【走向高考】高三数学一轮复习 121计数原理与概率课件（北师大版）.ppt

1 排列与组合是中学数学中相对独立性较强的一部分 也是密切联系实际较强的一部分 一直是高考必考内容 从近几年各地高考试题看 预计仍会出排列 组合试题 试题的难度为 较易 到 中等 程度 排列 组合的试题仍会以现实生活中的生产问题 经济问题等为背景 2 历年高考的二项式定理试题以客观题的形式出现 多为课本例题 习题迁移的改编题 是多年来缺少变化的试题 考查内容还是以每年考的几方面为主 难度不大 重点考查的内容主要有 求多项式系数和 求某项系数 求二项式中的参数值 求常数项 有理项系数最大项 求整数余数 求近似值 试题常以选择或填空形式出现 有时解答题也会涉及到这些内容 难度与课本习题相当 3 古典概型与几何概型是两种最基本的概率问题 是高考重点关注的一个点 但深度有限 几何概型只要求会解决与长度 面积 体积相关的概率问题 重点是理解概率 学会转化 计算准确快捷 不宜过于深化与拓展 4 随机变量及其分布在高考中多以解答题的形式出现 分值一般在12分左右 属中 低档题 重点考查离散型随机变量的分布列 以及由此分布列求随机变量的均值 方差 特别是二项分布 1 1 分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理 它贯穿于本单元学习的始终 体现了解决问题时将其分解的两种常用方法 即把问题分类解决或分步解决 是本单元学习的重点 2 正确区分使用两个原理是学好本单元的关键 区分 分类 与 分步 的依据在于能否 一次性 完成 若能 一次性 完成 则不需 分步 只需分类 否则 就分步处理 2 二项式定理是一个恒等式 对待恒等式通常有两种思路 一是利用恒等定理 两个多项式恒等 则对应项系数相等 二是赋值 这两种思路相结合可以使很多二项式展开式的系数问题迎刃而解 要注意二项式系数与二项式展开式的系数之间的区别 3 1 概率问题应用广泛 贴近生活 本部分知识既有必修内容 也有选修内容 随着高考改革的不断深入 概率问题正逐步成为高考的热点内容 2 解决概率应用问题时 首先熟悉几种常见的概率类型 熟练掌握其计算公式 其次还要弄清问题所涉及的事件有什么特点 事件之间有什么联系 4 求随机变量的分布列 重要的基础是概率的计算 如古典概率 互斥事件概率 相互独立事件同时发生的概率 n次独立重复试验有k次发生的概率等 5 对离散型随机变量的方差应注意 1 dx表示随机变量x对ex的平均偏离程度 dx越大 表明平均偏离程度越大 说明x的取值越分散 反之dx越小 x的取值越集中 在ex附近 统计中常用来描述 的分散程度 2 dx与ex一样也是一个实数 由x的分布列唯一确定 考纲解读1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 考向预测1 对两个原理的考查一般只在选择 填空题中出现 2 注意分类讨论思想和补集思想的应用 知识梳理1 分类加法计数原理完成一件事 可以有n类办法 在第一类办法中有m1种方法 在第二类办法中有m2种方法 在第n类办法中有mn种方法 完成这件事共有n 种方法 也称加法原理 2 分步乘法计数原理完成一件事 需要经过n个步骤 缺一不可 做第一步有m1种方法 做第二步有m2种方法 做第n步有mn种方法 那么 完成这件事共有n 种方法 也称乘法原理 m1 m2 mn m1 m2 mn 3 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 都涉及的不同方法的种数 它们的区别在于 分类加法计算原理与有关 各种方法 用其中的任一种方法都可以完成这件事 分步乘法计算原理与有关 各个步骤 只有各个步骤都完成了 这件事才算完成 完成一件事情 分类 相互独立 分步 相互依存 基础自测1 2009年全国卷 甲 乙两人从4门课程中各选修2门 则甲 乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 a 6种b 12种c 24种d 30种 答案 c 解析 4门课程 有1门相同 则4种选法 不同的课程选法 甲有3门 乙就有2门 所以共有4 3 2 24 种 2 某银行储蓄卡的密码是一个4位数码 某人采千位 百位上的数字之积作为十位 个位上的数字 如2816 的方法设计密码 当积为一位数时 十位上数字选0 千位 百位上都能取0 这样设计出来的密码共有 a 90个b 99个c 100个d 112个 答案 c 解析 由于千位 百位确定下来后十位 个位就随之确定 则只考虑千位 百位即可 千位 百位各有10种选择 所以有10 10 100 个 答案 a 解析 本题主要考查分步计数原理知识 1名同学有5种选择 则6名同学共有56种选择 4 2011 哈尔滨模拟 有a b两种类型的车床各一台 现有甲 乙 丙三名工人 其中甲 乙都会操作两种车床 丙只会操作a种车床 先从三名工人中选2名分别去操作以上车床 则不同的选派方法有 a 6种b 5种c 4种d 3种 答案 c 解析 若选甲 乙2人 则包括甲操作a车床 乙操作b车床或甲操作b车床 乙操作a车床 共有2种选派方法 若选甲 丙2人 则只有甲操作b车床 丙操作a车床这1种选派方法 若选乙 丙2人 则只有乙操作b车床 丙操作a车床这1种选派方法 共有2 1 1 4 种 不同的选派方法 5 古代 五行 学认为 物质分金 木 土 水 火五种属性 金克木 木克土 土克水 水克火 火克金 将五种不同属性的物质任意排成一列 但排列中属性相克的两种物质不相邻 则这样的排列方法有 种 结果用数字表示 答案 10 解析 把 金 木 土 水 火 用 1 2 3 4 5 代替 以 1 开头的排法只有 1 3 5 2 4 或 1 4 2 5 3 两种 同理以其他数开头的排法都是2种 所以共有2 5 10 种 6 甲 乙两个自然数的最大公约数为60 则甲 乙两个数的公约数有 个 答案 12 解析 两数的公约数一定是最大公约数60的约数 60 22 3 5 故得到甲 乙两数的一个公约数需分三步 第一步 确定有几个2 共3种方法 第二步 确定有几个3 共2种方法 第三步 确定有几个5 共2种方法 当2 3 5都不取时 公约数为1 故共有公约数3 2 2 12个 7 从 3 2 1 0 1 2 3 中任取3个不同的数作为抛物线y ax2 bx c a 0 的系数 如果抛物线过原点 且顶点在第一象限 则这样的抛物线共有多少条 解析 由题意得c 0 a0 分三步 第一步 a 3 2 1 第二步 b 1 2 3 第三步 c 0 故由分步计数原理知抛物线的条数n 3 3 1 9 条 例1 三边长均为整数 且最大边长为11的三角形的个数是多少 分析 根据题目中的条件 列出另两边满足的关系式 然后用列举法逐一求出来 再用分类加法计数原理求解 解析 设较小的两边长为x y 不妨设x y 则当x 1时 y 11 当x 2时 y 10 11 当x 3时 y 9 10 11 当x 4时 y 8 9 10 11 当x 5时 y 7 8 9 10 11 当x 6时 y 6 7 8 9 10 11 当x 7时 y 7 8 9 10 11 当x 11时 y 11 所以不同三角形的个数为1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 点评 应用分类加法计数原理时 首先要根据问题的特点 确定好分类的标准 分类时应满足 完成一件事的任何一种方法 必属于某一类且仅属于某一类 1 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里 使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号 则不同的放球方法有 a 10种b 20种c 36种d 52种 答案 a 解析 分为二类 1号盒子放入1个球 2号盒子放入3个球 有c41 4种放球方法 1号盒子放入2个球 2号盒子放入2个球 有c42 6种放球方法 共有c41 c42 10种不同的放球方法 2 集合p x 1 q y 1 2 其中x y 1 2 3 9 且p q 把满足上述条件的一对有序整数对 x y 作为一个点的坐标 则这样的点的个数是 a 9b 14c 15d 21 答案 b 解析 p q x y或x 2 当x 2时 y 1 2 y有7种选法 当x y时 y 1 2 y也有7种选法 共有满足条件的点7 7 14个 例2 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里 每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物 不同的种植方法共有多少种 分析 3种作物种在5块试验田里 也就是5块试验田分别要种上作物 可分5份 从左到右一块一块的种 即用分步乘法计数原理求解 解析 设由左到右五块田中要种a b c3种作物 不妨先设第一块种a 则第二块种b c 有两种选法 同理 如果第二块种b 则第三块可种a和c 也有两种选法 由分步乘法计数原理共有1 2 2 2 2 16 其中要去掉ababa和acaca两种方法 故a种作物种在第一块田中时有16 2 14种种法 同理b或c也可种在第一块田中 故共有3 2 2 2 2 2 3 16 2 42种 点评 本题完成种五块地 要分五步完成 故应用分步乘法计数原理 解决问题时 应理清思路 按事情发生的过程或事情解决的过程合理分步 1 定义集合a与b的运算a b如下 a b x y x a y b 若a a b c b a c d e 则集合a b的元素个数为 a 34b 43c 12d 以上都不对 2 使集合a 1 0 1 b 2 3 4 5 6 映射f a b 使得对任意x a 都有x f x xf x 是奇数 这样的映射f的个数是 a 12b 50c 15d 55 3 将4个不同的小球放入3个不同的盒子 其中每个盒子都不空的放法共有 a 34种b 43种c 18种d 36种 4 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共有 a 10种b 20种c 25种d 32种 答案 1 c 2 b 3 d 4 d 解析 1 显然 a a a c 等均为a b中的元素 确定a b中的元素是由a中取一个元素来确定x b中取一个元素来确定y 由分步乘法计数原理可知a b中有3 4 12个元素 故选c 2 a中任一元素在b中有惟一元素和它对应 由x f x xf x x 1 f x 1 1知 x为奇数时都满足 x为偶数时 必须f x 为奇数 当x 1或1时 f x 可取b中任一元素 各有5种 当x 0时 f x 只能取3或5 有2种 根据分步乘法计数原理 共有5 2 5 50个映射 故选b 3 4个不同的小球放入3个不同的盒子 其中每个盒子都不空 则必有一个盒子放入2个球 设4个球的编号分别为1 2 3 4 则其中2个球放在一个盒子里的情况有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 计6种情况 把2个球放在一个盒子里的情况当作1个球和另外2个球分别放入3个盒子里 共有3 2 1种放法 于是所求放法为6 3 2 1 36种 4 因为每人均有两种选择方法 所以不同的报名方法有25 32种 例3 现有高三四个班学生34人 其中一 二 三 四班各7人 8人 9人 10人 他们自愿组成数学课外小组 1 选其中一人为负责人 有多少种不同的选法 2 每班选一名组长 有多少种不同的选法 3 推选二人作中心发言 这二人需来自不同的班级 有多少种不同的选法 分析 主要考查两个计数原理的综合应用 先考虑分类再考虑分步 解析 1 分四类 第一类 从一班学生中选1人 有7种选法 第二类 从二班学生中选1人 有8种选法 第三类 从三班学生中选1人 有9种选法 第四类 从四班学生中选1人 有10种选法 所以 共有不同的选法n 7 8 9 10 34 种 2 分四步 第一 二 三 四步分别从一 二 三 四班学生中选一人任组长 所以共有不同的选法n 7 8 9 10 5040 种 3 分六类 每类又分两步 从一 二班学生中各选1人 有7 8种不同的选法 从一 三班学生中各选1人 有7 9种不同的选法 从一 四班学生中各选1人 有7 10种不同的选法 从二 三班学生中各选1人 有8 9种不同的选法 从二 四班学生中各选1人 有8 10种不同的选法 从三 四班学生中各选1人 有9 10种不同的选法 所以共有不同的选法n 7 8 7 9 7 10 8 9 8 10 9 10 431 种 点评 在解决实际应用问题时 两个原理并不是孤立的 首先要弄清楚完成的是什么事 其次必须清楚是分类完成 还是分步完成 需认真审题 明确条件与问题 1 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端点异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 分析 可分两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用乘法原理即可得出结论 解析 如图所示 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b已染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染颜色4 则d可染颜色3或5 有2种染法 若c染颜色5 则d可染颜色3或4 也有2种染法 若c染颜色2 则d可染颜色3或4或5 有3种染法 可见 当s a b已染好时 c与d还有7种染法 根据乘法原理 可以有60 7 420种染法 点评 运用两个原理解答时是先分类后分步 还是先分步后分类应视具体问题而定 另外为了问题的