高考数学总复习 第8单元第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 文 苏教版.pptVIP

第四节直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相交 有 公共点 2 直线与圆相切 只有 公共点 3 直线与圆相离 公共点 基础梳理 2 直线与圆的位置关系的判断方法直线l ax by c 0 a b不全为0 与圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 的位置关系的判断方法有 1 几何方法设圆心 a b 到直线ax by c 0的距离为d 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 2 代数方法由消元 得到的一元二次方程的判别式为 则 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种 分别为 4 弦长问题圆的弦长的计算 常用弦心距d 弦长一半a及圆的半径r所构成的直角三角形来解 r2 1 必修2p103练习第2题改编 若直线ax by 1与圆x2 y2 1相离 则点p a b 与圆的位置关系是 在圆内 基础达标 解析 由题意知圆心距d 1 则a2 b2 1 故点p在圆内 2 2010 四川 直线x 2y 5 0与圆x2 y2 8相交于a b两点 则 ab 2 解析 圆心为 0 0 半径为2 圆心到直线x 2y 5 0的距离为d 由2 2 2 2 得 ab 2 3 2010 江苏 在平面直角坐标系xoy中 已知圆x2 y2 4上有且仅有四个点到直线12x 5y c 0的距离为1 则实数c的取值范围是 13 13 解析 圆半径为2 圆心 0 0 到直线12x 5y c 0的距离小于1 即 1 所以c的取值范围是 13 13 4 必修2p105练习第2题改编 若圆x2 y2 m m 0 与圆x2 y2 6x 8y 11 0仅有两条公切线 则实数m的取值范围是 1 121 解析 由题意知两圆相交 两圆的圆心分别为 0 0 3 4 故圆心距为5 两圆的半径分别为 6 于是有 6 5 6 1 m 121 5 已知m x y y x b n x y y 若m n 则b的取值范围为 3 3 解析 集合m是斜率为1 在y轴上的截距为b的一组平行线 集合n是以原点为圆心 半径为3的圆在x轴上方的部分 包括与x轴的交点 作出图形可知 当直线y x b过点a 3 0 时 b 3 当直线与半圆相切时 由点到直线的距离公式得 3 即b 3 易知b 0 故b 3 所以 3 b 3 例1 已知圆x2 y2 6mx 2 m 1 y 10m2 2m 24 0 m r 1 求证 不论m为何值 圆心在同一直线l上 2 与l平行的直线中 哪些与圆分别相交 相切 相离 分析 1 用配方法将圆的一般方程配成标准方程 求圆心坐标 消去m 2 比较圆心到直线的距离与圆半径的大小 经典例题 题型一直线与圆的位置关系 解 1 证明 配方得 x 3m 2 y m 1 2 25 设圆心为 x y 则消去m 得l x 3y 3 0 则不论m为何值 圆心恒在直线l x 3y 3 0上 2 设与l平行的直线是l1 x 3y b 0 则圆心到直线l1的距离为d 圆的半径为r 5 当dr 即b5 3时 直线与圆相离 2010 江西改编 直线y kx 3与圆 x 2 2 y 3 2 4相交于m n两点 若 mn 2 则k的取值范围是 变式1 1 解析 圆心的坐标为 2 3 由 mn 2 得2 2 解得k 若直线3x 4y m 0与圆x2 y2 2x 4y 4 0没有公共点 则实数m的取值范围是 变式1 2 0 10 解析 将圆x2 y2 2x 4y 4 0化为标准方程 得 x 1 2 y 2 2 1 圆心为 1 2 半径为1 若直线与圆无公共点 即圆心到直线的距离大于半径 即d 1 m10 例2 已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 圆c2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 试就m的取值讨论两圆的位置关系 分析 先把两圆的方程化为标准方程 再求两圆的圆心距d 判断d与r r r r的关系 题型二圆与圆的位置关系 解 圆c1 x m 2 y 2 2 9 圆c2 x 1 2 y m 2 4 两圆的圆心距c1c2 r1 3 r2 2 1 当c1c2 r1 r2 即 5 解得m 5或m 2 故m 5或m 2时 两圆外切 2 当c1c2 r1 r2 即 1 解得m 2或m 1 故m 2或m 1时 两圆内切 3 当r1 r2r1 r2 即m2时 两圆外离 5 当c1c2 r1 r2 即 2 m 1时 两圆内含 例3 已知圆m x2 y 2 2 1 q是x轴上的动点 qa qb分别切圆m于a b两点 1 若点q的坐标为 1 0 求切线qa qb的方程 2 求四边形qamb的面积的最小值 分析 1 用待定系数法求切线方程 2 用一个变量表示四边形qamb的面积 题型三圆的切线及弦长问题 解 1 设过点q的圆m的切线方程为x my 1 则圆心m到切线的距离为1 1 m 或m 0 切线qa qb的方程分别为3x 4y 3 0和x 1 2 ma aq s四边形maqb ma qa qa 四边形qamb的面积的最小值为 如图 已知圆心坐标为 1 的圆m与x轴及直线y x分别相切于a b两点 另一圆n与圆m外切 且与x轴及直线y x分别相切于c d两点 求圆m和圆n的方程 变式3 1 解 由于 m与 boa的两边均相切 故m到oa及ob的距离均为 m的半径 则m在 boa的平分线上 同理 n也在 boa的平分线上 即o m n三点共线 且omn为 boa的平分线 m的坐标为 1 m到x轴的距离为1 即 m的半径为1 则 m的方程为 x 2 y 1 2 1 设 n的半径为r 其与x轴的的切点为c 连接ma nc 由rt oam rt ocn可知 om on ma nc 即 r 3 则oc 3 所以 n的方程为 x 3 2 y 3 2 9 例4 求过直线2x y 4 0与圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点 且过原点的圆的方程 分析 可用待定系数法 由两交点坐标和过原点的条件 求出待定系数 也可用圆系方程求经过两圆交点的圆的方程 题型四简单的圆系方程的应用 解 方法一 由解得交点坐标分别为a 3 2 b 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 由题意得解得d e f 0 所求圆的方程为x2 y2 x y 0 方法二 设所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 1 2x y 4 0 即x2 y2 2 1 x 4 y 1 4 0 此圆过原点 1 4 0 即 所求圆的方程为x2 y2 x y 0 求过直线2x y 4 0和圆x2 y2 2x 4y 1 0的交点且面积最小的圆的方程 变式4 1 解 设所求圆的方程为x2 y2 2x 4y 1 2x y 4 0 即x2 y2 2 1 x 4 y 1 4 0 当半径最小时 圆面积也最小 对 左边配方 得 x 1 2 2 2 所以当 时 此圆面积最小 故满足条件的圆的方程为2 2 错解设所求直线l的斜率为k 方程为y 5 k x 3 即kx y 5 3k 0 已知圆c的圆心 2 2 r 1 则圆心到l的距离为 1 即 k 3 k2 6k 9 k2 1 解得k 所求直线方程为y 5 x 3 即4x 3y 3 0 易错警示 例 求过a 3 5 且与圆c x2 y2 4x 4y 7 0相切的直线方程 错解分析过圆外一点的圆的切线有两条 若求出k值唯一 应补上与x轴垂直的那一条 错解中漏掉了斜率不存在的情况 正解 1 若所求直线斜率存在 设其为k 方法同错解 得k 即方程为4x 3y 3 0 2 若所求直线斜率不存在 则l的方程为x 3 经验证其与圆c相切 综上 所求切线方程为x 3或4x 3y 3 0 2010 山东 已知圆c过点 1 0 且圆心在x轴的正半轴上 直线l y x 1被该圆所截得的弦长为2 则圆c的标准方程为 知识准备 1 设圆心坐