 b2 2 |2a| |b|cos 12012212 22 2 2 1 22 2.(2)方法一以 d 为原点，分别以da 、 dc 所在直线为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 dc a，dp x. d (0,0)， a(2,0)， c(0， a)， b(1， a)， p(0， x)， pa (2， x)， pb (1，a x)， pa 3pb (5,3a 4x)，| pa 3pb| 2 25 (3a 4x)2 25 ，|pa 3pb| 的最小值为5.方法二设dp xdc(0 x1)， pc (1 x)dc，pa da dp da xdc，dapb pc cb (1 x)dc 1 ，2da pa 3pb 5 (34x)dc，2da| pa 3pb| 2 25 2 2542(3 4x)da dc (3 4x)2 dc2 25 (3 4x)2dc2 25 ，|pa 3pb| 的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a (x， y)，求向量a 的模只需利用公式| a| x2 y2即可求解 .(2)向量不放在坐标系中研究， 求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：| a| a2.1变式训练3(2015 浙江)已知 e1， e2 是平面单位向量，且e1e22.若平面向量b 满足 be1 b e2 1，则 | b| .23答案3解析因为 | e1| | e2| 1 且 e1 e21.所以 e1 与 e2 的夹角为60 . 又因为b e1 b e2 1，所2以 be1b e2 0，即 b(e1 e2) 0，所以 b(e1 e2 ).所以 b 与 e1 的夹角为 30 ，所以 b e1 | b| |e1|cos 301.23所以 | b| 3.高考题型精练bdcd1.(2015山东)已知菱形abcd 的边长为 a， abc 60 ，则 等于 ()a.33a2b. a22433c. a2d. a242答案d解析如图所示，由题意，得bca，cd a， bcd 120 .1bd 2 bc2 cd 2 2bc cd cos 120a2 a2 2a a 2 3a2 ， bd3a.233 2 bdcd | bd| cd|cos 303a a .222.(2014浙江)记 max x， y x， xy， y， xy，min x， y y， x y， x， x|ab| ，此时， | ab| 2| a| 2 | b| 2；当 a，b 夹角为钝角时，| ab| a| 2 | b| 2；当 ab 时， | a b| 2 | a b| 2 | a| 2 | b| 2，故选 d.3.(2015湖南)已知点 a， b， c 在圆 x2 y2 1 上运动，且ab bc.若点 p 的坐标为 (2,0)，则| pa pb pc| 的最大值为 ()a.6b.7c.8d.9答案b解析 a， b， c 在圆 x2 y2 1 上，且 abbc， ac 为圆直径，故 pa pc 2po( 4,0)，设 b(x，y)，则 x2 y2 1 且 x 1,1， pb (x 2， y)， pa pb pc (x 6， y).故| pa pbpc| 12x 37， x 1 时有最大值497，故选 b.4. 如图，在等腰直角abo 中， oa ob 1， c 为 ab 上靠近点a 的四等分点，过c 作 ab的垂线 l，p 为垂线上任一点，设oa a， ob b， opp，则 p(ba)等于 ()112a.b.233c. 2d. 2答案a解析以 oa， ob 所在直线分别作为x 轴， y 轴，o 为坐标原点建立平面直角坐标系，3则 a(1,0)， b(0,1)，c( ，414)，13直线 l 的方程为y4x4，即 x y1 0.2设 p(x， x11)，则 p(x， x )， 22而 ba ( 1,1)，所以 p(b a) x (x11).225. 在平面上， ，| | | | 1， .若| | a，所以 a .4所以 f(x) 4cos(2a)2sin(2x 61) .42 11 因为 x 0 ，所以 2x 3，4412 .312所 以 2 1f