多维随机变量及其分布3

第三章多维随机变量及其分布 3 4多维随机变量的特征数1 多维随机变量的数学期望定理3 4 1若二维随机变量 X Y 分布用联合分布列P X xi Y yi 或联合密度函数p x y 表示 则Z g X Y 的数学期望为 第三章多维随机变量及其分布 例3 4 1在长为a的线段上任取两个点X与Y 求此两点间的平均长度 2 数学期望与方差的运算性质性质3 4 1E X Y E X E Y 性质3 4 2若随机变量X与Y相互独立 则有E XY E X E Y 性质3 4 3若随机变量X与Y相互独立 则有Var X Y Var X Var Y 第三章多维随机变量及其分布 例3 4 2设X1和X2是独立同分布的随机变量 其共同分布为指数分布Exp 试求Y max x1 X2 的数学期望 2 数学期望与方差的运算性质性质3 4 1E X Y E X E Y 性质3 4 2若随机变量X与Y相互独立 则有E XY E X E Y 性质3 4 3若随机变量X与Y相互独立 则有Var X Y Var X Var Y 第三章多维随机变量及其分布 例3 4 3已知随机变量X1 X2 X3相互独立 且X1 U 0 6 X2 N 1 3 X3 Exp 3 求Y X1 2X2 3X3的数学期望 方差和标准差 例3 4 4设一袋中装有m只颜色各不相同的球 每次从中任取一只 有放回地摸取n次 以X表示在n次摸到球的不同颜色的数目 求E X 例3 4 5设X b n p 试求X的数学期望和方差 第三章多维随机变量及其分布 3 协方差定义3 4 1设 X Y 是一个二维随机变量 若E X E X Y E Y 存在 则称此数学期望为X与Y的协方差 记Cov X Y 性质3 4 4Cov X Y E XY E X E Y 性质3 4 5若随机变量X与Y相互独立 则有Cov X Y 0 反之不然 例3 4 6设X N 0 2 且令Y X2 则X与Y不独立 但协方差为0 第三章多维随机变量及其分布 性质3 4 6对任意二维随机变量 X Y 有Var X Y Var X Var Y 2Cov X Y 性质3 4 7Cov X Y Cov Y X 性质3 4 8Cov X a 0性质3 4 9Cov aX bY abCov Y X 性质3 4 10设X Y Z是任意三个随机变量 则Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z 例3 4 7 X Y 密度试求Cov X Y 第三章多维随机变量及其分布 例3 4 8 X Y 密度试求Var 2X 3Y 8 4 相关系数定义3 4 2设 X Y 满足Var X 0 Var Y 0 称为X与Y的 线性 相关系数 第三章多维随机变量及其分布 相关系数是相应标准化变量的协方差 例3 4 9二维正态分布N 1 2 12 22 的相关系数就是 引理3 4 1 施瓦茨不等式 若X Y的方差存在 有性质3 4 11 1 Corr X Y 1性质3 4 12Corr X Y 1的充要条件是X与Y间几乎处处有线性关系 即P Y aX b 1a 0 第三章多维随机变量及其分布 例3 4 10协方差很小但相关系数大的例子 性质3 4 13在二维正态分布N 1 2 12 22 的场合 不相关与独立是等价的 例3 4 11 投资风险组合 第三章多维随机变量及其分布 5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3 4 3记称为n维随机向量X的期望向量 第三章多维随机变量及其分布 称为随机向量X的方差 协方差阵 记为Cov X 第三章多维随机变量及其分布 定理3 4 2n维随机向量的协方差阵CoV X Cov Xi Yj n n是一个对称的非负定矩阵 第三章多维随机变量及其分布 例3 4 12 n