初中数学最值题解法小结.doc

初中数学最值题解法小结在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：一. 二次函数的最值公式二次函数（a、b、c为常数且）其性质中有若当时，y有最小值。；若当时，y有最大值。利用二次函数的这个性质，将具有二次函数关系的两个变量建立二次函数，再利用二次函数性质进行计算，从而达到解决实际问题之目的例1. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为，。（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）根据题意得 整理得 解得，（不合题意，舍去） （2）由题意知，利润为 所以当时，最大利润为1950元。二. 一次函数的增减性 一次函数的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。例2. 某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？解：设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为人，由题意得： 所以 设所招聘的工人共需付月工资y元，则有： （） 因为y随x的增大而减小 所以当时，（元）三. 判别式法 例3. 求的最大值与最小值。分析：此题要求出最大值与最小值，直接求则较困难，若根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。解：设，整理得 即 因为x是实数，所以 即 解得 所以的最大值是3，最小值是。四. 构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 例4. 求代数式的最大值和最小值。 解：设，再令，则有 所以得y的最大值为，最小值为五. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有，当且仅当时，等号成立，即的最小值为k。例5. 设a、b为实数，那么的最小值为_。 解： 当，即时，上式等号成立。故所求的最小值为1。六. 零点区间讨论法例6. 求函数的最大值。分析：本题先用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 解：易知该函数有两个零点、 当时 当时 当得 当时， 综上所述，当时，y有最大值为七. 利用不等式与判别式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。例7. 已知x、y为实数，且满足，求实数m最大值与最小值。 解：由题意得 所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以 即 解得 m的最大值是，m的最小值是1。八. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。例8. 不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为_。解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h 因为，所以 又因为，代入 得，所以 又因为，代入 得，所以 所以3h0)，且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大?注：利润=售价-成本分析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套，根据题意：该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可列出两个不等式，解不等式组，即可求出x的取值范围，进而确定x的正整数值. (2)根据一次函数的增减性解决. (3)要应用分类讨论的数学思想.从而做到不重复不遗漏,注意思维的缜密性.解析：(1)设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建(80-x)套由题意知209025x+28(80-x)2096 48x50 x取非负整数， x为48，49，50 有三种建房方案： A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套 (2)设该公司建房获得利润(万元) 由题意知=5x+6(80-x)=480-x 当x=48时，最大=432(万元) 即A型住房48套，B型住房32套获得利润最大(3)由题意知=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x 当Oa1时，x=50，最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.答:略.说明:此题的第(1)问是利用一元一次不等式组解决的,第(2) 、(3)问是利用一次函数的增减性解决问题的,要注意三问相互联系.二、利用反比例函数的性质来求最值问题例：一名工人一天能生产某种玩具至个，若每天须生产这种玩具个，那么须招聘工人多少名？分析：这是一道反比例函数模型的应用题，这里是常量。设每人每天生产x个玩具，需要工人名。则有。（，且x为整数）当时，随的增大而减小，即为正整数，取至。即须招聘工人为80至134人。三、利用二次函数的性质求最值问题对于某些与二次函数有关的实际问题，如果我们能够将实际问题抽象为二次函数的数学模型，建立起二次函数的关系式，应用二次函数最值性质，可以解决许多实际问题。例将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？解：设利润为元，每个售价为元，则每个涨（50）元，从而销售量减少 100） 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元例、（泉州市2008年中考题）某产品第一季度每件成本为元，第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率为 请用含的代数式表示第二季度每件产品的成本； 如果第三季度该产品每件成本比第一季度少元，试求的值 该产品第二季度每件的销售价为元，第三季度每件的销售价比第二季度有所下降，若下降的百分率与第二、第三季度每件产品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件产品的销售价不低于元，设第三季度每件产品获得的利润为元，试求与的函数关系式，并利用函数图象与性质求的最大值（注：利润销售价成本）分析：（1） 解得 （3）解得而， 而 当时，利用二次函数的增减性，随的增大而增大，而，当时，最大值18（元）说明：当自变量取值范围为体体实数时，二次函数在抛物线顶点取得最值，而当自变量取值范围为某一区间时，二次函数的最值应注意下列两种情形：若抛物线顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值。若抛物线的顶点不在该区间内，则区间两端点所对应的二次函数的值为该函数的最值。四、利用对称性来求最值问题。类这题涉及的知识面广，综合性强，解答有一定的难度。（一）在几何题组中的应用例、如图，菱形ABCD中，AB2，BAD60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小最是 分析：由菱形的性质知：点与点关于对称。因为在上支运动，所以。要求PE+PB的最小最，即求P+PB的最小值。连接交于点，则即为所求。又BAD60，为的中点，所以，而，所以，即 P+PB的最小值为例、如图，角内有一点，在角的两边上有两点、（均不同于点），则的周长的最小值为 分析：作关于，的对称点，。连接，分别交，于，。如图所示，再连接，。易知 ，所以的周长+。根据两点之间线段最短，的周长，而，且，又，所以即为等腰直角三角形，故的周长的最小值为（二）在代数题组中应用ABOCDEMXY例1，如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与Y轴交于C点，且A（1，0）。求抛物线的解析式及顶点的坐标判断的形状，证明你的结论。点（m，0）是轴上的一个动点，当+的值最小时，求m的值分析：（1）将A（1，0）代入得，所以抛物线的解析式配方得：，所以顶点D（2）求出AC=，BC=，而AB=5，故为RT （3）作点C关于X轴的对称点E（，0），连接DE交X轴于点M，通过两点式可求得直线DE的XOAEBPDYCF32MN解析式：，当=0时，解得=（，0）即m=例2、如图以矩形的顶点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系。已知，点是的中点，在上取一点，将沿翻折，使点落在边上的点处。直接写出点、的坐标：设顶点为的抛物线交轴正半轴于点，且以、为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；在轴、轴上是否分别存在点、，使得四边形的周长最小？如果存在，求出周长的最小值