立体几何最典型的平行与垂直题型归纳带答案.docVIP

专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点（）证明：EF平面PAB；（）在线段AD上是否存在一点O，使得BO平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO平面PAC；若不存在，请说明理由3如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAAD2，ABBC1，M为PD的中点（） 求证：CM平面PAB；（）求证：CD平面PAC4如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平而ABC，F是BE中点，AEAB2，CD1 （1）求证：DF平面ABC； （2）求证：AFDE； （3）求异面直线AF与BC所成角的余弦值5如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC（1）证明：DE平面ACD；（2）求棱锥CABD的体积6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，M为线段PD的中点（I）求证：BMPD（II）求直线CM与PB所成角的余弦值7如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都等于2（1）当点M是BC的中点时，求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值； 专题:立体几何最容易错的最难的平行与垂直问题汇编1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，2ACAA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点证明：（1）AM平面BDC1（2）DC1平面BDC2如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（1）证明：平面AEC平面BED（2）若ABC120，AEEC，AB2，求点G到平面AED的距离3如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求四面体PACD的体积4如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积5如图四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比6如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EF2，四边形EFCB是高为的等腰梯形，EFBC，O为EF的中点（1）求证：AOCF；（2）求O到平面ABC的距离 专题:立体几何最典型的平行与垂直题型归纳1四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD，则四面体的四个表面中互相垂直的平面有（）对A0B1C2D3【解答】解：取AC的中点E，连接BE，DE，ABDCBD，BD在平面ABC上的射影在直线BE上，ACD是直角三角形，ADC90，设AB2，则BE，DEAC1，BD2，DE2+BE2BD2，即DEBE，又BEAC，DEACE，BE平面ACD，平面ABC平面ACDD在平面ABC上的射影为E，B在平面ACD上的射影为E，平面ABD与平面ABC不垂直，平面BCD与平面ABC不垂直，平面ABD与平面ACD不垂直，平面BCD与平面ACD不垂直，过A作AFBD，垂足为F，连接CF，由ABDCBD可得CFBD，故而AFC为二面角ABDC的平面角，AD，cosABD，sinABD，CFAF，cosAFCAFC90，平面ABD与平面BCD不垂直故选：B2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点（）证明：EF平面PAB；（）在线段AD上是否存在一点O，使得BO平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO平面PAC；若不存在，请说明理由【解答】证明：（）四边形ABCD为长方形，CDAB，EFCD，EFAB，又EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB （6分）（） 在线段AD上存在一点O，使得BO平面PAC，此时点O为线段AD的四等分点，满足，（8分）长方形ABCD中，BAOADC90，ABOADC，ABO+CABDAC+CAB90，ACBO，（10分）又PA底面ABCD，BO底面ABCD，PABO，PAACA，PA、AC平面PACBO平面PAC（12分）3如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，且PAAD2，ABBC1，M为PD的中点（） 求证：CM平面PAB；（）求证：CD平面PAC【解答】证明：（I）取PA的中点E，连接ME、BE，MEAD，MEAD，MEBC，MEBC，四边形BCME为平行四边形，BECM，BE平面PAB，CM平面PAB，CM平面PAB；（II）在梯形ABCD中，ABBC1，AD2，BAD90过C作CHAD于H，ACCDAC2+CD2AD2，CDAC又PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPAPAACA，CD平面PAC4如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点，证明：A1D平面A1BC【解答】证明：设E为BC的中点，连接A1E，DE，AE，由题意得A1E平面ABC，A1EAEABAC，AEBC，AE平面A1BC由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，四边形A1AED为平行四边形，A1DAE又AE平面A1BC，A1D平面A1BC5如图，ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平而ABC，F是BE中点，AEAB2，CD1 （1）求证：DF平面ABC； （2）求证：AFDE； （3）求异面直线AF与BC所成角的余弦值【解答】（1）证明：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线交DE连结OB，则OGOB，OGOC，ABC是正三角形，O是AC中点，OBOC，以O为原点，OB、OC、OG所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，F是BE中点，AEAB2，CD1，A（0，1，0），B（），C（0，1，0），D（0，1，1），E（0，1，2），F（），（，0），（），（0，2，1），（，1，0），（0，0，1），CD平面ABC，（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，又DF平面ABC，DF平面ABC（2）证明：（），（0，2，1），01+10，AFDE（3）解：（），（，1，0），设AF、BC所成角为，cos|异面直线AF与BC所成角的余弦值6如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，M为线段PD的中点（I）求证：BMPD（II）求直线CM与PB所成角的余弦值【解答】（I）证明：连接BD，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，PBBDM为线段PD的中点，BMPD（II）解：连接AC，与BD交于O，连接OM，则M为线段PD的中点，MOPBCMO（或其补角）为直线CM与PB所成角，在MOC中，CM，cosCMO直线CM与PB所成角的余弦值为7如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长都等于2（1）当点M是BC的中点时，求异面直线AB1和MC1所成角的余弦值；求二面角MAB1C的正弦值；（2）当点M在线段BC上（包括两个端点）运动时，求直线MC1与平面AB1C所成角的正弦值的取值范围【解答】解：（1）取AC的中点为O，建立空间直角坐标系Oxyz，则，C（0，1，0），当M是BC的中点时，则，设异面直线AB1和MC1所成角为，则，设平面MAB1的一个法向量为，则，令，则y1，z1，设平面AB1C的一个法向量为，则，令x2，设二面角MAB1C的平面角为，则所以（2）当M在BC上运动时，设设M（x，y，z），则，设直线MC1与平面AB1C所成的角为，则设，设t+11，2，所以，t1，2设，直线MC1与平面AB1C所成的角的正弦值的取值范围为声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/28 9:23:29；用户：1332940695；邮箱学号：198839896如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC（1）证明：DE平面ACD；（2）求棱锥CABD的体积【解答】解：（1）在直角梯形BCDE中，DEBE1，CD2，BC，又AB2，AC，AB2AC2+BC2，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，平面ABC平面BCDEBC，AC平面ABC，AC平面BCDE，又DE平面BCDE，ACDE，又DEDC，ACCDC，DE平面ACD（2）VCABDVABCDSBCDAC1如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB90，2ACAA1，D，M分别是棱AA1，BC的中点证明：（1）AM平面BDC1（2）DC1平面BDC【解答】证明：（1）如图所示，取BC1的中点N，连接DN，MN则MNCC1，且MNCC1；又ADCC1，且ADCC1，ADMN，且ADMN；四边形ADNM为平行四边形，DNAM；又DN平面BDC1，AM平面BDC1，AM平面BDC1（6分）（2）由已知BCCC1，BCAC，又CC1ACC，BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，DC1BC；由已知得A1DC1ADC45，CDC190，DC1DC；又DCBCC，DC1平面BDC（12分）2如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD（1）证明：平面AEC平面BED（2）若ABC120，AEEC，AB2，求点G到平面AED的距离【解答】解：（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，（1分）因为BE平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBE，（2分）又因为DBBEB，所以AC平面BED（3分）又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（5分）（2）取AD中点为M，连接EM因为ABC120，AB2，所以ABDB2，AG，DG1，因为AEEC，所以EG，所以BE，（6分）所以AEDE，又所以AD中点为M，所以EMAD且EM设点G到平面AED的距离为为h，则三棱锥EADG的体积为V，即，解得h所以点G到平面AED的距离为（10分） 3如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD（1）求证：PD平面PAB；（2）求四面体PACD的体积【解答】（1）证明：平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，ABAD，AB平面ABCD，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，又PDPA，且PAABA，PD平面PAB；（2）解：取AD中点O，连接PO，则POAD，又平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD，PAPD，PAPD，AD2，PO1在ACD中，由AD2，ACCD，可得4如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PAPDABDC，APD90，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积【解答】证明：（1）在四棱锥PABCD中，BAPCDP90，ABPA，CDPD，又ABCD，ABPD，PAPDP，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD解：（2）设PAPDABDCa，取AD中点O，连结PO，PAPDABDC，APD90，平面PAB平面PAD，PO底面ABCD，且AD，PO，四棱锥PABCD的体积为，由AB平面PAD，得ABAD，VPABCD，解得a2，PAPDABDC2，ADBC2，PO，PBPC2，该四棱锥的侧面积：S侧SPAD+SPAB+SPDC+SPBC+6+25如图四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【解答】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，ABC是正三角形，ADCD，DOAC，BOAC，DOBOO，AC平面BDO，BD平面BDO，ACBD解：（2）法一：连结OE，由（1）知AC平面OBD，OE平面OBD，OEAC，设ADCD，则OCOA1，ECEA，AECE，AC2，EC2+EA2AC2，ECEACD，E是线段AC垂直平分线上的点，ECEACD，由余弦定理得：cosCBD，即，解得BE1或BE2，BEBD2，BE1，BEED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，BEED，SDCESBCE，四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1法二：设ADCD，则ACABBCBD2，AOCODO1，BO，BO2+DO2BD2，BODO，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐