2020年整合高考文科数学专题复习导数训练题(文)名师精品资料

高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾1. 导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。2. 导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、 不等式、数列的综合应用。3. 应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。二、经典例题剖析考点一：求导公式。f ( x)1 x32x1例1.f( x)是3的导函数，则f (1) 的值是。2解析：f xx2 ，所以f 1123答案： 3点评：本题考查多项式的求导法则。考点二：导数的几何意义。y1 x2例 2.已 知 函 数yf ( x)的 图 象 在 点m (1， f(1)处 的 切 线 方 程 是2， 则f ( 1 ) f( 1 )k1。f 115解析：因为2 ，所以2 ，由切线过点m (1，f(1) ，可得点 m的纵坐标为2 ，所f 15以2 ，所以f 1f 13答案： 3例3. 曲线yx32x24x2 在点 (1，3) 处的切线方程是。2解析： y3x4x4 ，点 (1，3) 处切线的斜率为k3445 ，所以设切线方程为 y5 xb ，将点 (1， 3) 带入切线方程可得b2 ，所以，过曲线上点(1，3) 处的切线方程为： 5 xy20答案： 5 xy20点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。32例4. 已知曲线 c：yx3x2x ，直线 l : ykx ，且直线l 与曲线 c相切于点x0 , y0x00 ，求直线 l 的方程及切点坐标。k解 析 ：直 线 过 原 点 ， 则320y0x 2y0x00x023 x2。 由 点x0 , y0在 曲 线 c 上 ， 则y0x03x02x0 ，x0022。又 y3x6x2 ，在x0 , y0处曲线c 的切线斜率为kf x03x06 x02 ，x03x023x06x02 ，整2x3y3k1理得：2 x03x0y0 ，解得：01 x2 或 x03 ,0 （舍），此时，038 ，4 。所以，直线 l 的方程为4，切点坐标是y1 x28。3 ,3答案：直线 l 的方程为4，切点坐标是28点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上” 这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5. 已知 fxax33x 2x1在r上是减函数，求a 的取值范围。2解析：函数fx 的导数为f x3ax6x1。对于 xr都有f x0 时， fx 为减函数。 由 3ax26x10 xar 可得03612a0 ，解得 a3 。所以， 当 a3时，函数fx 对 xr 为减函数。332当 afx3 时，3x3x32x13 x1839 。由函数 yx在r 上的单调性，可知当a3 是，函数fx 对 xr 为减函数。7当 a3 时，函数fx 在r 上存在增区间。所以，当a3 时，函数fx 在r 上不是单调递减函数。综合（ 1 ）（ 2 ）（ 3）可知 a3 。答案： a332点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数f ( x)2x3ax3bx8c 在 x1及 x2 时取得极值。（ 1 ）求a、b的值；（ 2 ）若对于任意的x20，3 ，都有f ( x)2c 成立，求 c的取值范围。解析： （ 1） f(x)6x6ax3b ，因为函数f (x) 在 x1 及 x2 取得极值，则有f (1)0 ，66a3b0，f (2)0 即2412a3b0，解得 a3， b4 。2（ 2 ）由（）可知，f ( x)2 x39 x 212 x8c ， f( x)6x18x126(x1)( x2) 。当 x(0，1) 时， f( x)0 ；当 x1(2) ， 时， f( x)0 ；当 x2(3)， 时， f(x)0 。所以，当 x1时， f( x)取得极大值f (1)58c ，又f (0)8 c ，f (3)98c 。则当 x0，3 时，f ( x) 的2最大值为f (3)98c 。因为对于任意的x0，3 ，有f ( x)c 恒成立，所以98cc2 ，解得c1 或 c9 ，因此 c 的取值范围为(， 1)(9，) 。答案：（ 1） a3， b4 ；（ 2 ） (， 1)(9，) 。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数fx 的极值步骤：求导数f x ； 求 f x0 的根；将f x0 的根在数轴上标出，得出单调区间，由f x在各区间上取值的正负可确定并求出函数fx 的极值。考点六：函数的最值。例7.已知 a 为实数，fx2x4xa 。求导数f x；（ 2 ）若 f 10 ，求 fx 在区间2,2上的最大值和最小值。解析：（ 1 ） fxx3ax 24x4a ，a1f x3x222ax4 。（ 2 ） f 132a40 ，2 。f x3xx4x43x4x1令 f x0 ，即3x4x10 ，解得 x1或3 ， 则 fx 和 f x 在区间2,2 上随 x 的变化情况如下表：x22,111, 4344 ,2233f x00fx0增函数极大值减函数极小值增函数0f19f42 ，3f192 。5027 。所以， fx 在区间2,2f4上的最大值为35027 ，最小值为答案：（ 1 ） f x3x22axf44 ；（ 2）最大值为3509f127 ，最小值为2 。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx 在区间a, b上的最值，要先求出函数 fx在区间a,b上的极值，然后与fa 和 fb 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例 8.设 函 数f ( x)ax3bxc (a0 )为 奇 函 数 ， 其 图 象 在 点(1,f (1)处 的 切 线 与 直 线x6 y70 垂直，导函数f (x) 的最小值为12 。（ 1 ）求 a ， b ， c 的值；（ 2 ）求函数f (x)的单调递增区间，并求函数f ( x) 在 1,3 上的最大值和最小值。2解析：（1）f (x)为奇函数，f (x)f ( x) ，即ax3bxcax3bxc c0 ，f (x)3axb的最小值为12 ， b12 ，又直线x6 y70 的斜1率为 6 ，因此，f (1)3ab6 ， a2 ， b12 ， c0 （ 2 ）f ( x)2x312x 。f ( x)6 x2126( x2)( x2) ，列表如下：x(,2)2(2,2)2(2,)f ( x)00f ( x)增函数极大减函数极小增函数所 以 函 数f (x)的 单 调 增 区 间 是 (,2和)(2,)， f (1 )1，f (2)82 ，f (3)18 ， f (x)在 1,3 上 的 最 大 值 是f (3)18， 最 小 值 是f (2)8 。2答案：（ 1 ） a2 ， b12 ， c0 ；（ 2）最大值是f (3)18，最小值是f (2)82 。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。3 方法总结（一）方法总结导数是中学限选内容中较为重要的知识，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具。导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。应用导数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景。应用导数求函数最值及极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述。（二）高考预测导数的考查方式以客观题为主，主要考查求导数的基本公式和法则，以及导数的几何意义。也可以解答题的形式出现，即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题。导数的应用是重点，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题。4 强化训练5 选择题2yx11. 已知曲线4 的一条切线的斜率为2 ，则切点的横坐标为（a）a 1b 2c 3d 42. 曲线 yx33x21在点（ 1 ， 1）处的切线方程为（b）2a. y3 x4b. y3x2c. y4 x3d. y4 x53. 函数 y( x1)( x1) 在 x1处的导数等于（ d）a 1b 2c 3d 424. 已知函数f (x)在x1处的导数为 3,则f ( x) 的解析式可能为（a）a. f (x)(x1)3( x1)b f(x)2(x1)c f (x)2( x1) 2d f( x)x1325. 函数f ( x)xax3x9 ，已知f (x) 在 x3 时取得极值，则a =（ d）（a ） 2（ b） 3（c ） 4（ d） 56. 函数f ( x)x33x21是减函数的区间为(d)（） (2,) （） (,2) （） (,0) （） (0, 2)8. 函数f ( x)2x21 x33在区间 0, 6 上的最大值是（a）32a. 3b 163c 12d 939. 函数 yx3x 的极大值为 m ，极小值为n ，则 mn 为（a）a 0b 1c 2d 410. 三次函数fxax3x在 x,内是增函数，则（a）a1a. a0b a0c a1d311. 在函数 yx8x 的图象上，其切线的倾斜角小于4 的点中，坐标为整数的点的个数是3（d）a 3b 2c 1d 012. 函数f ( x)的定义域为开区间( a, b) ，导函数f(x)在 ( a, b) 内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a, b) 内有极小值点（a）a 1个b 2个c 3个d 4 个32填空题13. 曲线 yx 在点1,1处的切线与x 轴、直线x2 所围成的三角形的面积为 。y1 x3414. 已知曲线3 3 ，则过点p(2, 4) “改为在点p(2, 4) ”的切线方程是 (n )6515. 已知f( x)是对函数f (x)连续进行 n次求导，若f ( x)xx，对于任意xr，都有( n)f( x) =0 ，则 n的最少值为。16. 某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x 吨，运费为 4万元次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨3解答题17. 已知函数fxx 3ax2bxc ，当 x1时，取得极大值 7；当 x3 时，取得极小值 求这个极小值及a, b, c 的值18. 已知函数f ( x)32x3x9xa.（ 1 ）求f ( x) 的单调减区间；（ 2 ）若f ( x) 在区间 2 ， 2. 上的最大值为 20 ，求它在该区间上的最小值.19. 设 t0，点 p （ t ， 0）是函数f (x)3xax与g (x)2bxc 的图象的一个公共点，两函数的图象在点p处有相同的切线。（ 1 ）用 t 表示a, b, c ；（ 2 ）若函数yf ( x)g(x) 在（ 1 ， 3）上单调递减，求t 的取值范围。20. 设函数fxx3bx2cx(xr) ，已知g( x)f (x)f (x) 是奇函数。（ 1 ）求 b 、 c 的值。（ 2 ）求g( x) 的单调区间与极值。21. 用长为 18cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2 ： 1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？f ( x)1 x31 ax2bx22. 已知函数32在区间 1，1)， (1，3 内各有一个极值点（ 1 ）求a24b 的最大值；7当a24b8 时，设函数yf ( x) 在点a(1， f(1) 处的切线为l ，若 l 在点 a 处穿过函数 yf(x)的图象（即动点在点a 附近沿曲线yf (x)运动，经过点a 时，从 l 的一侧进入另一侧），求函数f (x)的表达式强化训练答案：（一）选择题1.a2.b3.d4.a5.d6.d8.a9.a10.a11.d12.a（二）填空题813.314.y4 x4015.716.20（三）解答题17.解：f x3x 22axb 。据题意， 1 ， 3 是方程3 x22axb0 的两个根，由韦达定理得132a313b332 a3, b9 fxx3x9xc32 f17 ， c2极小值 f333393225极小值为25， a3, b9 ， c2。18.解：（ 1 ） f( x)3x26x9. 令 f( x)0 ，解得 x1或x3,所以函数f ( x)的单调递减区间为(,1), (3,).（ 2 ）因为f (2)81218a2a,f (2 )81218a22a,所 以 f(2)f (2). 因为在（ 1 ，3）上 f( x)0 ，所以f ( x)在 1， 2上单调递增，又由 于 f(x)在 2 ， 1 上单调递减，因此f (2) 和 f (1) 分别是f (x)在区间2,2上的最大值32和最小值 .于是有22a20 ，解得 a2.故 f ( x)x3x9x2.因 此 f (1)13927,即函数f (x)在区间2,2上的最小值为7.19.解：（ 1 ）因为函数f ( x) ，g( x) 的图象都过点（t ， 0），所以f (t)0 ，即t 3at0 .因为 t0,所以 a2g(t )t.0,即bt 2c0, 所以cab.又因为f ( x) ，g( x) 在点（ t ， 0）处有相同的切线，所以f(t)g (t ).而 f ( x)3x2a, g( x)2bx, 所以3t 2a2bt.将 at 2 代入上式得bt.因此 cabt 3 .故 at 2 ， bt ， ct 3 .（ 2 ） yf ( x)g( x)x 3t 2 xtx 2t 3 , y3x 22txt 2(3xt)( xt) .当 y(3xt )( xt )0 时，函数yf ( x)g (x)单调递减 .t由 y0 ，若t0,则3xtt；若t0, 则tx. 3由题意，函数yf ( x)g ( x)在（ 1 ， 3 ）上单调递减，则(1,3)t(, t)或( 31,3)(t ,t ).t3或3所以t3.即t39或t3.又当9t3 时，函数yf ( x)g (x)在（ 1 ， 3）上单调递减 .所以 t 的取值范围为(,93,).3223220.解：（ 1 ）fxx3bx2cx， fx3x22bxc 。从而g( x)f ( x)f ( x)xbxcx(3x2bxc) x(b3)x(c2b) xc 是一个奇函数，所以g (0)0 得 c0 ，由奇函数定义得b3 ；3（ 2 ）由（）知g( x)x6x ，从而g ( x)3x26 ，由此可知，(,2) 和 (2,) 是函数g (x) 是单调递增区间；(2,2) 是函数g( x) 是单调递减区间；g( x) 在 x2 时，取得极大值，极大值为42 ， g (x) 在 x2 时，取得极小值，极小值为42 。21. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为2 x(m) ，高为h1812x44.53 x(m)0 x 32.故长方体的体积为v x2x24.53x9x26x3 m30x322从而 v( x)18x18x (4.53x)18x(1x).令v x0 ，解得 x0 （舍去）或x1x1，因此 x1.3当 0x1 时， v x0 ；当2 时， v x0 ，故在 x1处v x取得极大值，并且这个极大值就是v x 的最大值。从而最大体积vv x2916331m，此时长方体的长为2 m ，高为 1.5 m.答：当长方体的长为2 m 时，宽为 1 m ，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m3 。f (x)1 x31 ax2bx22. 解：（ 1 ）因为函数32在区间 1，1) ， (1，3 内分别有一个极值点，所2以 f ( x)xaxb0 在1，1) ， (1，3 内分别有一个实根，x ， xxxxxa24b0xx 42设两实根为12（12 ），则21，且21于是0a24b 4 ，0a4b 16 ，且当x11，x23 ，即 a2 ，b3 时等号成立 故a24b 的最大值是 16（ 2 ）解法一 ：由 f(1)1ab 知f (x)在点 (1， f(1)