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第13章 重积分,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,13-1 二重积分与计算二重积分的基本定理,一、问题的提出,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示,步骤如下：,(3)求和,(4)取极限,(1)分割,求平面薄片的质量,二、二重积分的概念,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,(3)当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值,(5) 面积元素为,注：,性质,当 为常数时，,性质,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,则有,性质,（二重积分估值不等式）,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线的上方, 故在 D 上,被积函数相同, 且非负,解:,由它们的积分域范围可知,例2. 比较下列积分值的大小关系:,解,性质（二重积分中值定理）,解,例 空间几何体是由平面x=1,y=1,z=3-x2-y2所围成，求的体积.,定理13-1（基本定理） 函数f(x,y)在闭矩形区域D:,可积,若每一个,若每一个,证明:若每一个,D xi,dyjyj-1c,a xi-1 i xi b,O 1 x,y 2 D,性质7 对称性. 设,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,函数关于变量 y 为偶函数,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,例 D:axb，cyd证明：,例
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